Лекции по СТО и классической термодинамике (1183864), страница 16
Текст из файла (страница 16)
 ñëó÷àå ýëåêòðîäèíàìèêè ìû èìååì äåëî,âîîáùå ãîâîðÿ, ñ ÷åòûðüìÿ óðàâíåíèÿìè äëÿ êàæíîãîν = 0, 1, 2, 3.À òàê æå ñ ïðàâîéñòîðîíû óðàâíåíèÿ (112) èìååòñÿ èñòî÷íèê, îòâå÷àþùèé ýëåêòðè÷åñêîìó òîêó. Çàìå÷ó,÷òî äëÿ ïîëÿφ(t, x)òîæå ìîæíî äîáàâèòü èñòî÷íèê ñ ïðàâîé ñòîðîíû ñîîòâåòñòâóþùåãîóðàâíåíèÿ. Ôèçè÷åñêèé ñìûñë òàêîãî èñòî÷íèêà ñîñòîèò êàê ðàç â òîì, ÷òî ìû ìîæåì äèñëîöèðîâàòü øàðèêè èç èõ ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ. Äåéñòâèòåëüíî, äåéñòâèå âíåøíåé ñèëû79íà i-é øàðèê íàφi (t)(èëè æå íàφ(t, x) â íåêòîðîðîéñòîðîíå ðàññìàòðèâàåìîãî óðàâíåíèÿ â âèäå èñòî÷íèêà.2.x) ïðîÿâëÿåòñÿ íà ïðàâîéÏîêàæèòå ýòî ñàìîñòîÿòåëüíî.òî÷êåÍàéäåì êàêîå ïîëå ñîçäàåò ïîêîÿùèéñÿ â íà÷àëå êîîðäèíàò òî÷å÷íûé çàðÿä.
Åñòüìíîãî ñïîñîáîâ ðåøèòü ýòó çàäà÷ó. Ìû âûáåðåì íå ñàìûé ïðîñòîé, íî óíäàìåíòàëüíûéñïîñîá. Îí äàñò íàì ìåòîä ðåøåíèÿ àíàëîãè÷íûõ áîëåå ñëîæíûõ çàäà÷.Ìèðîâàÿ ëèíèÿ çàðÿäà, êîãäà îí ïîêîèòñÿ â íà÷àëå êîîðäèíàò, èìååò âèä(t, 0, 0, 0).Ïîýòîìó êîìïîíåíòû òîêà ñëåäóþùèå:0j = ecò.ê.z µ (t) =~z(t) ≡ 0.Ïðè ýòîìZdt~j = 0dz 0δ x0 − z 0 δ (3) [~x − ~z(t)] = e c δ (3) (~x),dtîïÿòü æå ïîòîìó ÷òî÷àñòíîå ðåøåíèå íåîäíîðäíîé ñèñòåìû óðàâíåíèé:~z(t) ≡ 0.Èòàê, ìû äîëæíû íàéòèA0 = 4 π e δ (3) (~x),~ = 0.AÍàñ èíòåðåñóåò ðåøåíèå ýòîé ñèñòåìû óðàâíåíèé ñ ãðàíè÷íûì óñëîâèåì, ÷òîAµðàâíîíóëþ íà ïðîñòðàíñòâåííîé áåñêîíå÷íîñòè.
