Лекции по СТО и классической термодинамике (1183864)
Текст из файла
Ëåêöèè ïî Ñïåöèàëüíîé Òåîðèè Îòíîñèòåëüíîñòèè êëàññè÷åñêîé ýëåêòðîäèíàìèêåÀõìåäîâ Ý.Ò.Ñïèñîê èñïîëüçîâàííîé ëèòåðàòóðû:• Ëàíäàó Ë.Ä., Ëèøèö Å.Ì.Òåîðèÿ ïîëÿ. Ì.: Ôèçìàòëèò, 2006.• Ñîêîëîâ À.À., Òåðíîâ È.Ì., Æóêîâñêèé Â.×., Áîðèñîâ À.Â.Êâàíòîâàÿ ýëåêòðîäè-íàìèêà. Ì.: Èçä-âî ÌÓ, 1983. 1, 2, 4, 10, 12, 13, 14, 15, 16, 17.• Êèñåëåâ Â.Â. Êëàññè÷åñêàÿ ýëåêòðîäèíàìèêà: ó÷åáíîå ïîñîáèå. Ì.: Èçä-âî ÌÔÒÈÈÔÂÝ, 2004.• Õðèïëîâè÷ È.Á.Òåîðåòè÷åñêèé êàëåéäîñêîï Ì.-Èæåâñê.: Èçä-âî RC Dynamis,2007. 1.1, 1.2, 2.2, 2.3.• Áåëîóñîâ Þ.Ì., Êóçíåöîâ Â.Ï., Ñìèëãà Â.Ï.
Êàòåõåçèñ. óêîâîäñòâî ïî ìàòåìàòèêåäëÿ íà÷èíàþùèõ èçó÷àòü òåîðåòè÷åñêóþ èçèêó: ó÷åáíîå ïîñîáèå. Ì., ÌÔÒÈ,2005.•Íåîïóáëèêîâàííûå çàïèñè ëåêöèéÑ.Â.Ôîìè÷åâà è Ñ.Ñ.åðøòåéíà.1Ìåõàíè÷åñêàÿ àíàëîãèÿ äëÿ ïîëÿ, ïðèíöèï îòíîñèòåëüíîñòè, ïðåîáðàçîâàíèÿ Ëîðåíöà, ïðîñòðàíñòâîâðåìÿ è åãîñâîéñòâà, Ëîðåíöåâî ñîêðàùåíèå äëèí, ñîáñòâåííîå âðåìÿ, Àáåððàöèÿ ñâåòà.Ëåêöèÿ I;1.
Îñíîâíûå ïîñòóëàòû ìåõàíèêèÍüþòîíà, êàê èçâåñòíî, ñëåäóþò èç ëîãè÷åñêè íåïðîòè-âîðå÷èâîãî îïèñàíèÿ ñîâîêóïíîñòè îïûòíûõ àêòîâ:• Èíåðöèàëüíûå ñèñòåìû îòñ÷åòà (ÈÑÎ) - ýòî òàêèå ÑÎ , îòíîñèòåëüíî êî-òîðûõ òåëî, íà êîòîðîå íå äåéñòâóåò íèêàêàÿ ñèëà, äâèæåòñÿ ðàâíîìåðíîè ïðÿìîëèíåéíî;• ~x¨ = F~ /m - óñêîðåíèå ñîîáùåííîå òåëó ðàâíî ñèëå, äåéñòâóþùåé íà íåãî,äåëåííîé íà åãî èíåðöèàëüíóþ ìàññó;• F~1 = −F~2 - äåéñòâèå ðàâíî ïðîòèâîäåéñòâèþ.Íåòðóäíî âèäåòü, ÷òî ýòè çàêîíû íå ìåíÿþòñÿ ïðè ïðåîáðàçîâàíèÿõ àëèëåÿ:~x′ = ~x + ~v tt′ = t,èçè÷åñêèé ñìûñë êîòîðûõ çàêëþ÷àåòñÿ â òîì, ÷òî çàêîíû Íüþòîíà íå ìåíÿþòñÿ ïðèïåðåõîäå îò îäíîé ÈÑÎ â äðóãóþ, êîòîðàÿ äâèæåòñÿ îòíîñèòåëüíî èñõîäíîé ÈÑÎ ñî ñêîðîñòüþ~v . Ò.å.
