Блохинцев Д.И. Основы квантовой механики (1185107), страница 98
Текст из файла (страница 98)
Чтобы в этом убедиться, положим се= не; тогда имеем р(в) ое р(е) ее +1 (120.16) т) Очевидно, что р(е) не может зависеть вт объема газа, так как иначе функция распределения также зависела бы от него. Такая независимость р(е) от р всегдз имеет место, если объем газа г' значительно больше Аз, где А— длина волны в преобладающем числе занятых состояний. з) См. М. А. Леонтович, Статистическая физика, Гостехиздат, 1944.
При 6- 0 (низкие температуры) ее должно быть больше нуля (если энергию е отсчитывать от нуля так, что е) 0), иначе при ()-» 0 1(е) — 0 и нельзя удовлетворить первому равенству (120.16). Далее, мы видим, что при 0-»0 !'(е) =р(е) для е(ее и )'(е) =0 для е ) е„т. е. при абсолютном нуле все состояния в газе Ферми — Дирака заняты вплоть до состояний с е=е„остальные же состояния свободны. Энергия частиц, занимающих состояния от е=О до е=е, и есть нулевая энергия газа. Более подробное рассмотрение показывает, что такое распределение очень мало меняется с температурой, если только температура остается такой, что Й = ЙТ (( ее.
е„ очевидно, есть максимальная энергия частит(ы в газе Ферми — Дарана при абсолютном нуле температуры. Мы вывели распределения Ферми — Дирака и Бозе — Эйнштейна, исходя из гипотезы о столкновениях (120.4). Эти же распределения могут быть найдены из общих положений термодинамической статистики (ансамбль Гиббса) без каких-либо предположений о кинетике процессов'). э !20! ГАЗ ФЕРМИ вЂ” ДНРАКА И ГАЗ БОЗŠ— ЭПНШТЕИНА ! (зал+ лие Ф лез) (опе)згз (120.17) (нормированы к 1 в 7.з), причем Й„, й„й, имеют значения (120.18) Благодаря такому выбору гг„, й„, й, состояние в объемах (.з повторяется.
Состояния у нас нумеруются числами п„и„, л,. Эту тройку чисел и следует теперь понимать под одним индексом т, фигурировавшим в (120.12). Образуем сумму Р„Ла„Лпгбп, (Кп=-+.1) по состояниям, которые попадают в интервал энергии е, в -)-г(е. На основании ') Строгое доказательство возможности такого приближения и установление границ его применимости до сих пор еще не произведены. Отличие расчетов, базирующихся на квантовой механике, от расчетов, базирующихся на классической механике, заключается в разном способе подсчета числа возможных состояний.
В квантовой механике состояние характеризуется заданием симметричной или антисимметричной волновой функции Ч', и различные перестановки частиц по отдельным состояниям не дают нового состояния (тР переходит сама в себя или меняет знак). С точки зрения классической механики каждая такая перестановка означает новое состояние частиц. Классическая статистика, базирующаяся на таком подсчете состояний, представляет собой предельный случай квантовой статистики, в которой число состояний исчисляется по числу различных волновых функций (можно показать, что классическая статистика получается из квантовой, если число частиц в объеме средней длины волны )з много меньше единицы).
В квантовой области различают две статистики — ст а т и с т и к у Ф е р м и— Ди р а к а (для частиц, подчиняющихся принципу Паули,— анти- симметричные Ч) и статистику Бозе — Эйнштейна (симметричные Ч', частицы Бозе). В своих принципиальных основах эти две статистики, конечно, не разлипаются. Применим статистику Ферми — Лирака к электронам проводимости в металле. Последние приближенно можно рассматривать как свободные частицы').
Подсчитаем число состояний на интервал энергии р(е). В объеме металла Аз= У состояния свободных частиц будут стоячими волнами. Удобнее рассматривать бегущие волны, считая металл бесконечно большим, но мы будем предполагать, что в каждом объеме Б'= *к' состояние полностью повторяется («условие периодичностиз). Такое рассмотрение вполне законно, если 7.)~А, где л, есть длина волны преобладающего числа занятых состояний.
Волновые функции будут плоскими бегущими волнами вида 524 втоуичиое кВАнтОВАние и кВАптОВАя стАтпстикА (гл. хх (120.18) имеем ЕЕ 13 ЬЛЗЛЛу Е1ле = 2 ) Лйу Лйу байеу следовательно, б11у~"ПуЛПе = 2 з ~„у бйзбйзбйе= е,е+уз е, е-1-уе (2В)з е, е+уе — 122 — е(ег(зз= —.еее де. (120.19) е, еыбуе М Замечая, что для свободных частиц е= — й и что каждому зна- чению )е соответствуют два состояния с различной ориентацией спина электрона, мы получаем )ер (е) де = ., — в!12 г(е. а,)е (21!)ЗЕЗ (120.20) Подставляя это значение р(е) в (120.14), находим закон распре- деления свободных электронов 26з еЗя (2)е) зе2 е112 Е(е (120.21) е " )-! Вычислим максимальную энергию е, для 9=0.
