Блохинцев Д.И. Основы квантовой механики (1185107), страница 23
Текст из файла (страница 23)
т. е. уравнение (25.23) удовлетворяется функцией ф!, причем собственные значения оператора М, равны М,=йт, т=-0, -+ 1, ..., !1. (25.24) Ф м! ОПЕРАТОР МОМЕНТА ИМПУЛЪСА МИКРОЧАСТИЦЫ !09 Отсюда следует, что состояния ф„при заданном полном моменте М) (дано (), различающиеся индексом т, суть состояния с различными проекциями момента на ось 02. Полученный нами результат показывает, что возможные значения абсолютной величины момента импульса (25.21) и возможные значения проекции момента импульса на произвольную ось Ол (25.24) имеют квантовые значения. Никакие другие значения, нромв приведенных, не могут реализоваться в природе. В состояниях, в иоторых М' и М, имеют определенные значения, проекции М„и М„не имеют определенных значений (кроме случая 1 = О, когда М' = М„= М„= М, = 0).
Действительно функции (25.22) не являются собственными фуннциями операторов М, и М„(25.8), в чем 'можно убедиться непосредственно. Это же вытекает из некоммутативности М„М„, М,. Разумеется, что возможные значения М„и МР таковы же, как н М, (25.24), ибо направление ОА ничем не выделено, и чтобы убедиться в справедливости нашего утверждения, достаточно представить себе, что ось ОХ нли 01' принята за полярную ось. Поэтому, если мы будем измерять М„или Мю то мы получим всегда одно из значений Ьи (и = О, -+- 1, -+- 2, ...., -+- 1), но при этом возникает новое состояние с определенным значением, скажем, М„. Это состояние будет состоянием с неопределенными М„и М„т.
е. одновременные измерения компонент момента импульса взаимно исключаются: измерение одной компоненты делает неопределенным значение другой. Обратим внимание читателя на некоторые свойства симметрии собственных функций операторов момента количества движения. Произведем операцию замены координат х, у, г на — х, — у, — г, соответственно (отражение от начала координат), которая называется операцией и н в е р с и и. В сферических координатах это означает замену координат г, 6, у на г, и — З, у + и соответственно. При таком преобразовании координате' Р переходитвеьА<~'">= = ( — 1)'"е™, а Рс~"~ (созз) в Р)"'( — созз)=( — 1)+~'"НР~) ~ (созз) (см. (25, 18), (25.19)), Таким образом, У, (з, <р) -переходит в ( — 1)' У~„(З, ч), т.
е. умножается на ( — 1)', независимо от значения т. Йначе говоря, операция инверсии приводит к умножению волновой функции на +1 при четном 1 и на — 1 при нечетном. Состояния с ( — 1)' = + 1 (! — четное) называются ч е т н ы м и, нлн обладающими положительной четностью, состояния с ( — 1)' = = — ! (1 — нечетные) н е ч е т н ы м и', или обладающими отрицательной четностью. Отметим, что понятие ч е т но с т и состояний является более Общим, нежели четносгь состояния с заданным моментом количества движения (см.
$ 107). !!О ИЗОБРАЖЕНИЕ МЕХАНИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН ОПЕРАТОРАМИ !ГЛ. Н! й 26. Оператор энергии и функции Гамильтона а) Оператор кинетической энергии Т. Опыт показывает, что )тинетическая энергия микрочастиц связана с импульсом таким же образом, как и для макроскопических тел '), т. е. Кинетическая энергия Т частицы, имеющей массу р и импульс р, равна (26.1) Этот факт заставляет написать оператор кинетической энергии в виде (26.2) Подставляя сюда значение операторов Р„, Р„, Р, из (24.1), находим (26.2') аз з а! где рз есть оператора Лапласа ~9з= —,+ —,+ —,!. В силу такого выбора оператора Т его собственные значения Т равны (26.1), если под Рл, ЄЄпонимать собственные значениЯ опеРатоРов импульса Р„, )тя, Р,.
В самом деле, уравнение для собственных функций тр (х, у, г) оператора Т есть Ттр = Ттр, (26.6) Ему удовлетворяет функция, представляющая плоскую волну де Бройля ! !" Р„л+ Р„в+ Р,т зРг(х, У, х) =,, е Эта же функция является собственной функцией операторов импульса„так что кинетическая энергия Т измерима одновременно с импульсами р, р„, Р, (разумеется, операторы Т, Р„, Р„, Р, коммутируют между собой).
Оператор Т может быть легко написан в любой криволинейной системе координат. Для этого достаточно написать оператор Лапласа Чз в соответствующей системе координат. В частности, в сферической системе координат оператор вз имеет вид (26.5) где тае следует взять из (25.10). ') Это обстоятельство в сущностя уже использовано в основных соотноше. пнях ле Бройля (сн. $ 7).
%Щ ОПЕРАТОР ЭНЕРГИИ И ФУНКЦИИ ГАМИЛЬТОНА 111 Подставляя уе из (26.5) в (26.2') и имея в виду (25.9), мы получим (26.6) где йав есть оператор квадрата момента импульса, а Т, есть яа 1 д/ад1 Т, = — — — — (~г — ~~. 2р.а В.(, ~Ц (26.7) Оператор Т, может рассматриваться как оператор кинетической энергии, соответствующей двилсениго ло радиусу-вектору, а оператор Иа 2ргл — — как оператор кинетической энергии трансверсального движения '). б) Оператор полной энергии О.
