Лекции по СТО и классической термодинамике (1183864), страница 9
Текст из файла (страница 9)
Ò.÷. ñêàæåì ïåðâûé çàðÿä ñîçäàåò ïîëå Ee1 ~~~3 R, êîòîðîå äåéñòâóåò íà âòîðîé çàðÿä ïî çàêîíó f1→2 = e2 E1 . Èëè íàîáîðîò |R~ |âòîðîé çàðÿä ñîçäàåò ïîëå, êîòîðîå äåéñòâóåò íà ïåðâûé çàðÿä.Òåïåðü ñìåùåíèå çàðÿäà â íîâîå ïîëîæåíèå áóäåò ïðèâîäèòü ê âîçìóùåíèþ ïîëÿ,êîòîðîå áóäåò ðàñïðîñòðàíÿòüñÿ ñ êîíå÷íîé ñêîðîñòüþ, â ñîîòâåòñòâèè ñ åãî äèíàìè÷åñêèìè óðàâíåíèÿìè, äî äðóãîãî çàðÿäà. Ñèòóàöèÿ î÷åíü ïîõîæà íà òîò ïðîöåññ,êîòîðûé ÿ îïèñûâàë â ïåðâîé ëåêöèè. Òàêèì îáðàçîì, êàçàëîñü áû òàâòîëîãè÷åñêàÿçàìåíà ïðèâîäèò ê êîíöåïòóàëüíî íîâîìó ïîíèìàíèþ ñèòóàöèè.•Çàêîí ÁèîÑàâàðà ãëàñèò, ÷òî ñèëà, äåéñòâóþùàÿ íà ýëåìåíò òîêàñòîðîíû ýëåìåíòà òîêàd~l1ñèëûJ1 ,ðàâíà37d~l2ñèëûJ2ñîiiJ1 J2 h ~ h ~~ = −df~2→1 , 3 d l2 × d l1 × R~c2 Rdf~1→2 =~Rãäåðàäèóñâåêòîð îòd~l1êd~l2 .Àíàëîãè÷íî çàêîíó Êóëîíà, êîíöåïòóàëüíî áîëåå ïðàâèëüíûé âçãëÿä íà ýòîò çàêîíñëåäóåò èç ïðåäñòàâëåíèÿ î òîì, ÷òî ýëåìåíò òîêà~1 =dBd~l1ñîçäàåò ìàãíèòíîå ïîëå~ J1 ~Rdl1 × 3 ,~cRêîòîðîå, â ñâîþ î÷åðåäü, äåéñòâóåò íà âòîðîé ýëåìåíò òîêà ñ ñèëîé:iJ2 h ~~1 .d l2 × d Bcdf~1→2 =Èëè æå íàîáîðîò ïîëå ñîçäàåò âòîðîé ýëåìåíò òîêà, à îíî óæå äåéñòâóåò íà ïåðâûéýëåìåíò òîêà.•Ïðèíöèï ñóïåðïîçèöèè ãëàñèò, ÷òî ýëåêòðè÷åñêîå ïîëå îò íåñêîëüêèõ çàðÿäîâ åñòüñóììà ýëåêòðè÷åñêèõ ïîëåé îò êàæäîãî èç íèõ ïî îòäåëüíîñòè.
Àíàëîãè÷íî ìàãíèòíîå ïîëå îò íåñêîëüêèõ òîêîâ åñòü ñóììà ìàãíèòíûõ ïîëåé îò êàæäîãî èç íèõ ïîîòäåëüíîñòè.•Çàêîí àóññà ãëàñèò, ÷òî ïîòîê ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ ÷åðåç çàìêíóòóþ ïîâåðõíîñòüSíå çàâèñèò îò åå îðìû, à ïðîñòî ðàâåí ïîëíîìó çàðÿäóQâíóòðè îáëàñòèVSîãðàíè÷åííîé ýòîé ïîâåðõíîñòüþ:14πÇàðÿäQ,ìîæíî ïðåäñòàâèòü êàêZZ~ d~s = Q.ERRRQ=ρd3 V ,VSSìåíÿÿ òåîðåìó Îñòðîãðàäñêîãîàóññà, ïîëó÷àåì:RRR~ d3 V .div EVSãäåRRSρ ïëîòíîñòü çàðÿäà. ÏðèRRR ~~~E d~s =∇, E d3 V =Ïîýòîìó ðàññìàòðèâàåìîå óðàâíåíèå ñâîäèòñÿ ê:ZZZVS~ − 4 π ρ d3 V = 0.divEÒ.ê. ïîñëåäíåå óðàâíåíèå âåðíî äëÿ ëþáîé 3ìåðíîé îáëàñòèïîëíÿòüñÿ òîëüêî, åñëè~ = 4 π ρ.divEÈ ìû ïîëó÷àåì îäíî èç óðàâíåíèé Ìàêñâåëëà.•VS ïðèðîäå íåò ìàãíèòíûõ çàðÿäîâ:ZZ~ d~s = 0BS38VS ,òî îíî ìîæåò âû-Säëÿ ëþáîé çàìêíóòîé ïîâåðõíîñòèâ ïðîñòðàíñòâå.
