Блохинцев Д.И. Основы квантовой механики (1185107), страница 97
Текст из файла (страница 97)
Тогда матрица Н„„будет диагональной. Если через ею обозначитьсобственные значения энергии частиц, то Н „= — е„б „. При таком выборе переменных уравнение (118.15) имеет вид ай„— с(Л!„Л!а..,., () =~е ЛГ с(Л)Г, У„..., ()+ п~ + — - 1 а"„а;"„)Т'лн„ел„а,а„с (Л!м Лте...., 1). (119.1) м, ез аа', Сумма ~',В,„Л! =Е есть полная энергия всех частиц без учета их ю взаимодействия.
Вводя вместо функций с(ЛГ„Л)а, ..., () медленно меняющиеся амплитуды Ь (Л!„Уе,..., 1) =с(Л(„Лг„..., Т)е" получим вместо (119.1) уравнение для Ь(Л!„Л!е, ..., 1): «и — Ь(Л), Лга, ..., 7)=- — т е "('" " " л) х «Т! т' " '''' 2 « «и, »е, а, л' х а",",а У',„а„а„Ь (Л)т, ЛГ„..., 1). (119.2) Допустим, что в начальный момент времени населенность различных состояний характеризуется числами У"„ЛГ«', ..., так что все амплитуды Ь при 1=0 равны нулю, кроме 1 е 1 (Л!» Л!» Л)«Л«» Л)» Л)о ) ') Н. Н. Б о гол юбое, Д. В. Ш и р к о в, Введение в теорию квантованных полеи, «Наука», !973; А.
И. Ах и евер, В. Б. Бе рестецки й, .Квантовая алектродннамика, «Наука», !969. з!8 ВТОРИЧНОЕ КВАНТОВАНИЕ И КВАНТОВАЯ СТАТИСТИКА [ГЛ. ХХ Пользуясь обычным приемом теории возмущений, подставим в правую часть уравнения (1!9.2) начальное значение Ьп. 'Тогда, имея в виду свойства операторов а„"'„ а,";,, а„ а., (см. (1!8.12) и (!18.12')), получим уравнение для определения Ьгп в первом при- ближении (й„— Ьги (Ж'„№, ..., № +1, ..., Л"„+1, ... „У„" — 1, $ Х (Ж„" ° +! ) ь У„' ьМ~ '* ))У„п„ч „„.
(119.3) Интегрируя это уравнение по времени н вычисляя вероятность д перехода в единицу времени Р „; „„= — ~ Ьно(' (ср. вычисления афпг, пп' — ~~, 9 84), найдем Р„° „„— (У +1)(У ° +1) ЛпЛгп — -Х Х ~ Юяпг, пп' ~~ 6 (е + е и — е, — Рп ), (119.4) причем наличие «бп-функции обеспечивает закон сохранения энергии. Подобным же образом, понимая в (119.2) под а', а,"и, ап и а„ операторы Ферми — Дирака (118.24), получим для случая частиц Ферми Р„,п;=(1 — М;„)(! — У' ) М"„ЬГи„-,'- ~ )Р'„,„сии!'Х Х б (е + е ° — еп — еп ). (119.5) Зти формулы показывают, что в системе одинаковых частиц вероятность перехода из начального состояния (а, а') в конечное (т, и') зависит не только от числа частиц в начальном состоя- нии (и, и'), но от населенности конечного состояния (и, т'). Зто совершенно новый результат квантовой теории, не имеющий места в классической механике.
Для частиц Бозе вероятность перехода тем больше, чем больше частиц уже находится в конечном со- стоянии. Частицы Бозе имеют, таким образом, тенденцию накап- ливаться в одном состоянии. Напротив, для частиц Ферми веро- ятность перехода равна нулю, если состояние, в которое проис- ходит переход, занято (Лг,", =! нли ЬГ' ° =- 1).
