Блохинцев Д.И. Основы квантовой механики (1185107), страница 99
Текст из файла (страница 99)
В 65). э м!! Атом Гелия 527 заряд +2е, а третий член определяет энергию кулоновского взаимодействия электронов (рис. 87). Оператор магнитных взаимодействий обозначим через !и'. Он будет зависеть от спиноз, положения и скоростей электронов Ф = Ф (э„э„г„г„— 1йр, — (йрв). (121.2) Учитывая еще кинетическую энергию обоих электронов, мы можем написать полный гамильтонпан электронов атома гелия в виде йз Яв 2гз 2зз ез Н (г„г„э„эв) = — — Ч; — — 7з' — — — = + — + Р.
(!21,3) 2И 2И Г, Гз гзз Последний член, как мы знаем (ср. 2 74), очень мал и обусловливает мультиплетную структуру спектров. Ограничиваясь в дальнейшем качественным анализом мультиплетного строения уровней гелия, мы вовсе отбросим этот член и будем исходить из гамильтониана йз Н(гм гз)= — 2 — т!— "йю 2и В этом приближении, когда игнори- Рвс. 87. Взаимодействия в руются малые спнновые взаимодейст- атоме Нс.
вия, переменные, относящиеся к движению центров тяжестей электронов и' к их спину, разделяются. Выбирая в качестве спиновых переменных проекции спинов на некоторое направление (например, 02): зз, и з„, мы можем (ср. 2 60) написать полную волновую функцию двух электронов атома гелия в виде Ч'(г„г„э„, эзз)=СР(г„гз) о(з„, з„), (12!.5) где через о (з„, з„) обозначена часть волновой функции Ч', зависящая от спинов. Оператор Гамильтона Н (121.4) (а также и точный (!21.3)) симметричен относительно обоих электронов ввиду их тождественности.
Поэтому к рассматриваемому случаю применимо утверждение общей теории (2 115), согласно которому волновая функция Ч' (12!.5) должна быть антисимметричной или симметричной относительно частиц, в зависимости от того, подчиняются ли они принципу Паули или нет. Опыт показывает, что электроны подчиняются принципу Паули (впервые именно для электронов он н был установлен). Следовательно, волновая функция (121.5) должна быть антисимметричной МНОГОЭЛЕКТРОННЬИ АТОМЫ (гл. хх! относительно перестановки электронов, т. е.
РЫЧг(гз, га, 5,„5,а)=- — Ч" (Г„, Ге, 5,„5,,), (121.6) Оператор перестановки мы можем представить в виде произведения двух операторов перестановки Р,'е н Р,"а, из которых первый переставляет координаты центра тяжести электронов г, н гги а второй — спины электронов 5„и з,а Тогда (121,6) с помощью(121.5) можно напнсать в виде') Р', Ф(гз, ге) Р," Б(5,т, з,а) = — Ф(гз, ге) 5(5гз, 5,,), (121.7) Отсюда мы получаем две возможности: либо Р;еФ (г„ге) = + Ф (г„г,), (121.8) н тогда Р~.еБ (5)з 5ае) = Б (5-ы 5-ь), Р,'еФ(гт, га) = — Ф(г„ге), Р>а (аеы 5аз) + ~ (зет~ зла) (121.9) (121.8') (121.9') либо же и тогда Первая возможность означает, что координатная функция симметрична, а спиповая антисимметрнчна, вторая возможность означает, что координатная функция антисимметрична, а спиновая— симметрична. Поэтому мы получаем два класса волновых функций для возможных состояний атома Не, именно, Ч'1 = Ф, (гз, г,) Я, (5до 5,), (121.10) Чгтг=Ф.
(гт ге) Оа(зжы 5,а), (121.10') (121.11) где значки сез и О~ и Указывают, как напРавлен спин электРона— по оси ОЕ илн против нее. Но функция (121.11) не является нн симметричной, ни антиснмметричной функцией спиноз электро- ') Утверждение (!21.6) справедливо и в тех условиях, когда спиновым взаимодействием не пренебрегают. Дальнейшее, напротив, базируется на при. ближенин (12!Л). где значками 5 и а обозначены симметричные и соответственно антисимметричные функции.
Рассмотрим теперь подробнее спиновые функции Я, и 5,. Поскольку мы игнорируем взаимодействие спинов, каждую функцию можно было бы написать в виде произведения спиновых функций, рассмотренных в 2 60 (60.6), (60.6'), относящихся к каждому электрону в отдельности, т. е. в виде 8 (зат зе ) = 8ат (зм) 8аа (зга) 629 АТОМ ГЕЛИЙ З 1211 пов. Легко, однако, построить пз функций (12!.11) антиснмметрпчные функции 5„п симметричные 5„.
Рассмотрим сначала случай, когда спины электронов противоположны друг другу. Тогда волновая фущкцпя (12!.! 1) имеет вид 5 (521, ззз) = 51 гь (5,1) 5 гг (зз ), (121.12) но возможно и другое состояние, когда спин первого электрона противоположен оси ОЕ, а спин второго — направлен по осн 02: 5" (з,, ь,т) = 5 л(зы) 5+ ч (з,з). (!21.12') Оба состояния отвечают суммарному спину по оси 02, равному пулю, и оба принадлежат одной и той же эиерпш Е. Поэтому этой же энергии может принадлежать и любая суперпозиция этих состоянн!!.