Àíàëîãè÷íî ðàññìîòðåííîìóâûøå ñëó÷àþ, èç ýòîãî óðàâíåíèÿ ñëåäóåò, ÷òî~ =0divB åùå îäíî èç óðàâíåíèé Ìàêñâåëëà.•Çàêîí ýëåêòðîìàãíèòíîé èíäóêöèè Ôàðàäåÿ ãëàñèò, ÷òî ýëåêòðîäâèæóùàÿ ñèëà (èëèC ïðîïîðöèîíàëüíà èçìåíåíèþ ïîòîêàSC , íàòÿíóòóþ íà êîíòóð C :öèðêóëÿöèÿ ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ) ïî êîíòóðóìàãíèòíîãî ïîëÿ ÷åðåç ëþáóþ ïîâåðõíîñòüI~ d~l = − 1 dEc dtCZZ~ d~s.BSCÏðåîáðàçóÿ ëåâóþ ÷àñòü ýòîãî óðàâíåíèÿ ïî òåîðåìå Ñòîêñà, ïîëó÷àåì:ZZSC~~ + 1 ∂BrotEc ∂t!d~s = 0.Ò.ê. ýòî èíòåãðàëüíîå óðàâíåíèå âûïîëíÿåòñÿ äëÿ ëþáîé ïîâåðõíîñòèSC , òî äîëæíîáûòü âåðíî, ÷òî:~+rotE~1 ∂B=0c ∂t î÷åðåäíîå óðàâíåíèå Ìàêñâåëëà.•È íàêîíåö èç ýêñïåðèìåíòà ñëåäóåò, ÷òî öèðêóëÿöèÿ ìàãíèòíîãî ïîëÿ ïî çàìêíóòîìóC ïðîïîðöèîíàëüíà ñóììå ñèëû òîêà, ïðîòåêàþùåé ÷åðåç ëþáóþ ïëîùàäêóSC , íàòÿíóòóþ íà êîíòóð C , è ñêîðîñòè èçìåíåíèÿ ïîòîêà ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ ÷åðåçêîíòóðóòó æå ïëîùàäêó:Iãäå~j~ d~l = 4 πBcCZZ~j d~s + 1 dc dtSCZZ~ d~s,ESC ïëîòíîñòü ýëåêòðè÷åñêîãî òîêà.
Âîñïîëüçîâàâøèñü òåîðåìîé Ñòîêñà ñ ëåâîéñòîðîíû ýòîãî ðàâåíñòâà, ïîëó÷àåì:~ =rotB~4 π ~ 1 ∂Ej+cc ∂t ïîñëåäíåå èç óðàâíåíèé Ìàêñâåëëà.2. Äâà èç ïðèâåäåííûõâûøå óðàâíåíèé Ìàêñâåëëà~ = 4πρdivE~~ = 4 π ~j + 1 ∂ ErotBcc ∂t39(38)íàçûâàþòñÿâòîðîé ïàðîé óðàâíåíèé Ìàêñâåëëàè îïðåäåëÿþò òî, êàê âûãëÿäÿò ÝÌ ïî-ëÿ, ñîçäàâàåìûå òîé èëè èíîé êîíèãóðàöèåé òîêîâ è çàðÿäîâ. Ìû áóäåì ïîäðîáíî îáñóæäàòü ýòè óðàâíåíèÿ â ñëåäóþùèõ ëåêöèÿõ.Ñåé÷àñ æå ìû îáðàòèìñÿ ê äðóãîé ïåðâîéïàðå óðàâíåíèé Ìàêñâåëëà:~ =0divB~~ = − 1 ∂B .rotEc ∂t(39)Ýòè óðàâíåíèÿ íå çàâèñÿò îò âíåøíèõ èñòî÷íèêîâ çàðÿäîâ è òîêîâ.
