Блохинцев Д.И. Основы квантовой механики (1185107), страница 28
Текст из файла (страница 28)
(34.9) Но этого нельзя сказать о кинетической энергии Т. Действительно, ~'= — = — (р — р+Р) = — +— Р' 1 - — а (АР)е Р" 28 2ц . 2р, 2)с ' В силу соотношения Гайзенберга 2 (бр)'== =., 4 (ах)е (34.10) поэтому в (34.10) первый квантовый член может оказаться гораздо ббльше классической энергии частицы, движущейся с импульсом Р. Квантовым членом в (34.10) можно пренебречь, если (ар)а )) и~и пя 2И 2р 4 саг)'-" (34. 11) Таким образом, движение частицы можно считать происходящи.л по законам классической механики в течение времени 1, если в течение этого времени можно одновременно удовлетворить неравенствам (34.8) и (34.11). Одновременному удовлетворению обоих этих неравенств благоприятствуют следующие обстоятельства: 1) большая кинетическая энергия частицы Г, 2) поле У(х) представляет собой медленно меняющуюся функцию координат х. Таким образом, переход от квантовых уравнений движения к ньютоновским получается при переходе к большим кинепгическим энергиям частиц и плавно меняюи(имея полям.
т) Ддя всох фуикций У1х) вода: У==азсбх)-гхе, как следует из (34.7). движение центра тяжести пакета точно совпадасг с классическим движением матсриальиой точки в поле У(х). К числу таких случаев относятся. а) свободиое движение, в) двиткепие в однородном поле, с) гармоиический осциллятор и некоторые другие (например, в однородном магнитном поле получаются те же результаты, что и для осциллятора). Величина (ох)е, определяющая размеры пакета, есть функция времени и, вообще говоря, растет со временем (см. ниже) — пакет расплывается. Поэтому, если даже неравенство (34.8) выполнено в начальный момент времени, то, начиная с некоторого момента (, оно может нарушиться.
Но и выполнение неравенства (34.8) еще не означает, что состояние частиц совпадает с классическим '). Действительно, если взять очень узкий пакет ((бх)к мало), то средняя потенциальная энергия частицы по квантовой механикс практически равна потенциальной энершш материальной точки, находящейся в центре волнового пакета: !39 КВАНТОВЫЕ УРАВНЕННЯ и УРАВНЕННЯ НЬЮТОНА где х — координата центра пакета. Согласно (34.7) имеем дд — =о, х=б!+х», д! (34.12) т, е.
центр пакета двизкется ннерциально со скоростью о. Производные величины (Лх)г по времени вычисляются по общей формуле (31.7). Полагая там !. =(Лх)', находим д(Лх)г д(Л»)г - дяг — = — + (й, (Л )'-! = — — + (О, -"1, дт д! ' д! 1 и так как для свободного движения оператор Й =- — Рг, то') 2Р (Й, хг~= — )Рг, х"-] = —.(х»Р» — Ргкг) =— ° г 1,- ° „хр — Рк 2ц ' 29!Д д(Л»)г Таким образом, оператор равен д(Лх)г хр+ Рх д! р дх» хр+ Рх Р 262. (34.!3) Вычислим теперь вторую пронзподную дг (Лх)г д (д(Л»)г~, ( ° д (Лк)"-1 омхг ( Й х)З+ Рк 1 др д! (, д! 7' ( ' д! ) дт» 1 1- * Й, ~= —,((хР+Рк) Рг — Рг(»Р+Рх)) =— »Р+Рк 1 1 * ° °, 2Р» р ~ 2!Дрг Р' ам (Лх)г 27»е дгхг 2Р' — — 2ог дтг Р» дт» Рг (34.14) Ввиду того, что Р' коммутируетс Й, всевысшие производные от(Лх)г равны нулю.
таким образом, разложение (лх)г в ряд Тейлора по степеням т имеет вид (хр-1-Рк ) ! 12Р» (Лхр=(бх)»+ ( — 2ох) т+ — ( — — 2В») Р. (34 15) ) 21(,р Переходя от операторов к средним значениям, получим (Лк)»=(Лх)» -)-( — 26» т+~ — — Вг) !г — — (кр+рх '! 7 рг (34.)б) (Лл)» — величина, обязательно положительная, поэтому из ($4.16) слйдует, что (Лт)»» с ростом т неограниченно растет (может быть, переходя через минимум)» т. с.
пакет расплывается. Во многих случаяк (в зависимости от вдда ф (х, О)) ') Во всех дальнейщид расчетах пользуемся формулой Р» »Р-Ж Рассмотрим теперь расплывание пакета для свободного движения частицы. Среднее квадратичное отклонение (Лл)г есть среднее от величины (Лх)г=кг — хг, 140 СВЯЗЬ С КЛАССИЧЕСКОП Л1ЕХАИИКОИ И ОПТИКОВ (ГЛ.У! член с 1 исчезает.
