Блохинцев Д.И. Основы квантовой механики (1185107), страница 29
Текст из файла (страница 29)
(35 Гб) 2л» Вводя длину волны де Бройля ).= — ", находим Р )к. 2л, (35.17) т. е, длина волны должна медленно меняться в функции ко- ординаами $ 36. Квантовая механика и оптика Исторически одним из истоков квантовой механики послужили параллели, установленные Гамильтоном между геометрической оптикой и механикой. Эти забытые аналогии были привлечены де Бройлем в современную физику, и с их помошью были сделаны первые шаги квантовой (волновой) механики, Часто говорилось, что Шредингер построил механику, аналогичную волновой оптике. Аналогии часто помогают решешпо той нли иной физической проблемы, ио все же остаются только аналогиями.
Окончательно написанное Шредингером уравнение не совпадает пи с одним из ранее известных уравнеш1й для распространения волн. Эти последние — всегда уравнения второго порядка по времени, в то время как уравнение Шредингера — первого порядка по времени; имеются и другие отличия.
Тем ие менее все же представляет интерес сравнвть уравнение Шредингера с уравнениями волновой оптики. Допустим, что мы имеем некоторую однородную среду, в которой распространяются волны со скоростью и. Тогда уравнение для смешения ! Это неравенство означает, что кинетическая энергия должна быть вслнка, а изменения импульса ~ д)т р1 малы. Для одного измерения получим р )>й)-,"Р-(. (35.16') квлнтовля мехлникл и оптикл )чо при распространении таких волн будет Ч 1 — — „— =О. 2 1 дЧ оа ди (36.1) (1:==2л1Л вЂ” волновое число, Л вЂ” длина волны).
Уравнение (36.3) строго применимо для однородной среды'). Однако оно описывает явления дифракции и интерференции и в том случае, если считзть скорость о функцией координат. Поэтому его можно рассматривать как волновое уравнение и для неоднородной среды. В этом случае й' будет функцией координат.
Условно будем и и этом случае называть й волновым числом, з Л =- 2л!« — длиной во.ч~гы. Введем показатель преломления п(х, у, е): и(х, у, а) =-„- = — —, Ло «о где Л,— длина волны в пустоте. Тогда уравнение (36.3) можно написать в виде Чаи+ «;ггеи = О. (36.5) Если неоднородности среды таковы, что показатель преломления гг лгало меняется на протяжении длины волны, то из волнового уравнения (36.5) можно получить основное уравнение геометрической оптики (в противном случае мы будем иметь дело с дифрзкцией волн на этих неоднородностях). Положим и — ив мое (36.6) гзе п — амплитуда, йо6) — фаза волны. Если длина волны мала, го «„велико.
Разложим а и О по обратным степеням «;г 1 1 а = во+ — — а, + - —. ае+..., «о «1 (36.7) О=Ос+ — Ог+ ~гЕгв+.. 1 1 «о о (36.8) ') Уравнение для распространенна волн в неоднородной среде (например, г 'ггоромагннтнмх волн в среде с переменной диэлектрической постоянной) погладит на самом деле сложнее, чем (36.3). Для волны, имеющей частоту колебаний го, можно положить ~ =- ие-г"', (36.2) тогда из (36.1) получаем Чаи+ йеи = О, Аа = —, (36.3) !46 связь с кллссичгскоп мсххникон и оптиков !гл.тл Подставляя (36.7) и (36.8) в (36.6), а (36.6) в (36.5) и собирая одинаковые степени йо, получим уравнение (36.5) в виде — йоао (о70о)" '+ й;;аоао+ О (/ъо) = О, (36.9) где 0(й,) означает члены порядка /го и ниже.
Пренебрегая низшими степенями йо, находим отсюда (70,)' =- и'. (36.10) через показатель преломления и(х, у, г). Лучи будут линиями, ортогопальиыми к этим поверхностям. Функцию Ело(х, у, г) называют эй к он алом. Сопоставим с уравнением (36.9) уравнение Гамильтона — Якоби (35 2) для функции действия оо. Производя там подстановку Яо=-Ег — з„мы момгем написать (35.2) в виде (7зо)о =-2р(Š— У(х, у, гЦ. (36.12) Сравнение этого уравнения с (36.10) показывает, что задаче о распространении лучей малой длины волны (большое й,) в неоднородной среде с показателем преломления и (х, у, г) может быть сопоставлена задача о движении материальной точки в поле спл с потенциальной энергией (у(х, у, г), причем роль показателя преломления играет величина )к 2р(Š— Ц, а фазы— величина зг«Траектории частиц суть линии, ортогональныс к поверхностям гм(к, у, г) =.
сопз1. Поэтому траектории совпадают с лучами света и среде, показагель преломления которой и пропорционален ),' 2р (Š— (У). Таким образом, классическая механика материальной точки аналогична геоллетрической оптике. Если уравнение (36.3) рассматривать как уравнение волновой оптики, то можно сказать, что волновая (квантовая) механика аналогична волновой оптике. В самом деле,' уравнение Шредин- гера И вЂ” =- — -' — уоф + у (х, у, г) ф «т подстановкой . Е 1р=иг сводится к уравнению Ъ'ои+ -. (Š— У) и=-О.
2н (36.13) (36.14) Пусть теперь в некоторой области частица движется свободно, вне силового поля, так что вся ее энергия сводится к кинети- Это и есть основное уравнение геометрической оптики, определяющее поверхности постоянной фазы ело (х, у, г) =соп51 (36.11) квлнтоВАя мвхАнпкл -и Оптпкл Ит ческой, В этом случае следует положить У=О. Волновое число в этой области обозначим через й„: (36.15) Вводя теперь показатель преломления волн по отношеншо к этой области пространства (36.!6) мы можем переписать уравнение (36.14) в виде, полностью совпадающем с (36.5). Простейшие задачи по расчету преломления и отражения волн приведены в 9 96.
