Лекции по СТО и классической термодинамике (1183864), страница 4
Текст из файла (страница 4)
À çàòåì ÿâíî áû ïðîâåðÿëîñü, ÷òîm~a = F~ .Èëè æå ñèëó è ìàññó ïî îòäåëüíîñòè èçìåðèòü íåëüçÿ?á) Êàê áû âûãëÿäåëè ïðåîáðàçîâàíèÿ àëèëåÿ, åñëè áû âìåñòî âòîðîãî çàêîíà Íüþòîíà ìû èìåëè áûm ~a˙ = F~ ,~a = ~x¨?ãäåÊàê áû ïðè ýòîì èçìåíèëñÿ ïåðâûé çà-êîí Íüþòîíà? Êàêîå äâèæåíèå òîãäà áûëî áû îòíîñèòåëüíûì, à êàêîå àáñîëþòíûì?Êàêîâà áóäåò Ëàãðàíæåâà è àìèëüòîíîâà îðìóëèðîâêà ìåõàíèêè îñíîâàííîé íàâòîðîì çàêîíå âèäà•m ~a˙ = F~ ?×òî áóäåò âìåñòî àçîâîãî ïðîñòðàíñòâà?Êàê áóäåò âûãëÿäåòü âîëíîâîå óðàâíåíèå, åñëè ìû ðàññìîòðèì ìàëûå êîëåáàíèÿ â2ìåðíîé è 3ìåðíîé ðåøåòêå (ìàòðàñå). Ïîïðîáóéòå ó÷åñòü ïîëÿðèçàöèþ çâóêîâûõâîëí â ðåøåòêå, åñëè øàðèêè ìîãóò êîëåáàòüñÿ â ëþáîì íàïðàâëåíèè âäîëü íàïðàâëåíèé, çàïîëíÿåìûõ ðåøåòêîé.
×òî èçìåíèòñÿ â ñëó÷àå 2ìåðíîé ðåøåòêè, âëîæåíîé â3-ìåðíîå ïðîñòðàíñòâî? Ïîäóìàéòå, êàê èçìåíèòñÿ íåïðåðûâíîå âîëíîâîå óðàâíåíèå,åñëè ê îäíîìó èç øàðèêîâ, ñêàæåìi = 0, ìûïðèëîæèì âíåøíþþ ñèëó? Ïîïðîáóéòåíàéòè ðåøåíèå ïîëó÷åííîãî óðàâíåíèÿ â îäíî, äâó è òðåõìåðíîì ñëó÷àÿõ. Äëÿîòâåòà íà ïîñëåäíèé âîïðîñ íåîáõîäèìû çíàíèÿ èç ïîñëåäóþùèõ ëåêöèé.••Êàê áóäåò âûãëÿäåòü áóñò Ëîðåíöà âäîëü îñèy?Âäîëüz?Âäîëü ïðîèçâîëüíîãîíàïðàâëåíèÿ? Êàê áóäåò âûãëÿäåòü îáðàòíîå ïðåîáðàçîâàíèå Ëîðåíöà?Îáúÿñíèòå ñëåäóþùèå ïàðàäîêñû:à) ×åëîâåê ñ øåñòîì ñîáñòâåííîé äëèíû 10 ìåòðîâ (â ÈÑÎ ïîêîÿ øåñòà) áåæèòñêâîçü ñàðàé ñîáñòâåíîé äëèíû 6 ìåòðîâ (â ÈÑÎ ïîêîÿ ñàðàÿ).
Îí äâèæåòñÿ ñ òàêîé ñêîðîñòüþ, ÷òî ðåëÿòèâèñòñêèéγ àêòîð ðàâåí 10/6, ò.÷. äëèíà ñòåðæíÿ â ÈÑÎñàðàÿ ðàâíà 6 ìåòðîâ. Êîãäà ÷åëîâåê âáåãàåò â ñàðàé è íàõîäèòñÿ â åãî öåíòðå, íàáëþäàòåëü, ïîêîÿùèéñÿ â ýòîì ñàðàå, âèäèò, ÷òî øåñò öåëèêîì óìåùàåòñÿ â ñàðàå.Êàê æå òàêîå ìîæåò áûòü, åñëè äâèæåíèå ñ ïîñòîÿííîé ñêîðîñòüþ îòíîñèòåëüíî, àâ ÈÑÎ ÷åëîâåêà ñ øåñòîì ñàðàé íàëåòàåò íà íåãî ñ òàêîé ñêîðîñòüþ, ÷òî åãî äëèíàñîêðàùàåòñÿ äî ðàçìåðîâ ðàâíûõ6 · 6/10 = 3, 6ìåòðà?á) Øåñò ñîáñòâåíîé äëèíû 10 ìåòðîâ ëåòèò ÷åðåç äûðó â ïëîñêîñòè ñîáñòâåíîé äëèíû 6 ìåòðîâ. Ñ òî÷êè çðåíèÿ íàáëþäàòåëÿ, ñâÿçàííîãî ñ ïëîñêîñòüþ, øåñò îñòàåòñÿâñå âðåìÿ ïàðàëëåëüíûì ýòîé ïëîñêîñòè è äâèæåòñÿ âäîëü íåå ñ òàêîé ñêîðîñòüþvx ,÷òî ðåëÿòèâèñòñêèéγx àêòîðøåñòà ïåðïåíäèêóëÿðíàÿ ïëîñêîñòèíåìíîãî áîëüøåvy ,10/6.Ñîñòàâëÿþùàÿ ñêîðîñòèìíîãî ìåíüøå ñêîðîñòèvxè ïîäîáðàíà òàê,÷òî øåñò ïðîëåòàåò ñêâîçü äûðó, îñòàâàÿñü âñå âðåìÿ åé ïàðàëëåëüíûì â ÈÑÎ íàáëþäàòåëÿ, ñâÿçàííîãî ñ ïëîñêîñòüþ.