Тогда (34.!6) получает особенно простой внд: Р');-=(б )е+(бп)втв, (34.17) где (бр)е †средн квадратичное отклонение скорости: — )эв (йо)е — бе — о- Вя, )„в Расплывание такого пакета совпадает с растеканием роя частиц в классической механике, если их начальные положения и скорости распределены около сред- Рис.
20. Движение и расплывание волнового пакета в отсутствие внешних сил. Π— цеитр атома, а — радиус действия сил, АА' — траектория пакета, расплывающегося от щйрииы Ьк до щирииы дхч них значений с квадратичными отклонениями (бх);-', н (бв)К Однако в класснче. ской механике можно взять рой, в котором (Лх); и (бр)в рваны нулю. В кван- товой механике этого сделать нельзя в силу со- А' отношения неопределенностей. Рнс. 20 иллюстри- рует сказанное выше о движении и расплывании дул в волнового пакета.
В качестве приложения теории движения пакета, изложенной в этом параграфе, найдем условия, при выполнении которых рассеяние частицы в поле атома можно рассматривать методамн классической механики. Пусть радиус сил взаимодейй ствия между атомом и проходящей около него ча- стицей будет а. Ясно, что для того, чтобы могкно (7 было говорить о траектории частицы внутри атома, необходимо, чтобы размеры волнового пакета бх были много меньше а (рис. 21).
На основании (34.10) н (34.1!) можно сде- ()Ф пать вывод, что кинетическзя энергия частицы рв Т = — ~ — Р— (так как бд ~( а). При 2р 8р(,с,)в 8рав А этом же условии пакет не успевает заметно расплыться за время прохождения частицы через атом, и Рис, 1. Рассея и чз которое по порядку величины равно 1= — = — 1. стицы в поле атома. Действительно, пз (34.17) следует, что рзсширеиие пакета составляет бх' = йо ° (= — -х бр Р а р бо х== — а; так как при выполнении (34Я1) Р Р бр((Р, то бд' е.а.
Радиус действия сил по порядку величины равен радиусу атома аиы !О а см. Для сс-частицы, с типичной энергией Т=) Мза=1,6 1О в врг, Р„= $72р, Т=4,6 10 вв (масса а-частицы Р„=6,7 !0 ве г). С другой стороны, й ЗЗ) УРЛИНСННЯ ШРЕДПНГЕРЛ 1! УРАВНЕНПЕ ГАМИЛЬТОНЛ-ЯКОБИ 141 Д)а=) 10 ". Таким образом, для а-частицы уравнение (34.11) выполнено.
Следовательно, рассеяние а-частицы можно рассматривать методами классиче. ской механики (что н было впервые сделано Резерфордом в его знаменитой тсорнн рзсссяния а-частиц). Однако, если а-частица проходит вблизи ядра, зо необходимо учесть действие ядерных снл, для которых сфера действии и = 10 ьт см. Д)а=! 10'4 н уравнение (34.11) не будет выполнено.
Поэтому рассеяние сг-частиц ядерпыяги силами нельзя изучать средствами классической механики Для электронов (р,=й 10 го г), например, при Т=100 эв имеем Д,= =- 5,4 10 ~о, так что Р, сравнимо с д/а, и применять классическую механику к этому случаю невозможно. 3 35. Переход от временного уравнения Шредингера к классическому уравнению Гамильтона — Якоби В предыдущем параграфе мы установили связь квантовых уравнений движения с уравнениями Ньютона и тем самым— связь квантовой механики с классической. Эта связь может быть обнаружена еще другим способом: можно показать, что классическое уравнение Гамильтона — Якоби является предельным случаем временного уравнения Шредингера. Чтобы доказать это, напомним сначала уравнения Гамильтона — Якоби.
Для простоты ограничимся рассмотрением движения одной частицы массы р в потенциальном поле ()(х, у, г, 1). Уравнение Гамильтона— Якоби пишется для функции действия Ео(х, у, г, 1), которая обладает тем свойством, что Р..= Р= — — Р= —— дзо д5о д5о дх = ду * = да (35.1) где р„, рк, р, — проекции импульса частицы на оси координат.