àáñîëþòíîãî äâèæåíèÿ ñ ïîñòîÿííîé ñêîðîñòüþ íå áûâàåò. Äâèæåíèå ñ óñêî-ðåíèåì àáñîëþòíî. Òîò àêò, ÷òî óðàâíåíèÿ Íüþòîíîâîé ìåõàíèêè íå çàâèñÿò îò âûáîðàÈÑÎ íàçûâàåòñÿ ïðèíöèïîì îòíîñèòåëüíîñòè àëèëåÿ. ìåõàíèêå Íüòîíà èìååòñÿ îäíî ñóùåñòâåííîå óïðîùåíèå. àññìîòðèì ñèñòåìó ÷àñòèö, âçàèìîäåéñòâóþùèõ ïî çàêîíó Êóëîíà. Ñìåñòèì îäíó èç ÷àñòèö â íîâîå ïîëîæåíèå.Òîãäà, â ñîîòâåòñòâèè ñ çàêîíàìè ìåõàíèêè Íüþòîíà, îñòàëüíûå ÷àñòèöû ìãíîâåííî ïî÷óâñòâóþò ýòî èçìåíåíèå â ïîëîæåíèè ñìåùåííîé ÷àñòèöû. Ò.å.
âçàèìîäåéñòâèå â ìåõàíèêåÍüþòîíà ïåðåíîñèòñÿ ñ áåñêîíå÷íîé ñêîðîñòüþ.Èç ýêñïåðèìåíòà ìû çíàåì, ÷òî ýëåêòðîìàãíèòíîå (ÝÌ) âçàèìîäåéñòâèå ïåðåíîñèòñÿ ñ8êîíå÷íîé ñêîðîñòüþ c ≈ 2, 998 · 10 ì/ñ. Ïîäàâëÿþùåå áîëüøèíñòâî ñêîðîñòåé, ñ êîòîðûìèìû èìååì äåëî â ïîâñåäíåâíîé æèçíè, ïðåíåáðåæèìî ìàëû ïî ñðàâíåíèþ ñî ñêîðîñòüþñâåòà. Ïîýòîìó âñå äåéñòâèòåëüíî âûãëÿäèò êàê áóäòî âçàèìîäåéñòâèÿ ïåðåäàþòñÿ ìãíîâåííî.
Íî íàñ òåïåðü èíòåðåñóþò ÿâëåíèÿ, ïðè êîòîðûõ ñêîðîñòè ÷àñòèö áëèçêè ê ñêîðîñòèñâåòà è, ïîýòîìó òàêîå óïðîùåíèå íåäîïóñòèìî.2.×òîáû ïîíÿòü, ÷òî ïðîèñõîäèò íà ñàìîì äåëå, ðàññìîòðèì ìåõàíè÷åñêóþ ìîäåëü,êîòîðàÿ î÷åíü áëèçêà ê äåéñòâèòåëüíîñòè. À èìåííî, ðàññìîòðèì îäíîìåðíóþ áåñêîíå÷-m, ñîåäèíåííûõ ïðóæèíàìè ñ îäèíàêîâûìèk . Ïóñòü äëÿ ïðîñòîòû âñå øàðèêè íàñàæåíû íà îäèí áåñêîíå÷íûéíóþ öåïî÷êó øàðèêîâ îäèíàêîâîé ìàññûêîýèöèåíòàìè óêàñòåðæåíü, ò.å. ìîãóò êîëåáàòüñÿ òîëüêî â îäíîì íàïðàâëåíèè âäîëü öåïî÷êè (ñì. ðèñ.2èñ. 1:(1)). Ýòà ìîäåëü ÿâëÿåòñÿ òàêæå ìåõàíè÷åñêîé èäåàëèçàöèåé îäíîìåðíîé êðèñòàëëè÷åñêîéðåøåòêè àòîìîâ. ïîëîæåíèè ðàâíîâåñèÿ âñå øàðèêè íàõîäÿòñÿ íà îäèíàêîâîì ðàññòîÿíèè äðóã îò äðóãà. Ïóñòü ÿ ìåäëåííî ïîòÿíó ðóêîé (àäèàáàòè÷åñêè ïðèëîæèâ ïîñòîÿííóþ ñèëó) îäèí èçøàðèêîâ, ñêàæåì íàëåâî, âîçìóòèâ òåì ñàìûì ðåøåòêó.