(ßñíî, ÷òî òî÷å÷íûé çàðÿä ñîçäàåò íóëåâîåïîëå î÷åíü äàëåêî îò åãî ïîëîæåíèÿ.) Òîãäà âèäíî, ÷òî òî÷å÷íûé ïîêîÿùèéñÿ çàðÿä íåñîçäàåò ïîëå~.AÒ.å. ðåøåíèå âòîðîãî óðàâíåíèÿ ~ = 0.A ñëåäóþùåé ëåêöèè ìû áóäåìνîáñóæäàòü íåíóëåâûå ðåøåíèÿ îäíîðîäíûõ óðàâíåíèé (ïðè j = 0), íî îíè íå ñîçäàþòñÿèñòî÷íèêàìè íà ïðàâîé ñòîðîíå òàêèõ óðàâíåíèé, à ñóùåñòâóþò áåç èñòî÷íèêîâ. È îíè íåðàâíû íóëþ íà áåñêîíå÷íîñòè.~ ≡ rotA~ = 0 ïîêîÿùèéñÿB0Óðàâíåíèå æå íà A ≡ ϕ èìååò âèä:Èòàê, â ðàññìàòðèâàåìîì ñëó÷àå,ñîçäàåò ìàãíèòíîãî ïîëÿ.Èç êàëèáðîâî÷íîãî óñëîâèÿ1 ∂2ϕ− ∆ϕ = 4 π e δ (3) (~x).c2 ∂t2~ =0~ =0èA∂µ Aµ ≡ ∂t ϕ − ∂~ Aýëåêòðè÷åñêèé çàðÿä íåñëåäóåò, ÷òîϕíå çàâèñèò îòâðåìåíè.
Ñëåäîâàòåëüíî, ìû äîëæíû ðåøàòü óðàâíåíèå Ïóàññîíà:∆ϕ = −4 π e δ (3) (~x).(113)àçëîæèì ðåøåíèå ýòîãî óðàâíåíèÿ â èíòåãðàë Ôóðüå:ϕ(~x) =ãäåϕ̃(~k) Ôóðüå ãàðìîíèêè ïîëÿZd3 k i ~k ~x ~e ϕ̃(k),(2 π)3ϕ(~x).(114)Ìàòåìàòè÷åñêèé ñìûñë ïðåîáðàçîâàíèÿ Ôóðüåÿ îáñóæäàþ â êîíöå ýòîé ëåêöèè. Ñåé÷àñ æå òîëüêî çàìå÷ó, ÷òî íåñìîòðÿ íà òî, ÷òî~3ei k ~x êîìïëåêñíàÿ óíêöèÿ, ðåóëüòàò åå èíòåãðèðîâàíèÿ ïî d k ÿâëÿåòñÿ äåéñòâèòåëüíîéóíêöèåéϕ(~x), òàê êàê ϕ̃∗ ~k = ϕ̃ −~k, êàê ñëåäóåò èç îáðàòíîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ Ôóðüå.Äàëåå âñïîìíèì, ÷òî80(3)δ (~x) ≡ δ(x) δ(y) δ(z) =Zdkx i kx xe2πZdky i ky ye2πZdkz i kz ze=2πZd3 k i ~k ~xe .(2 π)3Òàêèì îáðàçîì, óðàâíåíèå Ïóàññîíà ñâîäèòñÿ ê:ÇäåñüãðàëàZd3 k i ~k ~xd3 k i ~k ~x ~eϕ̃(k)=−4πee .∆(2 π)3(2 π)3îïåðàòîð Ëàïëàñà äåéñòâóåò òîëüêî íà ~x, ïîýòîìó åãî ìîæíîi ~k ~x:è ïðèìåíèòü ïðÿìî ê óíêöèè ei ~k ~x∆eZi kl xl≡ ∂j ∂j eâíåñòè ïîä çíàê èíòå-∂xn i kl xle= ∂j i kn δnj ei kl xl =∂j (i kn xn ) = ∂j i kn∂xj~~= i kj ∂j ei kl xl = (i kj i kj ) ei kl xl = −kj kj ei k ~x = −~k 2 ei k ~x .i kl xl= ∂j eÏîýòîìó ðàññìàòðèâàåìîå óðàâíåíèå ñâîäèòñÿ êÍî ò.ê.