Ò.å. îíè ïðîñòî îïðåäåëÿþò òî êàê ÝÌ ïîëÿ ñâÿçàííû ìåæäó ñîáîé. Ïîýòîìó ìîæíî íàäåÿòüñÿ, ÷òî íàéäåòñÿòàêîå ïðåäñòàâëåíèå äëÿ ÝÌ ïîëåé, ÷òî ðàññìàòðèâàåìûå óðàâíåíèÿ áóäóò âûïîëíÿòüñÿòîæäåñòâåííî. Äåéñòâèòåëüíî, åñëè~ = rotA~B(40)~ ~x), òî ïåðâîå èç ðàññìàòðèâàåìûõA(t,div rot ≡ 0. Ïðè ýòîì âòîðîå èç ðàññìàò-äëÿ ëþáîãî äèåðåíöèðóåìîãî âåêòîðíîãî ïîëÿçäåñü óðàâíåíèé âûïîëíÿåòñÿ òîæäåñòâåííî, ò.ê.ðèâàåìûõ óðàâíåíèé ïðèíèìàåò âèä:~~ + 1 ∂Arot Ec ∂t!= 0.Ïîëó÷åííîå óðàâíåíèå âûïîëíÿåòñÿ òîæäåñòâåííî, åñëè:~~ + 1 ∂ A = −gradϕ =⇒Ec ∂t~~ = − 1 ∂ A − gradϕEc ∂täëÿ ëþáîãî äèåðåíöèðóåìîãî ïîëÿ(41)~ íàçûâàþòñÿ ÝÌϕ(t, ~x), ò.ê. rot grad ≡ 0.
Ïîëÿ ϕ è Aïîòåíöèàëàìè. Èõ âèä, ñ òî÷íîñòüþ äî íåêîòîðûõ ïðåîáðàçîâàíèé, èêñèðóåòñÿ âòîðîéïàðîé óðàâíåíèé Ìàêñâåëëà, êàê ìû óâèäèì íà ñëåäóþùèõ ëåêöèÿõ.Çàìå÷ó, ÷òî, åñëè ñäåëàòü çàìåíó~′ = A~ + gradαA1 ∂αϕ′ = ϕ −c ∂t(42)~ èB~ ïî íîâûìäëÿ ëþáîé äèåðåíöèðóåìîé óíêöèè α(t, ~x), òî ïîñòðîåííûå ÝÌ ïîëÿ E~ ′ è ϕ′ íå áóäóò îòëè÷àòüñÿ îò ÝÌ ïîëåé, ïîñòðîåííûõ ïî ñòàðûì ïîòåíöèàïîòåíöèàëàì Aëàì~ è ϕ.
Ýòî î÷åíü âàæíîå ñâîéñòâî ïðåäñòàâëåíèÿ ÝÌ ïîëåé ÷åðåç ïîòåíöèàëû íàçûâàAåòñÿ êàëèáðîâî÷íîé èëè ãðàäèåíòíîé èíâàðèàíòíîñòüþ. Îíà ëåæèò â îñíîâå ñîâðåìåííûõïðåäñòàâëåíèé î óíäàìåíòàëüíûõ ñâîéñòâàõ ïðèðîäû.  ñëåäóþùèõ ëåêöèÿõ ìû óâèäèìâàæíûå ñëåäñòâèÿ, âûòåêàþùèå èç ýòîé èíâàðèàíòíîñòè.40~ ìîæíî âûðàçèòü ñ òî÷íîñòüþ äî êàëèáðîâî÷íîãî ïðåîáðàçîâàíèÿB~ . Êàê ìû óâèäèì â ñëåäóþùèõ ëåêöèÿõ, åñëè îáúåäèíèòü ïî(42), ÷åðåç ïîòåíöèàëû ϕ è Aµ~~ (òîãäà Aµ = (ϕ, −A)~ ), òî óðàâíåíèÿòåíöèàëû ϕ è A â îäíî 4âåêòîðíîå ïîëå A ≡ (ϕ, A)Èòàê, ÝÌ ïîëÿ~EèÌàêñâåëëà ïðèîáðåòàþò ÿâíî Ëîðåíö êîâàðèàíòíûé âèä.