Óñòàíîâèòñÿ íîâîå ðàâíîâåñèå, âêîòîðîì î÷åâèäíî âñå ïðóæèíû íàëåâî îò ñìåùåííîãî øàðèêà ñîæìóòñÿ â òîé èëè èíîéñòåïåíè, à âñå ïðóæèíû ñïðàâà îò øàðèêà ðàñòÿíóòñÿ. Åñëè çàäàíî ñìåùåíèå êàæäîãî èçøàðèêîâ èç ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ, òî ìû òåì ñàìûì èìååì íåêîòîðîå ïîëå: íàáîð çíà÷åíèéφi (t)âðåìåíèäëÿ âñåõt.i,ãäåφi (t)- ñìåùåíèåi-ãîøàðèêà èç ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ â ìîìåíò ñëó÷àå ïîñòîÿííîé ïðèëîæåííîé ñèëû î÷åâèäíî, ÷òî âñåφiíå çàâèñÿò îòâðåìåíè, è ìû èìååì äåëî ñî ñòàòè÷åñêèì ïîëåì. Îêàçûâàåòñÿ, ÷òî ñòàòè÷åñêèé ýëåêòðè÷åñêèé çàðÿä âîçìóùàåò ÝÌ ïîëå àíàëîãè÷íûì îáðàçîì.
Àíàëîãèÿ áûëà áû áîëåå ïîëíîé(íî íå àáñîëþòíîé), åñëè ìû ðàññìàòðèâàëè áû òðåõìåðíóþ, à íå îäíîìåðíóþ ðåøåòêó.Ïóñòü òåïåðü ìîé êîëëåãà ïîòÿíåò ìåäëåííî (àäèàáàòè÷åñêè) ñâîåé ðóêîé êàêîéíèáóäüâòîðîé øàðèê. Ìû ñ ìîèì êîëëåãîé ïî÷óâñòâóåì, ÷òî ìåæäó íàøèìè äâóìÿ ðóêàìè âîçíèêíåò ñèëà ïðèòÿæåíèÿ èëè îòòàëêèâàíèÿ, â çàâèñèìîñòè îò òîãî ñ êàêîé ñòîðîíû è âêàêîì íàïðàâëåíèè ïî îòíîøåíèþ ê èñõîäíîìó ñìåùåíèþ áûë ñìåùåí âòîðîé øàðèê. Ïîëó÷åííàÿ ñèëà ÿâëÿåòñÿ àíàëîãîì (íå ïîëíûì) ñèëû Êóëîíà, âîçíèêàþùåé ìåæäó äâóìÿçàðÿäàìè. Îïÿòü æå àíàëîãèÿ áûëà áû áîëåå ïîëíîé, åñëè áû ìû ðàññìàòðèâàëè òðåõìåðíóþ, à íå îäíîìåðíóþ ðåøåòêó. Ìû óâèäèì ýòî â ñëåäóþùèõ ëåêöèÿõ.Åñëè òåïåðü ÿ ðåçêî ñìåùó ïîëîæåíèå ñâîåé ðóêè (èçìåíèâ òåì ñàìûì óñèëèå) â òóèëè èíóþ ñòîðîíó, òî ðóêà êîëëåãè ïî÷óâñòâóåò ýòî èçìåíåíèå â ïîëîæåíèè ìîåé ðóêè íåìãíîâåííî, à ÷åðåç íåêîòîðîå âðåìÿ, ðàâíîå âðåìåíè ðàñïðîñòðàíåíèÿ âîëíû âîçìóùåíèÿïî ðåøåòêå îò îäíîé ðóêè äî äðóãîé.
