Блохинцев Д.И. Основы квантовой механики (1185107), страница 24
Текст из файла (страница 24)
е. оператор Гамильтона для этого случая есть Н=-1-(Р— 'А +е1,. 2)с '1 с Если помимо электромагнитных снл имеются еше и другие сн,пы, описываемые силовой функцией У, то общим выражением для гамильтониана будет Н= — (Р— — 'А), +еУ+У. (27. 7) 2Н( с И4 изовняжвнис ьтехяничиских величин опвпятсплми 1гл.гп Раскроем теперь в явном виде оператор ( Р— -- А) . Имеем с (Р— — 'А) =(Р— -, 'А,) +(Р,— ';Ла) +(Р,— ' Л,) . (27.8) По определению произведения операторов (Є— -е-А ) = (Р,—.; А,)(Р,— —; А») = = Р', — — Ра Л, — Л « Р „+ -е А „-'. Далее, на основании (24А) имеем Р,»Л„— Аара= — — гд да, поэтому (Р» с Л ) =Р~ 'с Аа~ »+ ях" +, А» Повторяя вычисления для остальных двух членов в (27.8) и складывая результаты, находим Н = -о — Р' — — АР+ о — д)у А+ — „Ае+ е$'+ К (27.9) Оператор функции Гамильтона или энергии, как следует из изложенного в этом и предыдущем параграфах, определяется двумя обстоятельствами: 1) природой частицы (в общем случае — системы частиц, ср.
Ь 102) и 2) природой действующих на иее полей. Этот оператор является основным для механики, так как, выбирая его, мы в сущности формулируем на математическом языке все особенности той системы, с которой мы намерены иметь дело. В частности, испо независимо»к пере пенных, входящих в галппльгпониа, по определению равна вислу степеней свободы нашей систе.ны. Успех решения задачи, в смысле согласия выводов теории с опытом уже предопределяется тем, насколько основательно выбран гамильтониан (все ли важные взаимодействия учтены!).
Обычно в качестве независимых переменных в гамильтониане берут декартовы координаты частицы, так как именно при этом выборе переменных операторы взаимодействий (например, потенциальная энергия) выражаются наиболее просто (числом), а оператор кинетической энерпщ — сравнительно простым дифференциальным оператором второго порядка. Однако возможны и другие выборы независимых переменных ').
Чтобы получить выражение гамильтониана в произвольной криволинейной системе координат г)„г)е, г)„достаточно преобразовать ') если частица обладает «олином» (ср. 44 58, вэ, бо), то наряду с координатами в гамииьтониан вколит спиновая переменная. ГАмильтониаи 5 27! полученный нами для декартовой системы координат гампльтониан в эту систему, следуя обычным правилам дифференциального исчисления. (Пример такого преобразования дает формула (26.5).) Вид гампльтоннана в криволинейной системе координат не находится в таком простом отношении к классической функции Гамильтона, какое имеет место в декартовой системе координат (замена р на оператор !о), Это обстоятельство не является случайным.
Декартова система в квантовой механике выделена среди всех других координатных систем тем, что в этой системе кинетическая энергия выра- жаетсЯ сУммой квадРатов компонент импУльса Р,, Ра, Р„так что измерив импульс, мы можем вычислить кинетическую энергию. В криволинейной системе координат кинетическая энергия выражается в виде квадратичной функции обобщенных импульсов: а ом (с)1 Ча с)3) Р!Ра (27.10) сА=-! причем коэффициенты ам являются функциями координат. Измерение Р» (/г = 1, 2, 3) е!це не определяет кинетической энергии, так как нужно еще знать аса. Последние суть функции координат с)а (й = 1, 2, 3) и поэтому не могут быть определены одновременно с импульсамп Ра.
Таким образом, только в декартовой системе координат измерение импульсов есть в то же время и измерение кинетической энергии '). ') Об уравненнкх квантовой механнкн в крнволннейной системе коордн. наг см. дополнение Ч!1. Глава 1'и' ИЗМЕНЕНИЕ СОСТОЯНИЯ ВО ВРЕМЕНИ й 28, Уравнение Шредингера Пусть в какой-нибудь момент времени У = 0 дана волновая функция ф(х, 0), описывающая состояние ансамбля частиц (буксой х мы обозначаем совокупность всех координат частицы). С помощью этой волновой функции мы можем вычислять вероятность результатов измерения различных механических величин для момента времени У=.О в ансамбле частиц, находящихся в состоянии т(>(х, 0).
В этом смысле мы говорим, что волновая функция ф(х, 0) определяет состояние частицы в момент времени У = О, Допустим теперь, что мы намерены произвести измерения не в молгент времени У=О, а позднее, в момент У) О. За это время состояние частицы (в общем случае — системы частиц) изменится и будет изображаться некоторой новой волновой функцией, которую мы обозначим через ф(х, У). Как мы знаем, волновая функция меняется также в результате измерений («редукцня волнового пакетав, 2 17). Сейчас мы предполагаем, что никаких измерений в интервале от (=О до некоторого момента г' не производится, так что речь идет об изменениях состояния, вызванных исключительно движением частицы (или системы частиц) самой по себе, без вмешательства измерительного прибора. Каким образом в этом случае связаны между собой волновые функции ф(х, 0) н ф(х, У)? Так как волновая функция полностью характеризует чистый ансамбль, то она должна также определять и его дальнейшее развитие.
