Лекции по СТО и классической термодинамике (1183864), страница 13
Текст из файла (страница 13)
Äåéñòâèòåëüíî, ïðîèíòåãðèðóåì ïîëó÷åííîå óðàâíåíèå ïî íåêîòîðîé îáëàñòèZM3dV∂ρ+ div ~j∂td=dtãäåQMM.Ò.å. ïîëó÷åííîå óðàâíåíèå çàðÿä âíóòðè îáëàñòèZM3ìåðíîãî ïðîñòðàíñòâà:Zdd V ρ+d V div ~j =QM +dtMM33ZZ~j d~s = 0,∂MM , à ∂M RRçàìêíóòàÿ 2ìåðíàÿ ãðàíèöà 3ìåðíîé îáëàñòèd~j d~s óòâåðæäàåò, ÷òî çàðÿä â îáëàñòè MQ=−Mdt∂Mèçìåíÿåòñÿ òîëüêî çà ñ÷åò åãî ïðèòîêà èëè îòòîêà ÷åðåç ãðàíèöó ýòîé îáëàñòè. Åñëè æå÷åðåç ãðàíèöó îáëàñòè M íå ïðîíèêàåò íèêàêîé òîê, òî çàðÿä âíóòðè ýòîé îáëàñòè âîîáùådíå ìåíÿåòñÿQM = 0.dtÌû óæå çíàåì, ÷òî äåéñòâèå, îïèñûâàþùåå âçàèìîäåéñòâèå çàðÿæåííîé òî÷å÷íîé3.÷àñòèöû ñ ÝÌ ïîëåì, èìååò âèä:e∆S = −cZτ2dτ ż µ (τ ) Aµ [z(τ )] .τ1dτ =. Ìû æå õîòèìR ds/cRRRR4ïðåäñòàâèòü åãî â âèäå èíòåãðàëà ïî 4ìåðíîìó ÏÂ, ò.å.
êàê èíòåãðàëd x ≡ dx0 dx dy dz ≡R RRRc dt dx dy dz . Èç äàëüíåéøåãî ñòàíåò ÿñíî, çà÷åì ýòî íóæíî.×òîáû ïðåîáðàçîâàòü 1ìåðíûé èíòåãðàë â 4ìåðíûé, íàì íàäî âîñïîëüçîâàòüñÿ δ óíêöèåé.Ýòî äåéñòâèå ñîäåðæèò îäèí èíòåãðàë ïî ñîáñòâåííîìó âðåìåíè êîíöå ýòîé ëåêöèè ìû îáñóäèì ýòó óíêöèþ áîëåå ïîäðîáíî. Ñåé÷àñ æå íàì ïîíàäî-δRóíêöèÿ ýòî òàêàÿ óíêöèÿ, ÷òî äëÿ ëþáîé äîñòà+∞òî÷íî õîðîøåé f (x) âåðíî, ÷òîf (x) δ(x) dx = f (0). Äàëåå ìîæíî òàê æå îïðåäåëèòü−∞(4)00112δ (x−y) ≡ δ(x −y ) δ(x −y ) δ(x −y 2 ) δ(x3 −y 3 ). Ñ èñïîëüçîâàíèåì ïîñëåäíåé óíêöèè,áèòñÿ ïðîñòî åå îïðåäåëåíèå:ìîæíî çàïèñàòü:ecãäåZ1dτ ż (τ ) Aµ [z(τ )] = 2cµµj (x) = e cZZd4 x j µ (x) Aµ (x),dτ ż µ (τ ) δ (4) [x − z(τ )] .Äåéñòâèòåëüíî:ZZZe144µd xAµ (x) dτ ż µ (τ ) δ (4) [x − z(τ )] =d x j (x) Aµ (x) =c2cZZZeeµ4(4)=dτ ż (τ )d x Aµ (x) δ [x − z(τ )] =dτ ż µ (τ ) Aµ [z(τ )] .cc61(82)Êàê ìû ñåé÷àñ óâèäèì, (82) ÿâëÿåòñÿ 4âåêòîðîì ïëîòíîñòè òîêà äëÿ òî÷å÷íîé ÷àñòèöû.0Åãî íóëåâàÿ êîìïîíåíòà èìååò âèä (z = c t):0j (x) = e cZdz 0 (4)δ [x − z(τ )] = e cdτdτZdz 0 δ(x0 − z 0 ) δ (3) [~x − ~z(t)] = e c δ (3) [~x − ~z(t)] ,~z (t) òðàåêòîðèÿ ÷àñòèöû â 3ìåðíîì ïðîñòðàíñòâå.