Само уравнение Гамильтона — Якоби для рассматриваемого с.1)чая имеет вид Так как функция Гамильтона Н(ЄЄ, р„х, у, г, 1) равна (Рк Ро Рг Хг й' г1 () = 9 (Рг+Рк+ Рг)+ (I (Х Д, г, 1), (35.3) то пз (35.1) и (35.2) следует, что уравнение Гамильтона — Якоби мо!кет быть написано в виде ддо ( Ыо д3о д5о — о=Н,— —, — —, — —, х р, г (). (354) дт ! дх ' ду ' дг Если функция Гамильтона явно от времени пе зависит, то она !зцвна энергии частицы Е. Тогда из (35.4) следует ' =Е, Ео=Е( — ео(х, у, г). д) (35.5) !42 связь с классическая мвхяникоп и оптиков !гл.н! Но, как известно, локальные производные от р и дУ равны — = — + Чрч, 0р др О! д! 0 =МччДУ, 0ЛУ О! где тт-скорость движения частиц. Комбинируя эти выражения с предыдущим равенством, мы получаем уравнение непрерывности др — ! +б!ч(ри)=О.
На основании (35.1) тт = = Ч8о. р 1 (35.7) Поэтому (35.6) можно переписать в виде -д- — — Йч (рЧЯо) = О, или — д- — — -- (ЧРЧЯо+ рЧ'5«) (35.8) др ! др д! и д! р Таким образом, рой частиц движется, как жидкость. Занимаемый нм объем не «расплывается», а только деформируется. Уравнения (35.8) можно истолковывать и иначе.
Если мы разделим число частиц ДЖ в объеме ДУ на общее число частиц Дт, Равенства (35.1) показывают, что траектории являются лпниямп, ортогональиымн к поверхностям 5о =сонэ!. Если О не зависит от времени явно, то форма этих поверхностей не меняется с течением времени. На рис. 22 показаны эти поверх)т ности и возможные траектории частицы. Частица, находящаяся в момент времени ( = О в точке а, будет двигаться в дальнейшем по траектории ~~.сон!! ад. Представим себе рой частиц, имеющих различные начальные кооррнс. 22.
Траектории н поверх- днпаты хо, у„го. Пусть в элементе ности постоянной фуннннн дей- объема ДУ имеется Д)у =рДУ частиц, где р — плотность частиц. К моменту времени ! все эти частицы переместятся в некоторую другую область пространства, но число их, конечно, не изменится. Поэтому, если следить за движением элемента объема ДУ, связанного с этими частицами, то число частиц в нем остается неизменным. Обозначая локальную про- 0 нзводную через —, получим 01 ' ду 0р+ 0ДУ О! 0т р О! % оо! уеаанвния шевдии!'егх и уговнвнне гамильтона-яковн !4з то Лй!/Ф можно рассматривать как вероятность найти частицу в объеме Ь$', а плотность р — как плотность вероятности. Обратимся теперь к квантовой механике.
Покажем, что временное уравнение Шредингера 111-д =-Йф, Й = — -2„-7'+У(к, 11, г, 1) (35.9) ведет приближенно к тем же результатам, что н рассмотренное уравнение Гамильтона — Якоби. Дзя этого представим волновую функцию ф в виде ф е о (35.!О) где 5 — некоторая искомая функция. Замечая, что дф ! д5 доф ! (д5 ~о ! до5 дх и дх ' дх- ах!дх! В дхмы получим, подставляя (35.10) в (35.9), уравнение для функции 3: д! =2 ~~В)+~д )+~д)1+()(х*у! а' )+2 Р5 (35.11) Разложим теперь 5 по степеням 1)г: о =Во+(11!) 3,+(11!)'Зо+...
(35. Г2) Подставляя (35.12) в (35.11) и сравнивая коэффициенты прп одипаковь!х степенях !!, мы получаем уравнения ! 11д5„~~, 1д5„~ ° га~„Д вЂ” =- — ~~2 — ' — +2 — — +2 — — + Ч 5о~ = д5, 1 Г д5х д5, д5о д5о д5о д5~ д! 2!о ~ дк дк ду ду дх дк Р'РЗо78к+ Ъ"Зо~ (35 13 ) 2и и т. д. Первое нз этих уравнений совпадает с уравнением Гамильтона — Якоби (35.2), а второе, как легко видеть, совпадает с уравнением непрерывности (35.8). В самом деле, вероятность найти частицу в окрестности точки х, у, г есть р = ! ф !о = еоэ~ е (35.14) Отсюда !!р = 2ЧЗьеоэ + ", -8 = 2 — геок 4 д! Поэтому, умножая уравнение (35.13') на 2еоэ, мы получаем уравнение непрерывности (35.8). 144 СВЯЗЬ С КЛЛССИЧВСКОП МЕХАНИКОП И ОПТИКОЙ !ГЛ.Ш Остается выяснить вопрос об области применимости полученного приближенного решения уравнения Шредингера. При переходе от (35.11) к уравнению (35.13) мы отбросили член — Р'5; 2и зто возможно сделать, если (35.15) Пользуясь (35.1), это неравенство можно записать в виде рь а 2И 2И -~~ — 'д)чр~.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