íàáîð ãàðìîíèê~ei k ~xZ ~d3 k k 2 ϕ̃(k) − 4 π e ei k ~x = 0.ÿâëÿåòñÿ ïîëíûì áàçèñîì â ïðîñòðàíñòâå óíêöèé, òî ýòîðàâåíñòâî ìîæåò áûòü âåðíî òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäàk 2 ϕ̃(k) − 4 π e = 0.Êàê ìû âèäèì, ïîñëå ïðåîáðàçîâàíèÿ Ôóðüå, ëèíåéíîå äèåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå ñâåëîñü ê ïðîñòîìó àëãåáðàè÷åñêîìó óðàâíåíèþ.  ýòîì è áûë ñìûñë ïðèìåíåíèÿ ïðåîáðàçî2âàíèÿ Ôóðüå. Çíàÿ ðåøåíèå ϕ̃(k) = 4 π e/k ðàññìàòðèâàåìîãî àëãåáðàè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ,ìû ìîæåì íàéòè èñêîìîå ðåøåíèå èñõîäíîãî äèåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ:φ(x) = 4 π eZ~d3 k ei k ~x.(2 π)3 k 2×òîáû âû÷èñëèòü ïîëó÷åííûé èíòåãðàë, âûáåðåì â ïðîñòðàíñòâå~kñåðè÷åñêóþ ñèñòåìóêîîðäèíàò:kxkykzkè íàïðàâèì îñüZ~Zk cos φ sin θ,k sin φ sin θk cos θ[0, +∞), φ ∈ [0, 2 π),âäîëü âåêòîðàZ~x.θ ∈ [0, π]ÒîãäàZZ +∞ Z 1ei k x cos θdθ sin θdφ= 2πdk kdkd cos θ ei k x cos θ =2k0000−1Z +∞ZZ +∞ 4πsin k xsin κ4 π +∞1ikx−i k xdkdκe−e==,= 2πdkikxx 0kx 0κ0ei k ~xdk 2 =k3kz===∈+∞2π2π81ãäåκ = k x. ïîñëåäíåì ðàâåíñòâå ìû ïîëó÷àåì òàáëè÷íûé èíòåãðàë, èçâåñòíûé âàìR +∞dκ sinκ κ = π2 .
Ñîáèðàÿ âñå ïîëó÷åííûå0îðìóëû âìåñòå, ïîëó÷àåì, ÷òî ðåøåíèå óðàâíåíèÿ Ïóàññîíà èìååò âèäèç êóðñà ìàòåìàòè÷åñêîãî àíàëèçà. Îí ðàâåíe|~x|ϕ(x) =(115)è îïðåäåëÿåò ïîòåíöèàë Êóëîíà. Äåéñòâèòåëüíî, ìû çíàåì, ÷òî ïîêîÿùèéñÿ òî÷å÷íûéçàðÿä äîëæåí ñîçäàâàòü ñòàòè÷åñêîå ïîëå Êóëîíà.  ýòîì ñëó÷àå óðàâåíèÿ Ìàêñâåëëàèìåþò òî÷íîå ðåøåíèå.Àíàëîãè÷íûì îáðàçîì,Nçàðÿäîâ, çàèêñèðîâàííûõ â òî÷êàõ~rq , q = 1, . . . , Nïðèâî-äÿò ê óðàâíåíèþ:∆ϕ = −4 πNXq=1eq δ (3) (~x − ~rq ),(116)ðåøåíèå êîòîðîãî èìååò âèäϕ(~x) =NXq=1eq.|~x − ~rq |(117)Çàìå÷ó, ÷òî ïîëó÷åííîå ðåøåíèå èçè÷åñêè îñìûñëåííî, åñëè çàðÿäû èêñèðîâàííû âñâîèõ ïîëîæåíèÿõ êàêèìè-òî âíåøíèìè ñèëàìè.
Èíà÷å, ïîä äåéñòâèåì ñèë âçàèìîäåéñòâèÿìåæäó íèìè, îíè áû íà÷àëè äâèãàòüñÿ. Èõ ìèðîâûå ëèíèè îïðåäåëÿëèñü áû ðåøåíèÿìèduµq= ecq Fνµ uνq , ãäå Fµν ÝÌ ïîëå ñîçäàâàåìîå ñàìèìè æå çàðÿäàìè.óðàâíåíèé: mq cdsqåøåíèÿ òàêîé ñèñòåìû óðàâíåíèé íå îòâå÷àëè áû ïîêîÿùèìñÿ çàðÿäàì.