Ò.å. ðàññìàòðèâàåìàÿ êîìïîíåíòàj 0 ðàâíà ñêîðîñòè ñâåòà, óìíîæåííîéçàðÿäà äëÿ òî÷å÷íîé ÷àñòèöû ρ(x) =RRR 3íà ïëîòíîñòüRRR(3)0e δ [~x − ~z (t)] . Äåéñòâèòåëüíî,d V j /c = ed3 V δ (3) [~x − ~z (t)] = e äëÿ ëþáîé 3Mìåðíîé îáëàñòè M , âêëþ÷àþùåé çàðÿä â äàííûé ìîìåíò âðåìåíè t.Àíàëîãè÷íî:Zd~zδ x0 − c t δ (3) [~x − ~z (t)] = e ~z˙ (t) δ (3) [~x − ~z (t)] = ρ(x) ~v (t)dtÿâëÿåòñÿ ïëîòíîñòüþ 3ìåðíîãî òîêà äëÿ òî÷å÷íîé ÷àñòèöû (~v = ~z˙ ). Òàêèì îáðàçîì, ðàñRµµ(4)ñìàòðèâàåìàÿ âåëè÷èíà j (x) = e cdτ ż (τ ) δ [x − z(τ )] = (c ρ, ~v ρ) äåéñòâèòåëüíî ÿâ~j = e cdtëÿåòñÿ 4âåêòîðîì ïëîòíîñòè òîêà äëÿ òî÷å÷íîé ÷àñòèöû.4.Òåïåðü ìû ãîòîâû ñîðìóëèðîâàòü ïðèíöèï íàèìåíüøåãî äåéñòâèÿ äëÿ ÝÌ ïîëÿ.Äëÿ ýòîãî íàäî îïðåäåëèòü äåéñòâèå äëÿ ÝÌ ïîëÿ.
Îíî äîëæíî áûòü Ëîðåíö è êàëèáR 4d x îò íåêîòîðîé ïëîòíîñòè.ðîâî÷íî èíâàðèàíòíûì, à òàêæå áûòü èíòåãðàëîì ïî ÏÂÌû çíàåì äâà èíâàðèàíòà ïîëÿI1èI2Fµν .ïîñòðîåííûõ èçÎíè òàêæå è êàëèáðîâî÷íîèíâàðèàíòíû, à ïîòîìó âïîëíå ïîäõîäÿò â êà÷åñòâå ïëîòíîñòè äëÿ îïðåäåëåíèÿ äåéñòâèÿ.Ïîýòîìó åñòåñòâåííî ïðåäïîëîæèòü, ÷òî äåéñòâèå äëÿ ÝÌ ïîëÿ èìååò âèäSEM =ãäåc1,2Zhid4 x c1 Fµν F µν + c2 Fµν F̃ µν , íåêîòîðûå êîíñòàíòû. Íî îêàçûâàåòñÿ, ÷òîI2ÿâëÿåòñÿ ïîëíîé 4äèâåðãåíöèåé:Fµν F̃ µν = ǫµναβ (∂µ Aν − ∂ν Aµ ) (∂α Aβ − ∂β Aα ) = 4 ǫµναβ (∂µ Aν ) (∂α Aβ ) = 4 ∂µ ǫµναβ Aν ∂α Aβ .äå ìû âîñïîëüçîâàëèñü àíòèñèììåòðèåéZd4 x Fµν F̃ µν =ZMǫµναβè òåì, ÷òîd4 x ∂µ ǫµναβ Aν ∂α Aβ =Iǫµναβ ∂ν ∂α Aβ = 0.Ïîýòîìód3 σµ ǫµναβ Aν ∂α Aβ ,∂Mãäå ïîñëåäíèé èíòåãðàë áåðåòñÿ ïî çàìêíóòîé 3ìåðíîé ãðàíèöå∂M4ìåðíîãî ÏÂM(ñì. àïïåíäèêñ â êîíöå ýòîé ëåêöèè). Ò.å.