Так как при 6=0 Р(е) =0 для е)с„, то пз (120.16) и (120 21) имеем ез е, л = ~ ~(е) Ж= — — ~ е"' де= — — — е, (120.22) Яя «2а)312 Г' Вл (2)е)зе2 2 «2я«р 2 ') (2НГ!)З 2 З " ' о Отсюда (120.23) Величина максимальной энергии электрона е, для металлов (и 102' слгз) получается равной нескольким электронвольтам.
Такого же порядка величины средняя нулевая энергия электронов е(0) (точно е(0) = '/зез). По классической теории средняя энергия электронов должна быть гораздо меньше (з/ЗИ'). Более детальное исследование показывает, что ез очень мало зависит от температуры, если только последняя много меньше Тз= †", Эта температура для электронного газа составляет 1О 000'.
Для температур Т~) Т, можно доказать, что распределение Ферми — Дирака переходит в максаелловское распределение е 1(е) е(е=сопз1 е ее!12 1(е (120.24) $ !201 глз ою мп — дп лхл и глз пози — эпнштгпнл 525 Температуру Т, называют температурой вырождения газа. Применение статистики Ферми — Дирака к электронному газу позволило преодолеть многочисленные принципиальные затруднения классической электронной теории металлов и в настоящее время является исходным пунктом современной теории '). В качестве примера распределения Бозе — Эйнштейна рассмотрим черное излучение. Будем считать кванты света (фотоны) частицами.
Соотношение между энергией а и волновым числом и пе для этих частиц есть а=йсо=йс)г, т. е. „— -=Г«с. Так как состоя- ' ~Ы ння фотона представляются плоской волной, то число состояний на интервал энергии будет (120.19), При этом еще нужно умпогкить (!20.19) на 2, так как для каждого значения й возможны две независимые поляризации. Следовательно, из (120.19) получаем р (е) с(е = — ( — 1 — с(в. вп /етз 1 (2я)з (,ас) Лс (! 20.25) Таким образом, закон распределения фотонов по энергии получается в виде (120.26) в '" е — 1 Полное число фотонов неопределенно (= со), поэтому условие (!20.15) для определения ог не может быть использовано. Энергия в единице объема в интервале г(е будет равна е((е) г(е.
Имея в виду, что е=йш, перейдем к плотности излучения и(ш) на интервал частот йо: и (ш) йо= е)'(е) й йо. На основании этого получаем (120.26') е — 1 в При йшч 9 закон распределения должен переходить в классический закон Рэлея — Лжинса (9 6). Чтобы получить этот закон, следует взять се= О. Таким образом, получаем 1!(ш)= гсз ллы ««зз 1 (120.26") е — 1 т. е. формулу Планка' ). ') Литература по квантовой теории металлов весьма обширна.
Укажем книги: А. А. А б р и к о с о в, Введение в теорию нормальных металлов, «Наука», !972; физика ь«еталлов, Электроны, под ред. Дж. 3 а й м а н а, «Мнр», 1972; И, М. Л и ф ш и ц и др., Электронная теория металлов, «Наука», 197!. «) Применяя метод Гиббса, мои«но непосредственно вывести формулу (120.25"), ие прибегая к классическому закону Рзлея — Джинса. (См, сноску на стр. 522). Глава ХХ1 МНОГОЭЛЕКТРОННЫ Е АТОМЫ ф 121.
Атом гелия Атом гелия, второй атом периодической системы, является наиболее простым из многоэлектронных атомов. Однако уже на нем классическая механика потерпела полный крах. Попытки рассчитать его методамн классической механики (с учетом квантовых условий Бора) привели к выводу о невозможности применения классической механики к атомным системам с двумя и большим числом электронов. Было сделано предположение о существовании некоторого рода «немеханических действий». Современная квантовая механика в проблеме многоэлектронных систем не встречает никаких принципиальных трудностей (вычислительные трудности довольно значительны).
Начнем с качественного анализа возможных состояний атома гелия, опираясь при этом на общую теорию систем, состоящих из одинаковых частиц, изложенную в Я 114 — 117. Определим прежде всего вид оператора Гамильтона гт' для электронов атома гелия. Взаимодействия в атоме гелия можно разбить на две группы. В первую входят значительные кулоновские взаимодействия между ядром и электронами, во вторую — слабые мапштные взаимодействия, обусловленные взаимодействием спинов электронов между собой и с орбитальным движением '). Обозначим координаты электронов через хы дг, г,(гт) и х„у„ зе(га), а их спины через а, и ае Оператор кулоновских взаимодействий будет равен 2ее 2ее еа У= — — — — +— ге гм' где первые два члена представляют энергии взаимодействия первого и соответственно второго электрона с ядром атома, имеющим ') В эту же группу следует отнести поправки, обусловленные зависимостью массы электрона от скорости (ср.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