Ýòà âîëíà ÿâëÿåòñÿ àíàëîãîì ýëåêòðîìàãíèòíîéâîëíû, ðàñïðîñòðàíÿþùåéñÿ îò îäíîãî ýëåêòðè÷åñêîãî çàðÿäà ê äðóãîìó. Íî åùå áîëååïîëíûì àíàëîãîì îíà ÿâëÿåòñÿ äëÿ çâóêîâîé âîëíû â êðèñòàëëå.Äàâàéòå ïîïðîáóåì îò÷àñòè îáðàòèòü ýòè íàøè êà÷åñòâåííûå ðàññóæäåíèÿ â îðìóëû,÷òîáû íå áûòü ãîëîñëîâíûìè.
Íàì ïîëó÷åííûå îðìóëû îêàæóòñÿ ïîëåçíûìè â äàëüíåéøåì. Óðàâíåíèå äâèæåíèÿ äëÿ i-ãî øàðèêà:3m φ̈i = k (φi+1 − φi ) − k (φi − φi−1 ).Ò.å. ìû èìååì áåñêîíå÷íóþ ñèñòåìó óðàâíåíèé ïî îäíîìó äëÿ êàæäîãîi.àññìîòðèì òåïåðü íåïðåðûâíûé ïðåäåë. À èìåííî, áóäåì ðàññìàòðèâàòü òàêèå äëèíûâîëí êîëåáàíèé ðåøåòêè, ïðè ìàëûõ àìïëèòóäàõ, ÷òî îíè áóäóò íàìíîãî áîëüøå ðàññòîÿíèÿ ìåæäó øàðèêàìè â ïîëîæåíèè ðàâíîâåñèÿ. Ýåêòèâíûå óðàâíåíèÿ, îïèñûâàþùèåýòè âîëíû íå áóäóò ÷óâñòâîâàòü òîíêóþ ñòðóêòóðó íàøåé ðåøåòêè.  êîíöå êîíöîâñìûñë íåïðåðûâíîãî ïðåäåëà ìîæíî ïîíÿòü, óÿñíèâ, ÷òî ëþáîé ðåàëüíûé êðèñòàëë ìûâèäèì êàê îäíîðîäíîå òåëî è âîëíû â íåì îïèñûâàåì êàê êîëåáàíèÿ ïëîòíîñòè, íè÷åãî ïðàêòè÷åñêè íå çíàÿ î åãî êðèñòàëëè÷åñêîé ñòðóêòóðå.
 ýòîì ïðåäåëå íàøà ðåøåòêàáóäåò âûãëÿäåòü êàê îäíîðîäíîå óïðóãîå òåëî.  íåïðåðûâíîì ïðåäåëåφi (t) → φ(t, x),φ(t, x) ñìåùåíèå [x, x + dx] ñåãìåíòà íàøåãîìîìåíò âðåìåíè t íà âåëè÷èíó |φ|. Äàëååãäåâóïðóãîãî òåëà èç ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿφi+1 (t) − φi (t) → φ(t, x + ∆x) − φ(t, x) ≈ φ′ (t, x) ∆x.Òàêèì îáðàçîì, óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ ïðèíèìàþò âèä:mφ̈(t, x) ≈ k [φ′ (t, x) − φ′ (t, x − ∆x)] ∆x ≈ k φ′′ (t, x) ∆x2 .Åñëè â ïðåäåëå∆x → 0ìû äåðæèìm/k ∆x2 ≡ 1/c̄2 = const,÷òî ñîîòâåòñòâóåò òîìó,÷òî ìû ïîëó÷èì óïðóãîå òåëî, à íå ïûëü èç íå âçàèìîäåéñòâóþùèõ ÷àñòèö (c̄àáñîëþòíî æåñòêèé (íå óïðóãèé) ñòåðæåíü (c̄= ∞),1 ∂2φ ∂2φ− 2 = 0,c̄2 ∂t2∂xãäåc̄= 0)èëèòî óðàâíåíèå ñâîäèòñÿ ê(1)èìååò ðàçìåðíîñòü ñêîðîñòè è, êàê ìû óâèäèì, èìååò ñìûñë ñêîðîñòè çâóêà â íà-øåì óïðóãîì òåëå.