åãî ïîäèíòåãðàëüíîå âûðàæåíèå çàâèñèò îòãðàíè÷íûõ çíà÷åíèé ïîëåé, êîòîðûå îáû÷íî îñòàþòñÿ èêñèðîâàííûìè (ðàâíûìè íóëþ ïîëÿ â âàêóóìå) â âàðèàöèîííîì èñ÷èñëåíèè äëÿ ïîëåé. Ïîýòîìó âêëàäI2â äåéñòâèåäëÿ ÝÌ ïîëåé ìîæíî îòáðîñèòü, òàê êàê îí íå ìåíÿåò óðàâíåíèé äâèæåíèÿ.Èòàê, äåéñòâèå, îïèñûâàþùåå ÝÌ ïîëÿ è èõ âçàèìîäåéñòâèå ñ âíåøíèì 4âåêòîðîìòîêà, èìååò âèä:1SEM (Aµ ) = −16 π cZ4d x Fµν Fµν621(x) − 2cZd4 x Aµ (x) j µ (x),(83)ãäå ìû çàèêñèðîâàëè êîíñòàíòóc1 = −1/16 π c,÷òî ïðèâåäåò ê âåðíûì êîýèöèåíòàìâ óðàâíåíèÿõ Ìàêñâåëëà, êàê ìû ñåé÷àñ óâèäèì.Ìû õîòèì âûâåñòè èç óñëîâèÿ ìèíèìóìà ðàññìàòðèâàåìîãî äåéñòâèÿ âòîðóþ ïàðóóðàâíåíèé Ìàêñâåëëà, ò.ê. ïåðâàÿ ïàðà óðàâíåíèé âûïîëíÿåòñÿ òîæäåñòâåííî, åñëè∂µ Aν − ∂ν Aµ .Fµν =Îáîáùåííîé êîîðäèíàòîé â ïîñòàâëåííîé âàðèàöèîííîé çàäà÷å ÿâëÿåòñÿïîëå 4âåêòîð ïîòåíöèàëàAµ .Ïîýòîìó:ZZ114µν0=−δd x Fµν F − 2 δd4 x jµ Aµ =16 πccZZ114µνµνd x (δFµν F + Fµν δF ) − 2d4 x jµ δAµ ==−16 πccZZ114µνd x 2 Fµν δF − 2d4 x jµ δAµ ==−16 πccZZ114µννµd x Fµν (∂ δA − ∂ δA ) − 2d4 x jµ δAµ ==−8 πccZZ114µνd x Fµν 2 ∂ δA − 2d4 x jµ δAµ ==−8 πccZ1 µ14= d x∂ Fµν − 2 jµ δAµ ,4 πccR 4R 4 µ11µνãäå íà ïîñëåäíåì øàãå ìû âçÿëè èíòåãðàë ïî ÷àñòÿì, −dxF∂δA=d x ∂ Fµν δAν ,µν4 πc4 πcµè âîñïîëüçîâàëèñü òåì, ÷òî δA |∂M = 0 íà ãðàíèöå ∂M Ï M .