Энто требование выражает принцип причинности в применении к квантовой механике '). Математически это означает, ') Мы оставляем открытым вопрос, насколько такая общепринятая формулировка принципа причинности является единственной. Возмо кна и такая постановка вопроса, когда решение не определяется начальными ланными, а выбирается условиями, относящимися и к прошедшему, и к будущему, так что полу ается задача на нахождение собственных решений в пространстве и врсмспц.
уравнение шредингера что из волновой функции ф (х, 0) для г' =- 0 должна однозначно определяться волновая функция ф (х, т) в более поздние моменты времени. Рассмотрньз функцию ф в момент времени К бесконечно близкий к г=О. Тогда ф(х, Ы)=ф(л, 0)+( ' ) Лг+... Согласно сказанному ( — ','— ) долкп1о определяться пзтр(х, 0), , дф(х, ()~ о»т о т. е. — = (.(х, 0) ф (х, 0), где 1. (х, 0) — некоторая операция, котору|о следует произвести Гдфс ' над ф (х, О), чтобы получить (— (, д! !~.
е' Так как момент 1=0 взят совершенно произвольно, то будем илчеть дф(х, Π— — =. 1. (х, () ф(х, 1). (28.1) Вид оператора (., который можно называть оператором с м е ще н и я в о в р е м е н и, не может быть определен из изложенных выше положений квантовой механики и должен быть постулирован. Согласно принципу суперпозиция состояний этот оператор должен быть линейным. Далее, оператор 1.
яе может содержать ии производных, ни интегралов по времени. В самом деле, если бы ои содержал первую производную по (, то это означало бы просто, что оператор ь есть не тот оператор, который мы хотим иметь: оператор Е выражает первую производную по 1 через ф(х, (). Если бы ои содержал высшие производные по (, то (28.1) означало бы уравнение для ф более высокого порядка, чем первый, и следовательно, для определения состояния в последующие моменты времени нужно было бы знать при т = 0 ие только ф (х, 0), но и производные по времени от ф: ( -,т) ) , ( д;~), ...'), т. е. волновая функция тр не определяла бы состояния системы, что противоречит нашему основному предположению (ф определяет состояние системы). Наличие интеграла по ( означало бы, ') Так, например, уравнение для колебаний струны есть уравнение второго порядка по времени. Для определения состояния струны в л~омент т=о нужно знать не только отклонение струны а (х, 0 для ) =О, но и скорости ее точек да(х, 0 — при т=о.
д( изх!еисинс состояния Во ВРГл!сии !Гл.!ч !!а что для последую!цего играет роль значение !р иа целом отрезке времени, т. е. история процесса. Таким образом, А может содержать ! лишь как параметр. Уравнение (28.1) позволяет по начальной волновой функции !р(х, О) найти функцию ф(х, !) и тем самым предсказать вероятность результатов различных измерений в момент (, в предположении, что в интервале от ( =-0 до ! система ие испытывала никаких дополнительных воздействий, в частности, не подвергалась измерению.
Изменение волновой функции, имеющее место при измерениях (« редукция»), не описывается каким-либо дифференциальным уравнением, а вытекает непосредственно из самого результата измерения (2 1?). Правильный выбор оператора Е подсказывается рассмотрением свободного движения с определенным значением импульса р. Волновая функция для такого движения есть волна де Бройля ф(х, у, г, !) =Не где и;'+ р~~+ и! 2и Непосредственная подстановка показывает, что эта волна удовлетворяет уравнению ~Ф вЂ” 'я рз!р ду 2и Это последнее уравнение можно переписать в виде д11 ! Й д!=ФА Отсюда следует, что для свободного движения оператор смеще! ния во времени Е = —,- Н.
и! В квантовой механике делается обоби!ение зщого чпстного резулылата, именно, принимают, что этот оператор смещения 1. всегда равен 1, = —,- Н, ! (28.2) если под оператором Н понимать гамильтониан для свободного движения частицы 119 УРАВНЕНИЕ ШРЕД!(НЕЕРА 5 зз) где Й есть гамильтониан (оператор функцин Гачпльтоиа), вид которого для разных случаев рассмотрен в 9 27.
В соответствии с этим постулатом уравнение (28,!) для волновой функции тр может быть теперь записано в виде (й АТ вЂ” — Й»Р. дгр (28.3) Это уравнение носит название у р а в н е н н я Ш реди н г е р а. Оно образует одну из основ квантовой механики' ) и обоснование свое' находит ие столько в теоретических и исторических обстоятельствах, приведших к установлению этого уравнения, сколько в согласии с опытом. В раскрытом виде уравиеш)е Шредингера (28.3) в отсутствие магнитного поля, в соответствии со значением оператора Н (см. (27.2) и (26.2')), имеет вид (Й вЂ” = — „7зф+(7 (х, у, г, () ф (28.4) (при наличии магнитного поля следует взять Н нз (27.9)), Наг)более важной особенностью уравнения Шредингера является наличие мнимой единицы перед производной —.
В класдф сической физике уравнения первого порядка по времени не имеют периодических решений — онн описывают необратимые процессы, например, диффузию, теплопроводность '). Благодаря мнимости коэффициента при уравнение Шредингера, будучи уравнением а(' первого порядка по времени, может иметь и периодические решения. Связанная с уравнением Шредингера постановка вопроса «найти ф(л, г), если дана ф(х, О)», имеет смысл лишь в том случае, если ф(х, О) может быть однозначно сопоставлено с иекоторымп определенными физическими условиями.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