Ìû òàê æå óâèäèì, ÷òî ÝÌ âîëíû ÿâëÿþòñÿ ðåøåíèÿìè àíàëîãè÷íûõóðàâíåíèé óðàâíåíèé Ìàêñâåëëà ãäå âìåñòîc̄ñòîèòc ñêîðîñòü ñâåòà.Íàéäåì ðåøåíèÿ ïîëó÷åííûõ óðàâíåíèé è ïîéìåì èõ èçè÷åñêèé ñìûñë. Äëÿ ýòîãîïðåäñòàâèì ïîëó÷åííûå óðàâíåíèÿ â âèäå:∂21 ∂2−c̄2 ∂t2 ∂x2φ(t, x) =∂∂−c̄ ∂t ∂x∂∂+c̄ ∂t ∂xφ(t, x) = 0.Òîãäà ëåãêî âèäåòü, ÷òî ñàìîå îáùåå ðåøåíèå ýòîãî óðàâíåíèÿ èìååò âèä:φ(t, x) = f (c̄ t − x) + g(c̄ t + x),ãäåfègñîâåðøåííî ïðîèçâîëíûå äâàæäû äèåðåíöèðóåìûå óíêöèè. ×òîáû ïîíÿòüèçè÷åñêèé ñìûñë òàêèõ ðåøåíèé, ðàññìîòðèì óíêöèþ4f (s),íàïðèìåð, èìåþùóþ âèäêîëîêîëà (ãðåáíÿ âîëíû) ñ âåðøèíîé â êàêîé-òî òî÷êåöèè îòxáóäåò ñìåùàòüñÿ íàïðàâî ïî îñèâåðøèíû êîëîêîëàx,c̄ t1 − x1 = s0 = c̄ t2 − x2 ,s0 , òîãäà ãðåáåíü f (c̄ t−x) êàê óíê-ò.ê. â ñîîòâåòñòâèè ñ óðàâíåíèåì ïîëîæåíèÿåñëèt2 > t1òîx2 > x1 .Òàêèì îáðàçîì, ðàññìàòðèâàåìîå ðåøåíèå ñîîòâåòñòâóåò âîëíå, ðàñïðîñòðàíÿþùåéñÿíàïðàâî ïî îñèxñî ñêîðîñòüþ çâóêàc̄.Àíàëîãè÷íîg(c̄ t + x)îïèñûâàåò âîëíó, ðàñïðî-ñòðàíÿþùóþñÿ íàëåâî ñî ñêîðîñòüþ çâóêà.
