Блохинцев Д.И. Основы квантовой механики (1185107), страница 102
Текст из файла (страница 102)
Поэтому эту часть энергии взаимодействия электронов называют кулоновской (в узком смысле слова). Другая часть (А) не может быть наглядно истолкована. Формально величину А можно рассматривать 'как электростатическую энергию двух зарядов, распределенных с плотностями р „и р'„„. Эту часть энергии взаимодействия электронов называют обменной энергией.
В этом смысле говорят, что энергия взаимодействия двух электронов состоит из двух частей — кулоновской К и обменной А . На самом деле следует иметь в виду, что как К, так н А обусловлены кулоновским взаимодействием (прн е = 0 и К =-.О, и Л = О). Различие между кулоповской энергией (в узком смысле слова) и обменной Л основано на приближенном представлении 1 функций системы Ф, и Ф, в виде =(2Р, + фе). Тем не менее это )'2 разделение энергии взаимодействия на кулоиовскую и обменную части оказывается очень плодотворным и поэтому получило право па существование. Согласно теории возмущений поправка к энергии е должна просто равняться средней энергии возмущения в соответствующем состоянии. Это утверждение легко проверить для рассматриваемого нами случая.
Энергией возмущения является кулоновская ее энергия взаимодействия электронов —. Чтобы вычислить среден нее значение этой энерпш в некотором состоянии Ф(г,, ге), нужно е' умножить — на вероятность положения первого электрона в обем ласти еЬ, и второго в области до„т. е. на ~ 111 ~ее(о,дпе, и проинтегрировать по всем возможным положениям электронов, т. е. вычислить интеграл ее 1 ее — = е1 — ~ Ф 12 с(о,сЬ2. (123.5) е„ игл.хх! МНОГОЭЛВКТРОННЫВ АТОМЫ 542 Этот расчет позволяет нам глубже взглянуть на происхождение обменной энергии. Величина ~ф1 ~21(о11(о2 есть вероятность того, чго первый электрон находится в области е(о1 и в состоянии л, а второй — в области е(о2 и в состоянии ап Аналогично величина ~ ф2 |2 е(п1 е(о2 есть вероятность того, что первый электрон находится в области е(о1 н в состоянии и, а второй — в области 11ое и в состоянии л.
Если бы состояния ф1 и ф2 были независимы, то мы получили бы, что вероятность первому электрону находиться в области е(о1, а второму — в области 1(ое, независимо от того, в каких состояниях эти электроны находятся, равна (считая ф1 н фз равновероятпыми) ~(~ 12 1 (| Ф1 ~ + ~ 1Р2 ~ ) 1(о1 1(о2 (123.?) На самом деле состояния ф1 и фе оказываются не независимыми, и фактически реализующееся состояние есть ср= —.. (1г + 1ре). 1 — Ге- (123.8) Волновые функции ф1 и ф, находятся при этом в определенных фазовых соотношениях, п мы получаем в выражении для вероят- ности нахождения частиц в областях до1 и 1Ь2 интерференцноп- ный член е(Р;2 = ~ гр ~2 еЬ1 1(о2 = е(Р1 - (ф1ф1 + 2р(1'1р2) еЬ1 еЬ„(123.9) который и приводит к существованию обменной энергии.
Легко видеть, что обменная энергия вовсе не связана специально с кулоповским взаимодействием электронов, Предположив любое другое взаимодействие наших частиц (Р'(г„), мы все равно получили бы среднюю энергию 1Р'(г12) в виде двух частен: энергии (Р', которая получилась бы, если бы в (123.3) вместо Ее — ввести 1Р'(г1,), и обменной энергии А, которая получилась бы из (123.4), если опять-таки вместо — ' ввести туда 1Р'(г12).
ем Таким образом, всякое классическое взаимодействие )р'(г12) двух одинаковых частиц ведет к обменной энергии. Обменная энергия не имеет никаких аналогов в классической механике. Открытие ее сущсствоваппя является одним из фундаментальных и новых результатов квантовой теории. Название «обменная энергия» выяснится гораздо полнее, если мы рассмотрим состояния Ф, в которых распределение частиц по состояниям а и лг фиксировано. Для этого обратимся к временной зависимости состояний Ф„и Ф,. Так как это- 2 (221 ОБМЕННАЯ ЭНЕРГИЯ стационарные состояния, то 1 — — „(Е'+ К+ А) ( Ф, = — (2()1+ Ю е 1Г2 (123.10) 1 — — (во+К вЂ” А) ( (1)„= =- ((р1 — )К2) е 'г' 2 Обозначим Ео+ К о) О л 2 Я 6=— (123.11) и рассмотрим вместо сро и Ф, состояние, являющееся их суперпознцией (это будет уже не стационарное состояние): Ф= — (Фо+Фо) = 1 = — е '" ' 121)1 (е-'и+ е(о) +(Р2 (е (о' — ео)], (123.
12) или ) С1 (1) )()1+ С2 ( ) 2()2 (123.13) где с, (1) = е-'"' соз 61, со (1) = (е-("и з(п 61. (123.14) (123.16) Отсюда следует важный вывод: время обменп сос(пояниями обратно пропорционально обменной энергии. Интересно посмотреть те условия, при которых обменная энергия столь мала, а время обмена столь велико, что обменом можно совсем пренебречь. Обменная энергия зависит от плотности Р (г) =-)(),', (г) ф„(г), следовательно, она зависит от того, насколько Согласно статистическому значению амплитуд с, и с, величина ~ с, (2 есть вероятность нахождения системы в состоянии (р1 (т. е.