При выводе (36.10) пз (36.9) мы пренебрегли членами 0(йр). Вычислив нх, нетрудно убедиться, что мы пренебрегли членами /грЧРВр в сравнении с йР(ЧО,)'. Взяв (для простоты) одно измерение, мы можем написать условие справедливости нашего приближения в виде (36. Г7) Замечая, что й=---=ар —, получаем 2я дГрр Р дк ( — (~2~, (36.18) что совпадает с ранее полученным условием (35.17) для перехода от уравнения Шредингера к уравнению Гамильтона — Якоби.
Из (36.16) следует, что показатель преломления п, а вместе с нпм и длина волны )р=2п/й заметно меняются лишь в той области пространства, где заметно меняется потенциальная энергия (7, т. е. внутри сферы действия сил а. Если сфера действия гил а ь Х, то на протяжении Х как (7, так и л будут меняться мало (кроме некоторых исключительных случаев крайне резких изменений потенциальной энергии). Поэтому для ориентировочных расчетов условие (36.18) можно заменить более простым условием )р ((а. (36.19) Это условие не следует понимать так, что для любых мнкрочастиц, имеющих достаточно большую энергию и, следовательно, обладающих малой длиной волны )р, всегда будет применима классическая механика.
При возрастании энергии частицы возникают явления неупр)тих ударов (ионизация и возбуждение атомов, тормозное излучение, возбуждение и расщепление атомного ядра и т. п.), ыв связь с кллсс11ческ01З мехлиикон и Оптикои 1гл. м1 которые не могут быть рассчитаны без применения квантовой механики.
В заключение этого параграфа рассмотрим случай, когда Е ') ! У ~. Из (36.16) имеем 2Р (36.20) В этом случае лучи преломляются слабо и их можно считать прямыми линиями. Если при этом потенциал настолько гладкий, что соблюдено условие (36.19), то рассматриваемое приближение называется э й к о н а л ь н ы м. Вычислим в этом приближении изменение фазы волны т) вдоль луча, который для определен- ности будем считать направленным вдоль осн ОХ, Из (36.10) и (36.20) следует — '=-и = 1 — — +..., ае„ и 2Е (36.21) так что (36.22) Этот результат будет использован в теории дифракционного рас- сеян и я части ц. $37, Квазиклассическое приближение (метод Вентцеля — Крамерса — Бриллюэна) Изложенная в 99 35, 36 связь между квантовой механикой и классической механикой и оптикой позволяет развить приближенный метод решения уравнения Шредингера, пригодный в тех случаях, когда соблюдено условие (36.19), т.
е. при слабом изменении длины волны. Говоря иа оптическом языке, в тех случаях, когда показатель преломления среды и (х) медленно меняется в пространстве. Тогда, полагая в соответствии с (35.10) и (35.12) (37.2) ф=е (37.1) где з=э,+Из1+ ..., получим ф=е-пе (37,1') Рассмотрим в дальнейшем тот случай, когда потенциал У зависит лишь от одной координаты У= У(х), тогда з, и з, также будут функциями только х. Теперь уз,=;( — ", О, О) и из (36.12) следует, что 1 Ех е, (х) = ~ р (х) Нх, МЕТОД ВЕНТЦЕЛ11 — КРЛМЕРСЛ-БРНЛЛЮЭНА 5 ЗП где р(х) есть импульс частицы Р (х) = + )7 2Р [Š— (/ (х)) = ', р (х) $.
(37.2') Пользуясь (35.!3'), вычислим э„причем там следует положить д57 д/ — — — — О. Получим 2 — — — —., =О, 7(55 5(5~ 7/' 55 (37.3) Нх Их рте ! Откуда 5,=+ — 1пр(х) — 1пс, так что 7$7 (х) = —,е" 5 .' (Р(х)5» $17 (Х) (37.4) В этом приближении вероятность найти частицу в области х, х+ 5(х есть ц7 (х) 7(х =-,'7$7 (х),' о7х =- " (37.5) — ) ( Р (х) 1 5» - - ~ Р (х) 1 а» 7р(х)= ' е ' +, ' е ' . (37.6) $' 77 (х) $' 77(х) Константы с„се и а должны быть выбраны из граничных )словий для волновой функции ф (х) '). Ясно, что из трех констант независимы только две. Особого рассмотрения требует случай т о ч е к п о в о р о т а, т.
е. таких точек, где полная энергия Е равна потенциальной (/(х). В такой точке кинетическая энергия и импульс частицы становятся равными нулю: 7'=-О, Р=О Согласно классической механике частица в такой точке меняет пнак скорости и начинает двигаться в обратном направлении. С)1с1ода и название — точка 71оворота. С волновой точки зрения допустимо движение и в области, где Е =(/(х) (об этом подробно будет рассказано в Я 96, 97), Прп этом величина р(х) (37.2') будет чисто мнимой и, конечно, ') С51, дополнение (7(1(.
т. е. она обратно пропорциональна скорости О(х) =-р(х)/р, стало быть прямо пропорциональна времени прохождения отрезка 5(х, как это и должно быть по классической теории, Учитывая два ьозможных знака р(х) в (37.2'), полное решение следует написать в виде суперпозицни двух решений 150 сВязь с кллсс!и!гскоп мсхлнпкоп и оптико)! 1гл. Мл - ! ! р (.к) ! Ск ! с с, с) )(! (х) ! е а р (р(.!') ! (37.6') Для дальнейшего рассмотрения точек поворота удобно выбрать константу а равной значешпо х в точке поворота Е = У (а), р (а) = О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