Ò.å. ïðàâàÿ ÷àñòüâ óðàâíåíèè Ïóàññîíà èìåëà áû íå ñòàòè÷åñêèå èñòî÷íèêè. ß âñå ýòî îòìåòèë äëÿ òîãî,÷òîáû ïîä÷åðêíóòü, ÷òî çàìêíóòàÿ ñèñòåìà óðàâíåíèé, îïèñûâàþùàÿ íåñêîëüêî ÷àñòèöâìåñòå ñ ÝÌ ïîëåì, íå èìååò òî÷íîãî ðåøåíèÿ â îòëè÷èè îò ñèòóàöèè ñ îäíèì òî÷å÷íûìçàðÿäîì.3.àññìîòðèì êàê âûãëÿäèò ýëåêòðè÷åñêîå ïîëå, ñîçäàâàåìîå ñèñòåìîé ñòàòè÷åñêèõçàðÿäîâ, íà áîëüøèõ ðàññòîÿíèÿõ ïî ñðàâíåíèþ ñ ðàçìåðàìè ýòîé ñèñòåìû:ϕ(R) =NXe q .~R − ~rq q=1Âûáåðåì öåíòð ÑÊ âíóòðè ñèñòåìû çàðÿäîâ. Òîãäà, ò.ê. öåíòð ÑÊ íàõîäèòñÿ âíóòðè ñèñòåìû çàðÿäîâ, à ðàçìåðû ýòîé ñèñòåìû ìàëû ïî ñðàâíåíèþ ñÏîýòîìó âñå ÷ëåíû â ñóììå, îïðåäåëÿþùåéñòåïåíÿì~rq .~ ≡ ∂/∂ R~.∇X eqq~ 1− eq ~rq ∇RRÑëåäîâàòåëüíî â ëèíåéíîì ïîðÿäêå82òîR ≫ |~rq |, ∀q .ìîæíî ðàçëîæèòü â ðÿä Òåéëîðà ïîÏðè ðàçëîæåíèè äî ëèíåéíîãî ÷ëåíà, ìû èìååì:ϕ(R) ≈ãäåϕ(R),~ ≡ R,|R|,ϕ(R) ≈ÇäåñüPqeq = QPXq eq−Req ~rqq!~ 1.∇R(118) ïîëíûé çàðÿä ñèñòåìû, àd~ ≡NXeq ~rq(119)q=1 äèïîëüíûé ìîìåíò ñèñòåìû çàðÿäîâ.~ íå çàâèñèò îò âûáîðà íà÷àëà ÑÊ.
Äåéñòâèòåëüíî, åñëèòî âåëè÷èíà dñäâèíóòü íà÷àëî ÑÊ ~rq′ = ~rq +~a, ∀q , òî âåêòîð äèïîëüíîãî ìîìåíòà èçìåíèòñÿ ñëåäóþùèìîáðàçîì:ÅñëèQ = 0,d~′ =Xeq (~rq + ~a) =qXeq ~rq + ~aqX~eq = d~ + 0 = d.qÅñëè ïîëíûé çàðÿä ñèñòåìû ðàâåí íóëþ, òî ïðè áîëüøèõ~ϕ(1) (R) = −d~ ∇1=R~R~d,R3Rïîòåíöèàë èìååò âèä,(120)à íàïðÿæåííîñòü ïîëÿ ðàâíà~ = −∇~Eãäå~ R~d,R3=3 ~n, d~ ~n − d~R3,(121)~ .~n = R/Ràçëîæèì òåïåðüϕ(R)~rq . Òîãäà!X1∂2,eq xiq xjqi ∂X j R∂Xqäî âòîðîé ñòåïåíè ïîϕ(2) (R) =12~ . Âûðàæåíèåxiq , i = 1, 2, 3 êîîðäèíàòû âåêòîðà ~rq , à X i êîîðäèíàòû âåêòîðà Ri j(2)q eq xq xq ñèììåòðè÷íûé 3 × 3 òåíçîð ñ èíäåêñàìè i, j .