первый электрон в и, а второй в п(), а (со 12 — вероятность того, что система находится в состоянии (ро (т. е. первый электрон в т, а второй в и). Имеем (с1 (1) )2 = созо 61, ( с, (1) )2 = э(п' 61, (123.15) отсюда взятое нами состояние Ф (123.12) таково, что прн 1=0 первый электрон находится в состоянии )1)„, второй в состоянии )Р„. Спустя время т= — получим )с(1'=-О, )со)2=1, т. е.
перВЫй ЭЛЕКТРОН ПЕРЕЙДЕТ В СОСТОЯНИЕ 2(), а ВтОРОй В (Ро — ПРОНЗОйдет обмен состояниями. На основании (123.11) мы видим, что это время обмена можно выразить через обменную энергию. Именно, мы получаем, что многоэлвктго~ шыв лтомы 544 !гл.
хх> перекрываются функции состояний ~)>„, и ф,. Если ф„,=-О там, где ~р„:, О, плп ф„,=,еО там, где ф,=О, то р„„=О и обменная энергия вовсе отсутствует. Этот крайний сл) чай является, однако, идеализацией. Тем не менее мы можем вывести нз него важное заключение: если состояния ф,„п Ч>, таковы, что (ф„~з и (ф,~' сосредоточены в разных частях пространства, то обменная энергия мала (стремится к нулю). Допустим теперь, что состояния ф„суть состояния электрона в атоме, но энергии Е„и Е„, предположим сильно отличающимися: Е„)~ Е„.
Тогда функция ф„сосредоточена в области, очень близкой к ядру, а ф„довольно широко распространяется от ядра. Так как обе функции нормированы к 1, то это означает, что Ч> мало там, где ф, заметно велико. Следопательпо, плотность р „опять-таки мала. Таким образом, обменная энергия мала н обменом можно пренебречь, если идет речь либо об обмене состояниями, сосредоточенными в разных частях пространства, либо об обмене состояниями, сильно отличающимися по энергии. Последнее обстоятельство оправдывает, например, то, что во многих случаях можно пренебречь обменом оптического электрона с электропамн внутренних оболочек. $ 124.
Квантовая механика атома и периодическая система элементов Менделеева Открытый Менделеевым периодический закон является важнейшим законом природы. Оп составляет основу не только химии, но и вообще всей современной атомной и ядерной физики.
Теория этого закона далеко еще не завершена. Проблема структуры атомных ядер находится еще в зачаточном состоянии, а между тем именно ядро атома определяет полностью структуру его электронной оболочки, н вместе с тем — химические и физические свойства атома в целом. Однако если рассматривать характеристики атомных ядер как данные из опыта, то квантовая механика позволяет понять периодичность в структуре электронных оболочек атомов, исходя из теории движения системы электронов в электрическом поле ядра. Таким образом, для выяснения природы периодичности можно ограничиться расчетом движения электронов в атомах, исходя нз заданной массы ядра и его заряда.
Поставленная таким образом задача представляется все же еще чрезвычайно трудной математически из-за большого числа электронов в атомах. Напомним, что в классической механике даже проблема движения трех тел пе получцла до спх пор общего и полного решения. К счастью, в атомной механике поло>кение лучше н многие практически важные результаты могут быть получены с помощью приближенных методов.
Причиной такого упро- з !зц квлнтовля михли!!Кд Атоыл !! исР!!Од!!'!сскля с!ютсил щения является дискретность состояний электронов в атомах. Благодаря этому, на основе принципа Паули и теории движения электрона в поле цситралы!ой силы, удается достигнуть существенных результатов в понимании распределения электронов в атомах и вместе с тем периодичности в химических свойствах элементов. При этом первостепенное значение имеет понятие порядкового номера (2) элемента в таблице Менделеева. Это понятие было введено еще самим Менделеевым, поскольку в ряде мест своей таблицы ои отступил от исходного принципа — расположения элементов по возрастающему атомному весу и придал большее значение периодичности химических свойстг,.
Позднее классические исследования Резерфорда и Мозли показали, что атомиый помер имеет глубокий физический смысл, именно номер элсмс»та Л равен заряду ядра, измеренному в едишщах элементарного заряда (+ е). Вместе с тем этот же помер для нейтрального атома равен числу электронов в его электро!шой оболочке. Поэтому, зная номер элемента У, мы знаем важнейшие для атомной механики данные — заряд ядра и число электронов в атоме. Как теперь хорошо известно, ядра атомов образуются из незаряженных частиц — нейтронов (заряд О, масса 1,00898, если массу кислорода принять за 16) и протонов (заряд + е, масса 1,00?59).
Число протонов в ядре, согласио сказаниому выше, должно быть равно У. Атомы с одинаковым числом протонов, ио отличающиеся друг от друга числом нейтронов, имеют один и тот >ке помер Е, ио разный атомный вес А. Такие атомы называются паол!опал!и. Химические свойства зависят от числа электронов в нейтральном атоме, т. е. от Л, поэтому изотопы химически равноценны '), и совокупность изотопов.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
