Блохинцев Д.И. Основы квантовой механики (1185107), страница 100
Текст из файла (страница 100)
Таким образом, Й (г„га) = Н (га г,). (12! 15) Изменение волковой функции Ч'(г„г„ваз, з „1) за время г(1 дается уравнением Шредингера, которое мы напишем в виде 1 4Ч' (г„г„з,з, ь,з, () = —, Н (г„г,) Чг (гз, г,, з„, з,з, () с(Г (12! . 16) подобно тому, как мы это делали в э 115.
Если Ч'(г„га, аеы за„() есть в какой-то момент симметричная функция координат электронов г„г,, то приращение этой функции 4Ч", согласно (121.16) и ввиду (!21.!5), будет также симметричным. Подобным же образом, если Чг (г„г„з,ы з,ы () аитиснмметрична, то и приращение будет антисимметричным.* Следовательно, симметричное в координатах состояние остается симметричным при всех возможных изменениях. Равным образом, антнсимметричное состояние также остается антисимметричным. Следовательно, невозможны переходы из состоЯиий Чгз (121.10) в состоЯниЯ Ч"и (!21.10') и обРатно. Заметим, что следует иметь в виду отличие доказанной сей:ас теоремы от общей теоремы Э 115.
Функции Чг~ и Чгп являются антисимметрнчными функциями в частицах, поэтому между состояниями Чг~ и Чги с точки зрения общей теоремы й 1!5 возможны переходы. Мы доказываем сейчас невозможность перехода между Ч"1 и Ч"и при условии, что не учитывается взаимодействие сосниномм. Поскольку эти взаимодействия все же сугцествуют, то переходы между Ч"1 и Чг~1 на самом деле возможны, но ввиду малости взаимодеиствия со спином они будут очень маловероятны. з) Расчет величины этого расигеплення см, в книге Г.
Бете, Э. Голи и те р, Квантовая механика атомов с одним и двумя электронами, Физмат. гиз, 1900, 4 40. многоэлсктго>шыс атомы >гл. хх~ 532 В .качестве иллюстрации приведем оценки для действия световой волны. Энергия взаимодействия световой волны с зарядом электрона, по порядку величины, будет равна )р" =еса, где а — размеры атома, е — заряд электрона, а о — электрическое поле световой волны (еа есть электрический момент атома). Взаимодействие же световой волны с магнитным моментом электрона, ио порядку вели нина>, равно нроизведешио магнитного момента с > электрона — - на маги~твое поле волны а22: 2пс 1е'ч = — а22; 2рс так как бс и оу(" в световой волне равны, то Чт' 2рса' Ьа есть, но порядку величины, импульс электрона в атоме, а Д>ра — его скорость о.
Итак, Это отношение составляет менее 1>'100. Поэтому весьма маловероятно, что свет вызовет переход, при котором изменится направление спина электрона' ), Иными словами, будут преобладать переходы без изменения сгниа, т. е. переходы между состояниями с одинаковой симметрией в координатах электронов. Это и утвер>хдаст только что доказанная теорема. Следовательно, сслп гелий находится в состоянии с параллельными спинами (антисимметрнчиое в координатах состояние), то весьма маловероятно, чтобы его состояние изменилось на состояние с аитипараллельными спинами (снмметричное в координатах), и наоборот. Положение вещей таково, как если бы существовало два сорта гелия — с параллельными и с аитинараллельными снинаин.
Первый сорт гелия называют орл>огелиелн а второй — иарагелием (см. схему на рнс. 89). )для того чтобы перевести один сорт гелия в другой, нужно изменить направление спина одного нз электронов. Ввиду малости магнитного момента спина это изменение произвести весьма трудно. Видно, что энергетически нижпее состояние гелия должно быть состоянием парагелия. В самом деле, мы неоднократно указывали на то, что нижнее состояние характеризуется волновой функцией без узлов. Но антисимметричная функция Ф,(г„ ге) имеет узел (узловую поверхность при ') Следует егае учесть, что вероятпость перехода пропорпвональна квадрату энергии воэмувсення, поэтому отноп>еппе вероятностей будет >О Ч э мп ЬЗЗ атом гелия г,е-ле).
В самом деле, Фе (г„ге) =- — Фе (г,„г,); при г,=г,=-г получаем Ф, (г, г) = — Ф. (г, г), т. е. Ф,(г, г) =О. Поэтому функцией нижнего состояния должна быть симметричная функция Фа(гь га). Следовательно, это будет состояние, антнсимметричиое в спинах, т. е. состояние парагелия. Таким образом, гелпи в норлгпланом состоянии еслгь иирагелий. В связи с этим возникает вопрос: как получить ортогелнй? Если освещать светом, то практически будут получаться возбужденные состояния опять-таки с антнпараллельными спинами, т. е.
г! ггг гг ° „е вг йрпгггггй йгрпсмай Рис. 89. Расположение спинов в орто- и парагелни. парагелий. Таким путем мы не добьемся никакого результата. Иначе обстоит дело, если бомбардировать гелий электронами. В этом случае мы имеем дело с тремя одинаковымп частицами: два электрона атома гелия и один падающий извне. Поэтому данный нами анализ состояний для двух одинаковых частиц будет в этом случае непригоден. Физически дело сводится к тому, что падающий электрон может стать на место атомного, а атомный вылететь из атома. Так как в пучке падающих электронов есть электроны со всяким направлением спина, то в результате такого обмена в атоме могут оказаться электроны с одинаково направленным спином: парагелий превратится в ортогелий.