Èòàê, âàðèàöèÿ äîëæíàáûòü ðàâíà íóëþ ïðè ëþáîì δAµ è ìû ïîëó÷àåì âòîðóþ ïàðó óðàâíåíèé Ìàêñâåëëà âËîðåíö êîâàðèàòíîé îðìå (80).5. ×òîáû ïîíÿòü êàê âàðüèðîâàòü ïî ïîëÿì âðîäå Aµ (x) (ðàíüøå ìû âàðüèðîâàëè òîëü-êî ïî òðàåêòîðèÿì~z(t)èëè ìèðîâûì ëèíèÿìzµ (t)),âåðíåìñÿ ê ìåõàíè÷åñêîìó ïðèìåðó,êîòîðûé ìû îáñóæäàëè íà ïåðâîé ëåêöèè. À èìåííî, ìû èìåëè äåëî ñ 1ìåðíîé áåñêîíå÷íîé ðåøåòêîé øàðèêîâ, óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ äëÿ êîòîðûõ èìåëè âèä áåñêîíå÷íîé ñèñòåìûóðàâíåíèém φ̈i = k (φi+1 − φi ) − k (φi − φi−1 )äëÿ êàæäîãîi ∈ Z.Çäåñüφi (t)îòêëîíåíèåiãîøàðèêà èç ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ âäîëüîäíîãî èçìåðåíèÿ (âäîëü ðåøåòêè) â ìîìåíò âðåìåíèt.Ýòè óðàâíåíèÿ ñëåäóþò èç äåéñòâèÿ:S ({φi }) =Zt2t1dt (T − V ) =Zt2t1#2+∞+∞XXk (φj+1 − φj )2m φ̇i.−dt22j=−∞i=−∞" ïîñëåäíåì âûðàæåíèè ïåðâàÿ ñóììà ýòî ñóììà êèíåòè÷åñêèõ ýíåðãèé âñåõ øàðèêîâ,à âòîðàÿ ñóììà ýòî ñóììà ïîòåíöèàëüíûõ ýíåðãèé âñåõ ïðóæèí.Óðàâíåíèÿ ËàãðàíæàÝéëåðà äëÿ ýòîé ìåõàíè÷åñêîé ñèñòåìû èìåþò âèä:∂L{φ},{φ̇}∂L{φ},{φ̇}jjjjd =dt∂φ∂ φ̇iiφ63φ̇i,äëÿ êàæäîãîò.ê.
îáîáùåííûìè êîîðäèíàòàìè äëÿ ðàññìàòðèâàåìîé ìåõàíè÷åñêîé ñè-ñòåìû ÿâëÿåòñÿ íàáîð{φi }.×òîáû óâèäåòü, ÷òî óðàâíåíèÿ ËàãðàíæàÝéëåðà ñîâïàäàþòñ óêàçàííûìè âûøå óðàâíåíèÿìè äâèæåíèÿ, ïîñ÷èòàåì:∂L= k (φi+1 − φi ) − k (φi − φi−1 ) ,∂φi∂L= m φ̇i .∂ φ̇iÏîñëå ÷åãî óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ ñëåäóþò ñ î÷åâèäíîñòüþ.àññìîòðèì òåïåðü íåïðåðûâíûé ïðåäåë, â êîòîðîì ðàññìàòðèâàåìàÿ ðåøåòêà äîëæíà ïðåâðàòèòüñÿ â îäíîìåðíîå óïðóãîå òåëî.  íåïðåðûâíîì ïðåäåëåφ(x, t).Òîãäà äåéñòâèå ïðåîáðàçóåòñÿ ñëåäóþùåì îáðàçîì:S ({φ}) ==Zt2dtt1è∆x → 0.+∞X∆xi=−∞"Z+∞Xt2dtt1i=−∞"2φi (t) → φ(xi , t) →k (φi+1 − φi )2m φ̇i−22#=2 #m φ̇2 (xi , t) k ∆x φ(xi + ∆x, t) − φ(xi , t)−∆x22∆xÒåïåðü åñëè â ýòîì ïðåäåëå äåðæàòüm/∆x = m̄ = constèk ∆x = k̄ = const,÷òîáû ïîëó÷èòü òåîðèþ îïèñûâàþùóþ óïðóãîå òåëî, à íå ïûëü èç ÷àñòèö èëè æå àáñîëþòíî æåñòêèé ñòåðæåíü, òî ðàññìàòðèâàåìîå ìåõàíè÷åñêîå äåéñòâèå ïåðåõîäèò â äåéñòâèå2ìåðíîé òåîðèè ïîëÿ:#m̄ φ̇2 (t, x) k̄ φ′2 (t, x)=−dtS [φ(·)] =dx22t1−∞" 2 #ZZ2k̄k̄1 ∂φ∂φ2=dx 2=d2 x ∂a φ ∂ a φ,−2c̄∂t∂x2ZãäåRd2 x ≡Rdtdx,àZ"+∞c̄ = m̄/k̄ = m/k ∆x2 ñêîðîñòü çâóêà â ðåøåòêå, ââåäåííàÿ åùå íà′ÄàëååÑëåäîâàòåëüíî1 2φ̇c̄2ïåðâîé ëåêöèè,φ.Rt2φ ≡ ∂φ/∂x, φ̇ ≡ ∂φ/∂t.∂a φ ∂ a φ = η ab ∂a φ ∂b φ =||ηab || =∂a φ ≡− φ′2 ,1 00 −11c̄φ̇, φãäå′ 2ìåðíûé ãðàäèåíò ïîëÿ àíàëîã ìåòðè÷åñêîãî òåíçîðà â 2ìåðíîì ÏÂ. ðàññìàòðèâàåìîé òåîðèè â êà÷åñòâå îáîáùåííîé êîîðäèíàòû ìû èìååì ïîëåâ êîòîðîå ïåðåøåë â íåïðåðûâíîì ïðåäåëå áåñêîíå÷íûé íàáîð êîîðäèíàò øàðèêîâÏîýòîìó äëÿ íàõîæäåíèÿ óðàâíåíèé äâèæåíèÿ äëÿ ïîëÿφ(t, x)φ(t, x),{φi (t)}.íåîáõîäèìî âàðüèðîâàòüðàññìàòðèâàåìîå äåéñòâèå èìåííî ïî ýòîìó ïîëþ.
