Блохинцев Д.И. Основы квантовой механики (1185107), страница 27
Текст из файла (страница 27)
е. операторы проекций скорости на осн 6Р» с>РУ йР координат, а через †", †", — — операторы производных прон> ' нт ' ит скций импульса по времени. Подставляя в (31.!О) вместо К операторы Х, 1», Л, Р», Ра, Р», получим искомые операторные уравнения —,„— =-[Н, Х~, —,;-=[Н, У], —,=[Н, 2], (32.2) — „'=-[Н, Р 1, — „~=[Н, Р >, ==[Н, Р»т, (32,2') Зги операторные уравнения вполне аналогичны классическим уравнениям Гамильтона и поэтому называются к в а и то в ы м и уравнениями Гамильтона' ). В классической механике первая группа уравнений (производные от координат) устанавливает связь между скоростью и импульсом, а вторая группа (производные от импульсов) выражает законы изменения импульса во времени.
Такое же значение имеют и квантовые уравнения Гамильтона. Для того чтобы в этом убедиться, следует раскрыть явно скобки Пуассона в (32.2) и (32.2'). Ради простоты рассмотрим случай, когда магнитные силы отсутствуют. В этом случае гамильтопиан имеет вид (см. (27.2)) Н = Š— (Р»а+Рва+ Р»е)+('(Х 1', ~, 1).
(32.3) Рассматривая волновую функцию как функцию координат частппы х, у, г н времени (, имеем следующие выражения для 0 Мы ограиияивасмся рассмотрением движеиия в дсиартовой системе и'"'Раииаь Об урависииях в ириволииейиой системе координат см. доволиеиис ты е) Ср. дополисиис 'х>1, уравнение (5). !32 изменение Во ВРемени механических Величин 1Гл. у операторов Х=-х, У=у, Я=г, д ..
д - . д Р = — (тг —, Р = — 1')1=, Р= — Ю вЂ”, дх' " ду' г дг' (32.4) т. е — — — — — — — (32.10) дрт дй дрч дт/ дРг дй сй дх ' дт ду ' уй дг ' дй дй сти — — — — суть не что иное, как операторы про~1х ' ду ' дг е к ни й сил ы '). Так что (32.10) можно переписать также в виде (32.
11) т. е. оператор производной по времени от импульса равен оператору силы. Поэтому (32.10) можно рассматривать как уравнения Ньютона в операторной форме. ') Эти опсраторы яплтотсп попросту функпияии координат. Вычислим теперь оператор —. Имеем дХ сй ' 'ут, Х) = —.л (ХН вЂ” ОХ) = 2 .л (ХР;",— Р,-".Х), (32.5) так как Х коммутнрует с Ра, Рг, У(х, у, г, 1).
Правило перестановки операторов Х и Р„(24.2) дает Р„"Х = Рх (РхХ) =- Рх (ХРх — Ж) = (Р„Х) Рх — ()1Рх = = (Хрх — (й) Р, — ~РР„= ХР; "— 2СЙРх. (32,6) Подставляя это выражение в (32.5), находим (Н, Х1-- —,', Рх. (32.7) ДЛЯ У, г, ОЧЕВИДНО, ПОЛУЧИМ ПнаЛОГИтитмй РЕЗУЛЬтат; ПОЭТОМУ Дх Рх дР Ра Дг Рг и сй и (32.8) т, е. оттератор скороспии равен оператору импульса, деленному на массу частицы р. Иными словами, связь между операторами скорости и импульса такова же, как и связь между соответству1ощими величинами в классической механике. Найдем теперь опс! атор — „,".
Из (32.2') и (24.4) имеем т1 Рх (. ) (32.9) интвг ллы движения Если мы вычислим среднее значение от величин — †хи т. д. дпх сй' Ж в каком-нибудь состоянии ф то из (32.8) и (32.!О) на основании (3!.8) получаем дх и ! — = — Р) = — Р дГ дГ И (32.12) хх' дй (Р") дх (32.13) д"-х д(/ р-:-= — — =Р, дР дх (32.14) й 33. Интегралы движения В квантовой механике мы имеем те >ке интегралы движения, что и в классической. Величина Ь будет интегралом движения, гс.п! д',- --- ' —,', + ~Й, (,1 ==О.