Доказательство существования двух гелиев (точнее, двух классов состояний гелия) позволило полностью истолковать всю совокупность спектроскопических данных, относящихся к спектру гелия и к его поведению в различных условиях. На рис. 90 мы приводим схему уровней атома гелия. В парагелни суммарный спин равен нулю. Мультиплетная структура отсутствует. Линни являются одиночными (сннглетными).
Соответствующие термы обозначаются буквами, с присоединением слева вверху значка 1 (например: 'В, 'Р). Напротив, термы ортогелия распадаются на три, близких между собою. Спектральные линии ортогелия соответственно этому расщеплению уровней состоят из трех близких 1гл.ххг многозлектронные АтОмы 334 линий (триплеты). Термы ортогелия обозначаются присоединением слева вверху значка 3 (триплет), например, а5, 'Р. На рис. 90 Е,л1 мги' 77 Рис.
90. Схема спектральных термов гелия. отмечено состояние ортогелия 2а5 как метасгпабильное. Дело в том, что зто состояние есть низшее состояние ортогелия. Переход в нижнее состояние есть переход в состояние 1'5 парагелия з >22) ппиилнжш>нлЯ количественнлЯ теОРиЯ атома гелиЯ баб и связан с изменением направления спина.
Он маловероятен, н атом гелия, оказавшийся в таком состоянии, будет находиться в нем весьма долго, несмотря на наличие запаса энергии в !9,77 эв. На этом мы закончим качественный анализ состояний атома Не и перейдем к приближенной количественной теории. й 122. Приближенная количественная теория атома гелия Для расчета квантовых уровней атома гелия мы применим метод, который хотя и не является лучшим с точки зрения достигаемой точности расчетов, но зато отличается простотой и наглядностью. Уравнение Шредингера для определения квантовых уровней атома Не и волновых функций стационарных состояний имеет вид Й(г„г„эеы э„)Ч'(г„г,, э,„э„)=ЕЖ(г„гз, э,„э„).
(122.1) где яв з Аа а 2га 2га ца(г„гз) = — — 7,з — — у' — — — — = Но(г,)+ На(гз), 2)х т 2Н '- гт г Ф(г„) =--. ам (122.4) (122.5) Оператор На(г„гз) есть оператор полной энергии двух электронов в поле ядра без взаимодействия нх между собой. 1кл(гта) есть энергия взаимодейстшгя электронов.
Наше приближение будет заключаться в том, что эту энергию взаимодействия мы будем рассматривать как малую 'поправку и в качестве нулевого приближения будем брать движение невзаимодействующих электронов в поле ядра'). Волновые функции и квантовые уровни для такого движения известны, так как это есть двиисение в кулоновском поле. Пусть первый электрон находится в состоянии т!>„(гз), энергия Е„, а ') П конце концов оказывается, что энергии пзаинолействпи ие очень мала (иозтому првблшкение ие палпетси особенно хорасшм), но все >хе опа меньше разносп> ввергни низших уровней примерно в трп раза. Так как мы пренебрегаем спииовыми взаимодействиями, то это уравнение, пользуясь (121.5), можно сократить на Е (э,„э,а), Тогда мы получим Й(г„г,) Ф(г„га) =ЕФ(гз, г,), (122.2) причем оператор полной энергии дается формулой (12!А).
Этот оператор можно написать в виде Й(г„гз) =Й,(гм гв)+Ф(гте), (122.3) [гл, хх! мнОГОэлектРОиныс атомы 636 второй электрон — в состоянии ф (г,), энергия Епо Тогда в качестве функции нулевого приближения, принадлежащей энергии Е„+ Ем, можно взять ф, (г„г,) = фа (гг) ф„, (га). (122.6) В самом деле, г)е (г„ гс) фт (г„ гз) = Но (г,) фа (гг) фщ (ге) + Н, (гз) ф„ (гт) ф (га) = = Еафп (гт) ф~п (гз) + Еа4а (гт) фм (1 е) т. е. Н, (гы ге) зрт (г„ге) =(Е„+ Е ) тр, (г„га).
(122.7) Однако энергии Е„+Ел, принадлежит, очевидно, и другое состояние, когда первый электрон находится в состоянии Е, а второй в состоянии Ел, Волновая функция этого состояния есть тра (г„ге) =- фм (г,) т(>а (гс). (122.6') Подобно толгу как мы нашли (122.7), мы найдем, что На(гг, га)чРт (гы гз) =(Еа+Ега)тРа(гз, ге).
(122.7') Таким образом, уровню Еп+Е,„невозмущеииой системы принадлежат два состояния фт и зРз, отличающихся обменом состояпий электронов (1) и (2). Мы имеем дело с вырождением. Это вырождение называют обменным. Согласно общей теории возмущений (9 69) правильная волновая функция нулевого приближения должна быть суперпозицией вырожденных состояний') Ф (Гг, Гз) =стчРг (Гг, Га)+сзтРа (Гт, Гз), (122.8) Амплитуды с, и с, и квантовые уровни Е возмущенной системы определятся из основных уравнений теории возмущения, Так как мы ограничиваемся рассмотрением двукратного обменного вырождения (функции фз и ф,), то мы можем прямо применить теорию для двукратного вырождения, изложенную в 9 69.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