Ñëåäîâàòåëüíî íàèâíî ϕ (R)23 (3+1)= 6 íåçàâèñèìûõ êîìïîíåíò ýòîãî òåíçîðà. Îäíàêî, ∆ R1 = δij ∂X∂i ∂X j R1 =çàâèñèò îò20, âåäü â ñèëó òîãî, ÷òî ìû ñìîòðèì íà ñèñòåìó ñ áîëüøèõ ðàññòîÿíèé R 6= 0. ÏîýòîìóçäåñüPìîæíî ïðåäñòàâèòü1 2 ij∂211 Xi jeq xq xq − ~rq δ,ϕ (R) =ij2 q3∂X ∂X RPi jãäå òåíçîð Dij =r 2 δ ij íàçûâàåòñÿ êâàäðóïîëüíûì ìîìåíòîì ñèñòåìû.q eq 3 xq xq − ~Èç åãî îïðåäåëåíèÿ ñëåäóåò, ÷òî åãî ñëåä Djj = 0, ò.å.
ýòî ñèììåòðè÷íûé òåíçîð ñ 5-þ(2)íåçàâèñèìûìè êîìïîíåíòàìè. Òàêèì îáðàçîì:83ϕ(2) (R) =∂2Dij ni nj1Dij=.6 ∂X i ∂X j R2 R3Ïðè äàëüíåéøåì ðàçëîæåíèè ïî ñòåïåíÿìϕ(R),4.~rq(122)âûðàæåíèÿ ïîä çíàêîì ñóììû â îïðåäåëåíèèìû ïîëó÷àåì ìóëüòèïîëüíûå ìîìåíòû ñèñòåìû çàðÿäîâ.àññìîòðèì òåïåðü òàêóþ æå ñèñòåìó çàðÿäîâ âî âíåøíåì ýëåêòðè÷åñêîì ïîëå.
Ååïîëíàÿ ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ ðàâíà:U=Xeq ϕ(rq ).qÂûáåðåì íà÷àëî ÑÊ âíóòðè ñèñòåìû çàðÿäîâ. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî âíåøíåå ïîëå ñëàáî ìåíÿåòñÿ âíóòðè ñèñòåìû, ò.å. ÿâëÿåòñÿ ñëàáî íåîäíîðîäíûì.Òîãäà ìîæíî ðàçëîæèòüU=Xqãäåϕ(rq )ïî ñòåïåíÿì~eq ϕ(0) + eq ~rq ∇ϕ(0)+ ...~ 0 = −∇ϕ(0)~E~rq= ϕ(0)âîêðóã íóëÿ. Ïîëó÷àåì:Xeq +qXqeq ~rq!~∇ϕ(0)+··· =~~= ϕ(0) Q − E0 , d + . . . , ýëåêòðè÷åñêîå ïîëå â íà÷àëå ÑÊ.Òàêèì îáðàçîì, ïîëíàÿ ñèëà, äåéñòâóþùàÿ íà ñèñòåìó, ðàâíà:~~~~~~F = −∇U = E0 Q + ∇ d, E0 + .
. . ,(123)à ïîëíûé ìîìåíò ñèëû, äåéñòâóþùåé íà ñèñòåìó, ðàâåí~ ≈KÑëåäóþùèé ÷ëåí â ðàçëîæåíèèi hiXh~ 0 = d~ × E~0 .~rq × eq EUðàâåí:U (2) =Ò.ê.ϕ(124)q∂ 2 ϕ(0)1 Xeq xiq xjq.2 q∂X i ∂X jóäîâëåòâîðÿåò óðàâíåíèþ Ëàïëàñà, âåäü åãî èñòî÷íèê íàõîäèòñÿ äàëåêî îò íà÷àëà2ϕ= 0, òî∆ϕ = δij ∂X∂i ∂XjÑÊ, íàõîäÿùåãîñÿ âíóòðè ñèñòåìû çàðÿäîâ, ò.å.U(2)1 2Dij ∂ 2 ϕ(0)1 ∂ 2 ϕ(0) Xi jeq xq xq − ~rq δij =.=2 ∂Xi ∂Xj q36 ∂Xi ∂XjÀíàëîãè÷íî ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî îáùèé ÷ëåí â ðàçëîæåíèèrqìîæåò áûòü âûðàæåí ÷åðåç ìóëüòèïîëüíûå ìîìåíòû.84U =Pqeq ϕ(rq )(125)ïî ñòåïåíÿì5.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