Âûâåäåì óðàâíåíèÿ ËàãðàíæàÝéëåðàäëÿ áîëåå îáùåãî äåéñòâèÿ:S(φ) =Zd2 x L (φ, ∂a φ) .64L = k̄2 ∂a φ ∂ a φ.R +∞L = −∞ dx L. íàøåì ñëó÷àå Ëàãðàíæåâà ïëîòíîñòü ðàâíàâûðàæàåòñÿ ÷åðåç Ëàãðàíæåâó ïëîòíîñòü êàêÈòàê:≡Çàìå÷ó, ÷òî Ëàãðàíæèàí0 = δS ≡ [S(φ + δφ) − S(φ)]linear in δφ ≡Zd2 x {L [φ + δφ, ∂a (φ + δφ)] − L [φ, ∂a φ]}linear in δφ =Z∂L∂L2= dxδφ +(∂a δφ) .∂φ∂(∂a φ) ïîñëåäíåì âûðàæåíèè âòîðîé ÷ëåí â ñóììå ïîä èíòåãðàëîì ïðîïîðöèîíàëåí íååãî ïðîèçâîäíîéδφ,à∂a δφ.
Ìû æå õîòèì íàéòè óñëîâèÿ (óðàâíåíèÿ), ïðè êîòîðûõ âàðèàöèÿδS = 0 ïðè ëþáîì δφ. Ïîýòîìó íàäî íåêîòîðûì îáðàçîì èçáàâèòüñÿïðîèçâîäíîé îò δφ. Ýòîãî ìîæíî äîáèòüñÿ, âçÿâ èíòåãðàë ïî ÷àñòÿì,äåéñòâèÿ ðàâíà íóëþâ ýòîì ÷ëåíå îòñëåäóþùèì îáðàçîì. Çàìåòèì, ÷òî ïî ïðàâèëó Ëåéáíèöà∂a∂Lδφ∂(∂a φ)= ∂a∂L∂(∂a φ)Ïðîèíòåãðèðóåì îáå ñòîðîíû ýòîãî ðàâåíñòâà ïîñ ëåâîé ñòîðîíû ïîëó÷åííîãî ðàâåíñòâà:Z2d x ∂aM∂Lδφ∂(∂a φ)=RIδφ +d2 xè âîñïîëüçóåìñÿ òåîðåìîé Ñòîêñàdla∂M∂L∂a δφ.∂(∂a φ)∂Lδφ,∂(∂a φ)ãäå èíòåãðàë ñ ïðàâîé ñòîðîíû ýòîãî ðàâåíñòâà áåðåòñÿ ïî çàìêíóòîé 1ìåðíîé ãðàíèöå∂M2ìåðíîãî ÏÂM.Çàìå÷ó, ÷òî â âàðèàöèîííîé çàäà÷å â òåîðèè ïîëÿ Ï îáû÷íîáåðåòñÿ áåñêîíå÷íî áîëüøèì âî âñåõ íàïðàâëåíèÿõ:[t1 , t2 ] → (−∞, +∞).Íà ãðàíèöåìû èêñèðóåì ãðàíè÷íûå è íà÷àëüíûå çíà÷åíèÿ ïîëåé, à ïîòîìó èêñèðóåìδφ ∂M= 0.6Ïîýòîìó ðàññìàòðèâàåìûé èíòåãðàë ðàâåí íóëþ .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