Среди иих единственная, описываемая антисимметричной функцией 5„, имеет впд') 1 5,(621 612)=- . ~5, (з„,)5 п(з,з) — 5 ь(зс,) 5ь и(ье)). (121.!3) 1' 2 Таким образом, мы определили вид антисимметричной спинозой функции. Если спины электронов параллельны, то антпспммстричные состояния, очевидно, невозможны. В этом случае мы можел! иметь следующие состояния спина электронов: 51 (згз ззз) — 51'1, (6=1) 51чг (зьз)г 5! (заз, з,з) =5- ь (611) 5- и (6.2) (121.14) (!21.14') Таким образом, мы имеем всего три симметричные по спину функции 5;, 5," и 5;".
Первые две относятся к суммарному спину 1, но в состоянии 5; спин направлен по оси 02, а в состоянии 5;— против оси 07. Несколько менее ясно то обстоятельство, что состояние 5;" также относится к суммарному спину 1, но только он ориентирован перпендикулярно оси 02. В этом можно убедиться 1 1) Множитель —, присоединен из сообрагкений нормировки 5„к 1. ) 2 В самом деле, функции 5,, (з,) нормированы к 1 (согласно (60.7).
Если мы образуем произведение 5а (3:1, заз) 5г (5-1, 5- ) А Д и просуммируем по обоим спинам з,,= ь — -, 122=я --, то мы, как легко убедиться, пользуясь (60.7), получим 1 (см, также 4 106). Эти состояния с самого начала симметричны по спину электронов. Кроме того, из функций (!21.12), (121.!2') можно образовать еще одну спммстричную в спинах электронов функцшо„именно, 1 5;"(з„, з,з) = — ~5ь и (з,,) 5,, (з,т)+5 ь (з„)5ь п(з,т)].
(121.14") !г2 МНОГОЭЛЕКТРОИНЫЕ АТОМЫ (гл. хх! ЧЕННЯ б„н Вгх. КРОМЕ ТОГО, мы ищем состояние, симметричное в спинах. Тогда (121.14а) есть единственный способ написать волновую функцию этого состояния '), На рис. 88 приведено схематически расположение спиноз для найденных нами со- Пврагелий 1. $. Пг Пгн У=э Пелла>а" глав эу !(Э. Пелла!в слал"! !р стоянии. Таким образом, состояния, симметричные в коордиРис.
88. Схема сложения спиноз двух натах центров тяжести элекзлектронов. тронов Ф„ суть состояния с На схеме отменены принятые а тексте обозна- СуммарНЫМ СПИНОМ ЭЛЕКТроСос ° состопниа. нов, равным н лю. остояния, антисимметричные в координатах центров тяжести электронов Ф„, суть состояния с параллельнымн спинамн электронов (суммарный спин равен 1). Таких состояний имеется три соответственно трем квантовым ориентациям суммарного спина. Уровни атома !елия распадаются поэтому на два класса: на уровни с ангпипараллельными спиналги и на УРОВНи С ПаРаз!ЛЕЛЬНЫЛги СГ>ипахти. ') Утверждение о принадлежности состояний 5',, 5; и 5;" к спину 1 (сложение спнпов электронов) может быть проверено прямым вычислением.
Если обозначить операторы спинов электронов, определяемые матрицами (89.12), через з, и зе, то оператор полного спина представится матрицей за=э', + з-", + 2х>зз. Собственная функция 5 оператора ьз должна удовлетворять уравнению й 15 ((з+ ) где 1а — число, определяюшее полный спин. Из этого уравнения можно убе. литься, что 1а имеет всего два значения: 1з=о (антипараллельные спины) или 1 =1 (параллельные спины).
Далее непосредственной подстановкой в это же уравнение 5,', 5," и 5;" можно убедиться, что эти функции суть функции, прпналлежашие 1, = 1. Простые выкладки, нужные для доказательства этих предложений, предо. ставляем сделать самому читател>о. проще всего следующим образом. Мы берем в качестве спиновых переменных проекции спина на ось ОЕ. Если речь идет о состоянии, в котором спин ориентирован перпендикулярно к оси ОЕ, то эти переменные б„и б„должны иметь неопределенное значение й .+ —, т. е. состояние со спинам, перпендикулярным к оси Ос, должно записываться в бм и а, переменных так, чтобы фигурно ровалн все возможные зна- Прлгвгелвй в ~зц атом гелия Если мы учтем, что от ориентации спина по отношению к орбитальному движению хотя очень мало, но все же зависит энергия квантового уровня, то мы должны будетл прпйтн к заключению, что уровни с ацтипараллельными спинами будут одиночные (сии г летн ы е), а уровни с параллельными спинами будут рагппдатьсл иа лтргз близких соответственно трем возможным ориентациям суммарного спина относительного магнитного поля, создаваемого орбитальным движением.
Таким образом, эти уровни будут т р о й и ы е (т р и и л е т н ы е) '). Самым замечательным свойством этих двух классов состояний гелия является то, что между ними невозможны (почти невозможны) квантовые переходы. В самом деле, спнновые взаимодействия очень малы, и если ими пренебречь, то гамильтониан электронов атома гелия, даже при действии внешних полей, например светового поля, будет симметричным относительно координат электронов, так как внешнее поле одинаково действует на оба электрона.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