Зто есть новое выражение для принципа Паули. 9 120. Гипотеза О столкновениях. Газ Ферми — Дирака н газ Бозе — Эйнштейна В классической кинетической теорнп предполагается, что вероятность перехода частиц в результате столкновения из некоторого состояния л и и' (энергии частиц еп и еп ) в другое состояние ~л 5 цо) глз Фнрми — диилкл и глз вози — эннштвннл 519 и т' (энергии частиц к и е ) пропорциональна числам частиц в начальных состояниях У, и Уьн Ртт', ла' = '!май', ел'Мпй ло (120.1) Если М„и ӄ— среднее число частиц в состояниях л и и', то г)редполагаггпся в соответствии с (120.1), что среднее число переходов из и, и' в т, т' равно Р, '=А, УУг (120.1') при этом А „, ~ =Али ° (так называемый «принцип детального баланса»'). На основании квантовой механики мы должны для газа, состоящего нз одинаковых частиц, сделать другое предположение о среднем числе переходов под влиянием столкновений.
Как было показано в предыдущем параграфе, вероятность перехода зависит не только от числа частиц в исходных состояниях, но и от степени населенности конечных состояний, именно, вместо (120.1) в согласии с (119.4) и (119.5) имеем для вероятности столкновения в случае частиц Ферми Р,„„=А„„, (! — М ) (1 — У„) У„М„(120.2) (М„„Мм, У,„У„=1 или О). В этой формуле явно выражен принцип Паули: если одно из конечных состояний занято У„=! или У ° =1, то перехода быть не может. Подобным же образом для частиц Бозе имеем Рмм', лп' = Атмзпл' (У~+ 1) (Мм'+ 1) У„У„.
(120.3) Здесь множители (М +1) и (У ° +1) не имеют столь наглядного значения, какое имеют множители (! — Ую), (1 — У ) вслучае частиц Ферми. Однако необходимость наличия таких множителей была нами доказана (9 119). Как уже отмечалось, частицы Бозе имеют тенденцию к ассоциации: они переходят в наиболее населенные состояния '). Равенство величин А а„и А~ „(обратный переход) вытекает в квантовой механике из того факта, что А „ „, пропор- ') Этот принцип справедлив не всегда. Он, во всяком случае. справедлив в первом приближении теории квантовых переходов (см. Я 84, 85) и строго справедлив, если силы взаимодействия между частицами — центральные (ср.
144 и цитированную там работу Д. И. Блохинцева). з) Это приводит к замечательному свойству газа из частиц Бозе: прн низкой температуре наступает своеобразная конденсдция этого газа, даже если предположить, что газ †совершен идеальный, так что силы взаимодействия бесконечно малы. См. А. Е!пз(е)п, Бег)сите бег Ргенм. Акад. 3 (1925).
Теория идеального газа Бозе была развита Н. Н. Боголюбовым (Лонги. Рьуз. ы55Й Х1, 23 (1947)). Эта теория позволяет дать толкование интересному явлению сверхтекучести гелия. 520 ВТОР!!'ПЮС КВАНТОВАНИЕ 1! КВАНТОВАЯ СТАТИСТТ!КА !ГЛ. ХХ Далее, при равновесии среднее число частиц в каждом из со- стояний Л) будем считать только функцией энергии этого состоя- ния е [У =Лг(е )1. На основании закона сохранения энергии при столкновениях (ср.
(119.4) и (119.5)) имеем е +е„=е„+е„. (120.6) Из (120.5) получаем, что У„У, У„У„, 1 '»м 1'— " Мм' 1'» Л« где С вЂ” некоторая постоянная, которая может зависеть (на осно- вании сделанного предположения об Ф и закона сохранения (120.5)) лишь от суммы е„+е ° (или е„+е„=е +е„). Таким образом, =С(е„+е ). (120.5") — м)ж м' (!20.5') Обозначая =ср(е ), мы перепишем (120.5«) в виде Л'м 1 х ~м ер(е ) !р(е ) =С(е +е ). (!20.У) ') Мы называем (120.4) «предполо>кепяем», так как в выражении для вероятпостк перехода (120.2) разумеются пстяккые зпачеккя паселекяостя уровне!! М«, М„„Л)„„М„„, а в (120.4) стоят средние значения М«, Л)«о М«о Мм' Равенство (1 -»- Мм) (1 е Мм,) М'„„„, = (1 эз !у,„) (! а- М„„) У«М„, ке является очевидным к выполияется яе прк всех условиях.