(33.1) Особ пй интерес представляет случай, когда величина Т. не зависит явно от времени; тогда вместо (33.1) имеем — „Г = !Й, Е1==0, т с. для интегралов движения (не зависящих явно от времени) квантовая скобка Пуассона равна нулю. Так как !Й, I ~ определяется коммутатором оператора С и оператора Гамильтона, то всякая величина („не зависящая явно от времени, будет интегралом движения, если ее оператор комм)тир'1ст с оператором Гамильтона.
и т, д. Иначе говоря, производная по времени от средней координаты Х равна среднему импульсу, деленному на массу частицы, и производная от среднего импульса р, равна средней силе Р„. В раскрытой форме равенства (32.12) и (32.13) имеют вид —; ~ ф*хф ох =- - - ~ ф* Рхф ох, (32.12') ~й~ф хр ' )ф д (32,13') Они носят название те о р ем Э р е н фест а. Дифференцируя (32.12) по времени и исключая из (32.12) и (32.13) — „(р„), получим квантовое уравнение Ньютона 134 ИЗМЕНЕНИЕ ВО ВРЕМЕНИ МЕХАНИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН [ГЛ.
Ч Из формул (33.!) и (33.2) следует, что среднее значение интегралов движения не зависит от времени —, (Е) = О. а[ Ж . ела ф(х, г) =~ч" свфв(х)в и (33.5) нли ф(х, () = ~ч~с„([) фв (х), и (33.6) где . Ела ем си(Г) =с„е ' =-си(0)е (33.7) Разложение (33.6) есть разложение ар (х, т) по собственнным функциям оператора т'., поэтому гв(1., [) =[си(() !'=!с. (О)," =сопз!. (33.8) Вид интегралов движения зависит от рода силового поля, в котором движется частица.
Для свободного двихсения силовая функция У (х, у, г, [) = 0 и гамильтониан будет равен Й = 7'= — „(Р,'+ Р„+ Р!). (33.9) Как и в классической механике, в этом случае интегралом движения, т. е. сохраняющейся величиной, является импульс, действительно, (Й Р 1 )Й Рв) [Й Р ] 0 (33. ! 0) т. е. Врх Врч а)тв — — О, —" — -О, — =.О. а[ ' а[ ' ои (33. ! !) т) Речь идет об интегралах доижеиия, ие зависящих явно от времени. Покажем теперь, что и вероятность [а((.л, т) найти в момент времени [ какое-нибудь значение интеграла движения, равное, скажем, Ь„, не зависит от времени'). Так как операторы 1.
и Й коммутируют, то они имеют общие собственные функции тр„(х): 7ЛР, = 7'ф., (33.4) Йар, = Е„ф„. (33.4') Разложим произвольное состояние тР(х,() по собственным функциям ари. Эти функции суть функции стационарных состояний, поэтому (ср. (30.8)) интсгиллы дВИжения '!Н, М']=О, — „=О, (33.13) ]Н, Мх]=-]Н Ма]=-]Н, М ]=О, — „"= — ',„'1и — — — „,' — — О. (33.14) Таким образом, момент импульса в поле центральных сил есть интеграл движения. Применим теперь равенство (33.!) к гамильтониану. Полагая Е = Й, получаем — „= — „+]Н, Н]= — ". (33.15) Если гамильтониан не зависит явно от времени, то — = О. йй (33.
16) Однако в этом случае гамильтониан совпадает с оператором полной эпсргпп. Поэтому (ЗЗ.!6) выражает тот факт, что полная энергия в иоле сил, не зависящих от времени, есть интеграл движения, ! !паче говоря, (33.!6) выражает закон сохранения энергии в квантовой механике, Согласно изложенным выше свойствам интегралов движения ) равнение (33.!С) следует понимать в том смысле, что ни среднее зпачсппе энергии Е', ни вероятности найти отдельные возможные значения энергии Е=Е„не зависят от времени'). '1 О законе сохранения энергии в квантовой механике см. Э !13.