Èìåííî ïîñðåäñòâîì îáìåíà òàêèìè âîëíàìèè ñîîáùàþòñÿ äðóã ñ äðóãîì âîçìóùåíèÿ îäíîìåðíîãî êðèñòàëëà âðîäå òåõ, ÷òî áûëèñîçäàíû âûøå íàøèìè ðóêàìè.t, x.àññìîòðèì ïðîñòðàíñòâî-âðåìÿ (ÏÂ)Ïðîèçâåäåì ñëåäóþùåå ïðåîáðàçîâàíèåýòîãî ÏÂ:c̄ t′ = c̄ t cosh α + x sinh αx′ = c̄ t sinh α + x cosh α,ãäåα = const ïàðàìåòð ïðåîáðàçîâàíèÿ. Êàê ëåãêî ïðîâåðèòü, ïðè òàêîì ïðåîáðàçîâà-íèè âîëíîâîå óðàâíåíèå íå èçìåíèò ñâîé âèä:∂21 ∂2−c̄2 ∂t2 ∂x2φ(t, x) =1 ∂2∂2−c̄2 ∂t′2 ∂x′2φ(t′ , x′ ) = 0.×òî, â ÷àñòíîñòè, îçíà÷àåò, ÷òî åãî ðåøåíèå ïðåîáðàçóåòñÿ òðèâèàëüíûì îáðàçîì f (c̄ t −x) = f (c̄ t′ − x′ ), ò.å. ñêîðîñòü âîëíû ïðè òàêîì ïðåîáðàçîâàíèè íå ìåíÿåòñÿ. Çàìåòèì, ÷òîïðè òàêîì ïðåîáðàçîâàíèè òàê æå íå èçìåíèòñÿ è ñëåäóþùàÿ áèëèíåéíàÿ îðìà:c̄2 t2 − x2 = c̄2 t′2 − x′2 .àññìîòðåííîå ïðåîáðàçîâàíèåt, xâûäåëåííî òîëüêî òåì, ÷òî íå ìåíÿåò âèäà âîëíîâîãîóðàâíåíèÿ è ðàññìàòðèâàåìîé áèëèíåéíîé îðìû.3.
Êàêîå îòíîøåíèåâñå ýòî èìååò ê ñïåöèàëüíîé òåîðèè îòíîñèòåëüíîñòè (ÑÒÎ)?Ìû óâèäèì äàëåå, ÷òî ìíîãèå èç óðàâíåíèé â ÑÒÎ àíàëîãè÷íû ðàññìîòðåííûì òîëüêîc̄ ñòîèò c ñêîðîñòü ñâåòà. Ïðè ýòîì âûøåóïîìÿíóòàÿ çàìåíà t, x íà t′ , x′÷òî, ãäå âìåñòîèìååò èçè÷åñêèé ñìûñë ïåðåõîäà èç îäíîé ÈÑÎ â äðóãóþ.Ïðåæäå, ÷åì ïåðåéòè ê ðàññìîòðåíèþ ÑÒÎ ñäåëàåì øàã íàçàä îïÿòü ê ìåõàíèêå Íüþòîíà. Çàêîíû ìåõàíèêè Íüþòîíà, â ÷àñòíîñòè, íå èçìåíÿþòñÿ åùå è ïðè âðàùåíèÿõ 3ìåðíîãî ïðîñòðàíñòâà. Ñ ïîñëåäíèì ÿâëåíèåì òåñíî ñâÿçàí òîò àêò, ÷òî îòíîñèòåëüíîâðàùåíèé èíâàðèàíòíà áèëèíåéíàÿ îðìà â 3-ìåðíîì ïðîñòðàíñòâå, îïðåäåëÿþùàÿ ðàññòîÿíèå:dl2 = dx2 + dy 2 + dz 2 ,ìåæäó äâóìÿ òî÷êàìè(x, y, z)è(x + dx, y + dy, z + dz).Äëÿ íàñ ñåé÷àñ âàæíî íå òî, ÷òîïðè ïðîèçâîëüíûõ ïðåîáðàçîâàíèÿõ êîîðäèíàò ñîõðàíÿåòñÿ èçè÷åñêàÿ âåëè÷èíà ðàññòîdl2 : ñêàæåì ïðè ïåðåõîäå èç îðòîíîðìèðîâàííîé ñèñòåìû êîîðäèíàò (ÑÊ) â ïðî-ÿíèÿèçâîëüíóþ ïåðåêîøåííóþ ÑÊ, äëèíà îòðåçêà îò(x, y, z)äî(x + dx, y + dy, z + dz)íåìåíÿåò ñâîåé âåëè÷èíû.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