Ò.å., íåñìîòðÿ íà òî, ÷òî Ìàêñâåëë íè÷åãî íå çíàë î ÑÒÎ, îí íàïèñàë óðàâíåíèÿ, êîòîðûå ðåëÿòèâèñòñêè èíâàðèàíòíû.È ýòî íå ñëó÷àéíî, ò.ê. óðàâíåíèÿ Ìàêñâåëëà â òîì ÷èñëå îïèñûâàþò ýëåêòðîìàãíèòíûåâîëíû, ðàñïðîñòðàíÿþùèåñÿ ñ ðåëÿòèâèñòñêîé ñêîðîñòüþ.µx) íàçûâàåòñÿ 4âåêòîð ïîòåíöèàëîì ÝÌ ïîëÿ. ßñíî, ÷òî íàçûâàÿ ýòó âåÏîëå A (t, ~ëè÷èíó 4âåêòîðîì, ìû ïîäðàçóìåâàåì, ÷òî ïðè çàìåíå îäíîé ÈÑÎ íà äðóãóþ (ïðè ïðå0~ ïðåîáðàçóþòñÿ êàê ñîîòâåòñòâóþùèå êîìîáðàçîâàíèè Ëîðåíöà) ïîòåíöèàëû A ≡ ϕ è Aµïîíåíòû 4âåêòîðà, ò.å. òàê æå êàê è êîìïîíåíòû, ñêàæåì, x .′Äëÿ 4âåêòîð ïîòåíöèàëà êàëèáðîâî÷íûå ïðåîáðàçîâàíèÿ ïðèíèìàþò âèä: Aµ = Aµ −∂µ α.3.Êàê ìû óâèäèì â ñëåäóþùèõ ëåêöèÿõ, ïðè âûâîäå óðàâíåíèé Ìàêñâåëëà èç ïðèí-öèïà íàèìåíüøåãî äåéñòâèÿ èìåííî 4âåêòîð ïîòåíöèàëAµ ,à íå ÝÌ ïîëÿ~Eè~,Bèãðàåòðîëü îáîáùåííîé êîîðäèíàòû â òåîðèè ÝÌ ïîëåé.
Ïîýòîìó íàøà çàäà÷à, ïîñòàâëåííàÿ âíà÷àëå ýòîé ëåêöèè, ñâîäèòñÿ ê ïðàâèëüíîìó îïèñàíèþ âçàèìîäåéñòâèÿ çàðÿæåííîé ðåëÿòèâèñòñêîé ÷àñòèöû èìåííî ñ 4âåêòîð ïîòåíöèàëîì.×òîáû ïîëó÷èòü âûøåóêàçàííûé äîïîëíèòåëüíûé âêëàä∆Sâ äåéñòâèå, ìû äîëæíûïîñòðîèòü ðåëÿòèâèñòñêèé èíâàðèàíò èç ìèðîâîé ëèíèè ÷àñòèöûöèàëàAµ (x).zµ (t)è 4âåêòîð ïîòåí-Ïðîñòåéøèé ðåëÿòèâèñòñêèé èíâàðèàíò, êîòîðûé ìîæíî ïîñòðîèòü èç ýòèõâåëè÷èí, èìååò ñëåäóþùèé âèä:Z2µAµ [z] dz =1Z21dz µAµ [z(s)]ds =dsãäå èíòåãðàë âçÿò âäîëü ìèðîâîé ëèíèè ÷àñòèöû.Z2Aµ [z(s)] uµ ds,1Òàêèì îáðàçîì, ïîëíîå äåéñòâèå äëÿ çàðÿæåííîé ðåëÿòèâèñòñêîé ÷àñòèöû âî âíåøíåìïîëå äîëæíî âûãëÿäåòü êàê:S = −m cZds + κZ2Aµ [z(s)] uµ ds,1ãäå κ ýòî íåêîòîðàÿ êîíñòàíòà. Ïîä÷åðêíó, ÷òî ïðè êàëèáðîâî÷íîì ïðåîáðàçîâàíèèA′µ = Aµ − ∂µ α ðàññìàòðèâàåìîå çäåñü äåéñòâèå ñäâèãàåòñÿ íà êîíñòàíòó, ò.ê.Z1ãäåα(1)èα(2)2A′µµdz =Z21µ(Aµ − ∂µ α) dz = çíà÷åíèÿ óíêöèèα(t, ~x)Z21Aµ dz µ − α(2) − α(1),â íà÷àëüíîé è â êîíå÷íîé ìèðîâûõ òî÷êàõìèðîâîé ëèíèè, ñîîòâåòñòâåííî.