Заметим сначала, чтооператор потенциальной энергии О, поскольку последняя есть функция только координат частицы х, у, г, есть просто (г' (х, у, г). В классической механике полная энергия есть сумма потенциальной и кинетической энергии. Подобным же образом и в квантовой механике оператор, изображающий полную энергию, есть сумма операторов кинетической и потенциальной энергий, т.
е. Й=Т+ О(х, у, г). (26.8) Вид потенциальной энергии (г'(х, у, г) так же, как и в классической механике, заимствуется из опыта и характеризует силовое поле, действующее на частицу. Заметим, что в квантовой механике нельзя сказать, что полная энергия есть сумма кинетической и потенциальной энергий. Кинетическая энергия есть функция импульсов, а потенциальная— функция координат. Как мы знаем, не существует таких состояний квантовых ансамблей, в которых частицы имели бы одновременно определенные импульсы и координаты. Поэтому нельзя измерить полную энергию частицы, измеряя порознь ее кинетическую и потенциальную энергии ').
Полная энергйя должна измеряться непосредственно как одно целое. Возможные значения полной энергии частицы зависят ') Формула (26.6) вполне отвечает представлению кинетической энергии в классической механике в виде Р', Я(е т Л+ 2)л 2рг' ' где Р, — проекция импульса на радиус-вектор г.
Ч Операторы г н О, рааулгеегся, не коммугнруют, в чем легко убедиться, "ольлуясь правилом перестановки (24.4). Отсюда следует, что Т и (г ие могут оыгь определены одновременно для одного н того же состояния лр. ))о изОБРАжение мехАнических Величин ОпеРАтордми )гл. и! от вида У (х, у, г), т. е. от рода частицы и от силового поля, в котором она движется. Нахождение этих значений составляет одну из важнейших задач квантовой механики и будет рассмотрено позже. Полную энергию, выраженную через импульсы и координаты, в классической механике называют функцией Гамильтона, Оператор кинетической энергии Т у нас выражен через операторы импульса (через (26.2)), поэтому оператор 11 мы будем также называть о п е р а т о р о и ф у н к ц н и Г а м и л ь т о н а илн коротко — г а м и л ь т о н и а н о м. $ 27.
Гамильтониан Понятие функции Гамильтона может быть распространено также н на некопсервативпые системы. Поэтому оно является несколько более общим, чем понятие механической энергии. В классической механике существуют простые правила для написания функции Гамильтона. Ее вид определяется природой механической системы, т. е. природой частиц и их взаимодействием между собой и с внешним полем. Зная эту функцию Гамильтона, можно легко найти уравнения движения в произвольной системе координат. Подобные же правила для написания оператора функции Гамильтона — гамильтониана — имеются и в квантовой механике. л(ы ограничимся пока рассмотрением движения одной частицы во внешнем поле и только позднее (З 102) рассмотрим гамильтониан для системы частиц. Следует различать два важных случая: когда силы не зависят от скорости частицы и когда они зависят от нее.
В первом случае сила р является функцией только координат частицы н времени и может бь!ть представлена как градиент некоторой функции У(х,у, г), которую мы назовем силовой функцией'): (27. 1) Если силы ие зависят от времени, то «г' (х, у, г) есть не что иное, как потенцпа.чьная энергия частицы. В этом случае функция Гамильтона совпадает с полной энергией частицы и равна Т + () (х, у, г). Соответствующш! гамильтониан есть (26.8) н совпадает с оператором полной энергии.
В более общем случае функция Гавшльтона есть сумма кинетической энергии Т и силовой «'уикции У: Н = Т + У (х, у, г, 1). Так как У не является ') Чаше в механике под силовой функцией понимают — «г. Заметим еще, что, представлял силу как градиент от К ыы исключаем вихревые поля (слу. чай, ко!да го! р не 0). Однако такого рода силы, не зависящие от скорости, в механике мнкрочастин неизвестны.
ГА>1илътониАН теперь потенциальной энергией, то и Н не есть полная энергия системы. В полной аналопш с классическим выражением функции Гамильтона гамнльтониан напишется в квантовой механике для этого случая в виде й==т+и(., у,, 1), (27.2) где У вЂ” силовая функция. Остается рассмотреть случай сил, зависящих от скорости частицы. В микромире единственяыми известными сила~и такого рода являются силы, возникающие в электромагнитном поле (сила Лоренца). Поэтому достаточно рассмотреть гамильтониан для движения заряженной частицы (заряд е, масса р) в произвольном электромагнитном поле. Как известно из теории поля, произвольное электромагнитное поле может быть описано с помощью скалярного потенциала У и векторного потенциала А, причем еу )дА (27.3) (27.6) ') Сн.
дополнение Ч!. 7)о =го(А, (27.4) где 8 — напряженность электрического поля, Ж вЂ” напряженность магнитного поля. Классическая функция Гамильтона Н, приводящая к правильным уравнениям дан>кения в электромагнитном поле, имеет вид (27.5) где р (р,, р,„р,) есть вектор обобщенного импульса (так что ) 1) р — — А =р», где ч — скорость частицы, ио р ~ рч!) '. Оказывается, что в квантовой механике мы получаем правильный гамильтониан, если под р будем понимать оператор импульса Р = — (йт, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