В поле иентральной силы имеет место закон площадей — момент импульса есть интеграл движения. В самом деле, в поле центральной силы потенциальная энергия У есть функция расстояния от центра силы: У=. (з'(г). Поэтому для этого случая гамильтониан Н может быть написан в виде (ср. (26.6)) Й=т.+,—,„'. .+(у().
(33.12) Операторы квадрата момента импульса Ме и его проекций М„, М„, М,, согласно (25.8), зависят только от углов 6, гр, поэтому пе действуют на функции от г. Кроме того, оператор М', входящий в (33.!2), коммутирует с М, М„и М, (см. (25.6)). Поэтому все четыре названных оператора коммутируют с Й (33.!2) так, что Доказанные в ~ 32 теоремы Эренфеста утверждают, что во всяком состоянии ф для среднего значения механических величин имеет место квантовое уравнение Ньютона' ) Р дг (") = де до (34.1) Представим себе, что ф отлично от нуля заметным образом лишь в очень малой пространственной области Ах.
Такое состояние мы будем называть вол но вым пакетом. Если бы среднее значение х изменялось согласно классическому уравнению Ньютона и форма, пакета не менялась бы, то движение пакета ~ф ~в мы могли бы рассматривать как движение материальной точки, подчиняющейся ньютоновской механике. Вообще говоря, такого движения по квантовой механике не получается, так как, во-первых, волновой пакет расплывается, а, во-вторых, чтобы движение центра тяжести пакета х совпадало с движением материальной точки в поле У(х), нужно, чтобы осуществлялось равенство Ои д Г(х) дх дх (34.2) Последнее равенство, вообще говоря, не имеет места. Рассмотрим все же подробнее те условия, при которых движение пакета приближенно совпадает с движением материальной точки. Среднее значение х координаты х, т.
е. координата центра тяжести пакета, определяется формулой х = ~ чр" хф с(х. (34.3) ') Мы ограничиваемся одним пзмерением. Обобщение рассуендений ив про* странственный случай не представляет никакого труда. Глава т)Ъ СВЯЗЬ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ С КЛАССИЧЕСКОЙ МЕХАНИКОЙ И ОПТИКОЙ ф 34. Переход от квантовых уравнений к уравнениям Ньютона г Зг] квкнтоВые уРАВнения и уРАВнения ньютонА !37 Среднее значение силы есть ди г , ди — — = — аг гр* — ф к(х.
дх а дк (34.4) Положим х=х+$, тогда — — — ~ $" (Х+ь) д $(х+$) г)$. (34.4') Допустим, что (7(х) — достаточно медленно меняющаяся функция переменной х в области, где ~ гй !' заметным образом отлично от нуля. Тогда - можно разложить в ряд по степеням $. ди !х+Е) дх Производя это разложение, получим аи аииб Г, ! дги(х) Г., Но 1 гр хгр к(с = 1 Фгф к(х = 1, ~ гр "К г$ = ~ гр" (х — х) ф г(х = О, ~ гг*агф г$ = ~ ф*(» — к)ггр !(» = (Л~)' Поэтому дУ дУ (Х! ! д"У(х) — ~ — — = — — — — — (Ьх) г дк дх 2 дх" (34. 6) Нз уравнения (34.!) имеем агх дУ (х) ! дги(х) — — — — (Ьх)г- ..
Анг дх 2 дхх (34. 7) Аих дУ (к) р ам дх (34. 7') которое будет справедливо для того промежутка времени г, для когорого отброшенные в уравнении (34.7) члены малы, т. е. по крайней л!ере при условии пока ~ дУ (х) ~ ) ! ~ дги (х) ~ (б ) г (34.8) Гсл!! силовое поле медленно изменяется в пространстве, то, выбрав достаточно малую ширину пакета ~Лх)', мы можем в этом уравнении пренебречь всеми членами, кроме первого. Тогда мы получим уравнение Ньютона для движения центра тяжести (х) волнового пакета: )38 связь с клАссическОЙ мехАникоп и Оптикоп !Гл,тп (7=(ф ифдх=()(х).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