Òàêèì îáðàçîì, ðàññìàòðèâàåìîå íàìè äåéñòâèå äîëæíîïðèâåñòè ê êàëèáðîâî÷íî èíâàðèàíòíûì óðàâíåíèÿì äâèæåíèÿ, ò.ê. ïðè ñäâèãå äåéñòâèÿíà êîíñòàíòó, ïîëîæåíèå åãî ìèíèìóìà íå ìåíÿåòñÿ, à ïîòîìó íå ìåíÿþòñÿ è óðàâíåíèÿäâèæåíèÿ.R2Aµ [z(s)] uµ ds èíâàðèàíòíà îòíîñèòåëüíî1óïîìÿíóòûõ â ïðåäûäóùåé ëåêöèè ðåïàðàìåòðèçàöèé ìèðîâîé ëèíèè ÷àñòèöû.Çàìåòèì òàêæå, ÷òî êîìïîíåíòà äåéñòâèÿÍèæå ìû óâèäèì, ÷òî åñëèκ = −e/c,ãäåe ýëåêòðè÷åñêèé çàðÿä ÷àñòèöû, òî ðàñ-ñìàòðèâàåìîå äåéñòâèå ïðàâèëüíî âîñïðîèçâîäèò ñèëó Ëîðåíöà ýêñïåðèìåíòàëüíî íà-41áëþäàåìóþ âåëè÷èíó.
Èòàê, åñëè ïîäñòàâèòüz µ (t) = (c t, ~z(t)), òî äåéñòâèå ïðåäñòàâëÿåòñÿâ îðìå:ZeµS=−m c + Aµ [z(s)] u ds =c1sZ t2˙~z2 (t)e ~−m c2 1 −[t, ~z (t)] ~z˙ (t) dt.− e ϕ [t, ~z (t)] + A=2cct12(43)Çäåñü äëÿ ïîëíîòû ÿ âûïèñàë ÿâíî âñå àðãóìåíòû âñåõ óíêöèé â ïîäèíòåãðàëüíîì âûðàæåíèè. Äàëåå ÿ, êàê ïðàâèëî, ýòîãî äåëàòü íå áóäó. ðåçóëüòàòå Ëàãðàíæèàí ðåëÿòèâèñòñêîé ÷àñòèöû âî âíåøíåì ïîëå ðàâåí:sL = −m c24.1−~z˙ 2e ~ ˙A, ~z−eϕ+c2c(44)Èòàê, ìû õîòèì âûâåñòè óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ ðåëÿòèâèñòñêîé ÷àñòèöû âî âíåøíåìïîëå èç ìèíèìóìà äåéñòâèÿ:S=−Zt2t1√edt m c ż 2 + Aµ (z) ż µ ,cãäå äëÿ êðàòêîñòè ââåäåíî îáîçíà÷åíèåÝéëåðà äëÿ Ëàãðàíæèàíà îáùåãî âèäàż 2 ≡ żµ ż µ .
Âîñïîëüçóåìñÿ óðàâíåíèåì ËàãðàíæàL(zµ , żµ ), êîòîðîå ìû âûâåëè íà ïðîøëîé ëåêöèè. íàøåì ñëó÷àå:∂L e= − ∂µ Aν [z(t)] ż ν∂z µ żcd ∂L dżµe=−m c √ − Aµ [z(t)] .dt ∂ ż µ z dtż 2 c∂Aν. Çàìå÷àÿ, ÷òî ïî ïðàâèëó äèåðåíöèðî∂z µâàíèÿ ñëîæíîé óíêöèè ìíîãèõ ïåðåìåííûõ: ïåðâîé îðìóëå ìû îáîçíà÷èëè∂µ Aν ≡d∂Aµ dz νAµ [z(t)] =,dt∂z ν dtïîëó÷àåì ñëåäóþùåå óðàâíåíèå ËàãðàíæàÝéëåðà:ed żµe√ − (∂ν Aµ ) ż ν ,− (∂µ Aν ) ż ν = −m ccdt ż 2 cêîòîðîå ýëåìåíòàðíî ïðåîáðàçóåòñÿ â:mcd dzµedz ν√ = (∂µ Aν − ∂ν Aµ ).dt dt ż 2cdt42√Fµν = √∂µ Aν − ∂ν Aµ = −Fνµ , âñïîìèíàÿ, ÷òî dt ż 2 = ds è ðàçäåëèâ îáå÷àñòè ýòîãî óðàâíåíèÿ íàż 2 , ìû ïîëó÷àåì óðàâíåíèå äâèæåíèÿ ðåëÿòèâèñòñêîé ÷àñòèöûÂâîäÿ îáîçíà÷åíèåâî âíåøíåì ÝÌ ïîëå:mceduµ= Fµν uν .dsc(45)Òåïåðü âèäíî, ÷òî ïîëó÷åííîå íàìè óðàâíåíèå ÿâíî Ëîðåíö êîâàðèàòíî, òî åñòü óäîâëåòâîðÿåò ïðèíöèïó îòíîñèòåëüíîñòè.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