цпонально квадрату модуля матричного элемента энергии взаимодЕЙСтВИя )ач м. „„, а Чгм,„м, =((УД«А«ва (СМ. СНОСКУ На Стр. 519). В соответствии с (120.2) и (120.3) для газа пз одинаковых частиц в квантовой механике для среднего числа переходов под влиянием столкновений! берут вместо (120.1') выражение )»м»»', ««' = ~м «', ««' (! ~ Ча) (! ~ Л м') Л'«У«' (120.4) причем знак — берут для частиц Ферми, а знак + для частиц Бозе. Формулу (120.4) мы будем рассматривать как новое предположение о среднем числе столкновений частиц, основанное на квантовой механике').
Очевидно, что (120.4) преврзшзется в классическое выражение (120.1), если среднее число частиц в каждом из состояний! малб в сравнении с единицей. Найдем теперь распределение по энергиям при тепловом равновесии в газе частиц Бозе нли Ферми. При тепловом равновесии число переходов в состояния п и н' в результате столкновения частиц, находившихся в состоянии т и и', должно равняться числу обратных переходов. Из (120.4) тогда получаем (в силу равенства А, ' = А««', мм') (! ! у ) (! -+ )Ч,) у„у„, — (! -+- )Ч„) (1-+- Лг„.) У У . (120.5) з 1м! глз евгми — диглкл и глз воза — эпнштеинл 521 Д!крреренцируя это равенство один раз по е и другой раз по е„.
и деля один результат на другой, найдем (120.8) ~р (е~и) <р (ещ ) 0 ' где Π— некоторая постоянная, не зависящая от е. Интегрируя теперь (120.8) по е„, находим ев Ч(а )= (120.9) где сг — постоянная интегрирования. Отсюда находим для сред- него числа частиц в состоянии с энергией е„: Жл й (ея) е (120.10) е ге! (знак + для частиц Ферми, знак — для частиц Бозе).
Прн боль- шой энергии частицы (е — «оо) закон распределения по энергиям должен совпадать с классическим законом Больцмана е„, (!( (а~) сопз(, е дг (120,11) где й — постоянная Больцмана, а 7 — абсолютная температура, Переходя в (120.!О) к пределу е,„- оо и сравнивая с (120.!1), находим, что О=РТ. Таким образом, окончательно У (120.12) ,лг ",! Постоянная интегрирования а определится нз условия равенства числа частиц во всех состояниях полному числу частиц в рассматриваемом объеме газа: ЯУ =У. (120.13) Совокупность частиц, подчиняющихся закину распределения (120.12) со знаком (+), носит название газа Ферми — Дирака, а со знаком ( — ) — газа Бозе — Эйнштейна.
Закон (120.12) явно написан для дискретных состояний. Введем число состояний на интервал энергии г(е. Обозначим его через г'р(е) Не, где Р— объем всего газа. Тогда, суммируя (120.!2) по всем квантовым состояниям, энергия которых попадает в интервал е, е+с(е, мы получаем среднее число частиц газа, имеющих энергию между е, е+дв (закон распределения по энергиям): Рр (е] ка — — а еЕ -,! боо Вторичное кВАнтОВАние и кВАнтОВАя статистикА (гл.
Хх и деля на т', получаем то же число для единицы объема газа ((е) с1е= — — а ео .~- 1 Вместо (120.13) теперь следует написать Г(е) с(е= ~, =и, р (е) г(е о еа (! 20.15) где п=У/Ъ' — плотность числа частиц'). Распределение (120.14) со знаком (+) носит название распределения Ферми — Дирака, а со знаком ( — ) — раси р еделени я Бозе — Эйнштейна. Наиболее существенной особенностью распределения Ферми — Дирака является существование нулевой энергии газа.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