Êàê æå òàêîå ìîæåò áûòü, åñëè äâèæåíèå ñïîñòîÿííîé ñêîðîñòüþ îòíîñèòåëüíî, à â ÈÑÎ íàáëþäàòåëÿ íà øåñòå îí íèêàê íåìîæåò ïîìåñòèòüñÿ â äûðó?â) Øåñò ñîáñòâåíîé äëèíû 10 ìåòðîâ ñêîëüçèò áåç òðåíèÿ ïî ïëîñêîñòè.  ýòîé ïëîñêîñòè åñòü äûðà ñîáñòâåíîé äëèíû 6 ìåòðîâ. Øåñò äâèæåòñÿ ñ òàêîé ñêîðîñòüþ, ÷òîðåëÿòèâèñòñêèéγ àêòîðíåìíîãî áîëüøå10/6. ÑÎ íàáëþäàòåëÿ, ñòîÿùåãî íàïëîñêîñòè, øåñò ïðîâàëèâàåòñÿ â äûðó. Êàê æå òàêîå ìîæåò áûòü, åñëè â ÑÎ øåñòàäëèíà ñàðàÿ âðîäå áû äîëæíà ñîêðàùàåòñÿ äî ðàçìåðîâ ðàâíûõ•6 · 6/10 = 3, 6 ìåòðà?Ïðîâåðüòå, ÷òî ðåçóëüòàò êîìïîçèöèè äâóõ áóñòîâ ñ ãèïåðáîëè÷åñêèìè óãëàìèα2ÿâëÿåòñÿ áóñò ñ ãèïåðáîëè÷åñêèì óãëîì15α = α1 + α2 .α1èÎïðåäåëåíèå òåíçîðîâ è ìåòîäû ðàáîòû ñ íèìè,ìåòðè÷åñêèé òåíçîð, àáñîëþòíî àíòèñèììåòðè÷íûé òåíçîð,4ãðàäèåíòû è 4äèâåðãåíöèè îò òåíçîðîâ.Ëåêöèÿ II;Ýòà ëåêöèÿ äîñòàòî÷íî îðìàëüíàÿ, ò.ê.
ñîäåðæèò îñíîâû òåíçîðíîãî àíàëèçà, êîòîðûéíåîáõîäèì äëÿ àäåêâàòíîãî íàïèñàíèÿ óðàâíåíèé ÑÒÎ è êëàññè÷åñêîé ýëåêòðîäèíàìèêè.ß ïîïûòàëñÿ ñ îäíîé ñòîðîíû ïîäðîáíî îïèñàòü îòêóäà ñëåäóþò òå èëè èíûå óòâåðæäåíèÿ, êàñàþùèåñÿ òåíçîðîâ. Íî ñ äðóãîé ñòîðîíû ïîñòàðàëñÿ íå ñèëüíî îðìàëèçîâûâàòüèçëîæåíèå.1.Ïðåæäå ÷åì îçíàêîìèòüñÿ ñ 4ìåðíûìè òåíçîðàìè, îáñóäèì áîëåå ïðîñòîé ñëó÷àéòåíçîðîâ â 2ìåðíîì ïðîñòðàíñòâå. Êàê èçâåñòíî, âåêòîð~v = (v1 , v2 ) îïðåäåëÿåò íàïðàâëå-íèå â ïðîñòðàíòñâå.
Ïîýòîìó ýòî íå ïðîñòî íàáîð èç äâóõ ÷èñåë ñòîëáåö èëè ñòðîêà. Ýòîâåëè÷èíà, êîòîðàÿ ïðåîáðàçóåòñÿ ïðè ëèíåéíûõ çàìåíàõ êîîðäèíàò. È äåëàåò ýòî îïðåäåëåííûì îáðàçîì:va′ãäåva= Mab vb ≡2XMab vb ,b=1 êîîðäèíàòû âåêòîðà â èñõîäíîé ÑÊ, àva′ êîîðäèíàòû â íîâîé ÑÊ. Óäîáíîâ äàëüíåéøåì âñåãäà ïîäðàçóìåâàòü ñóììèðîâàíèå ïî ïîâòîðÿþùåìóñÿ èíäåêñó, êàê ýòîñäåëàíî â äàííîé îðìóëå äëÿ èíäåêñàb. ëèòåðàòóðå ýòî íàçûâàåòñÿ ïðàâèëîì Ýéí-øòåéíà.Âûøåóêàçàííàÿ çàïèñü îçíà÷àåò ïðîñòîv1′ = M11 v1 + M12 v2v2′ = M21 v1 + M22 v2èëè, ÷òî òîæå ñàìîå:v1′v2′=M11 M12M21 M22v1v2.Íå ëþáàÿ ìàòðèöàM̂ =M11 M12M21 M22îïðåäåëÿåò ïîâîðîò.
Äëÿ òîãî, ÷òîáû îíà îïðåäåëÿëà ïîâîðîò íåîáõîäèìî, ÷òîáû îíà óäîâëåòâîðÿëà íåêîòîðûì ñîîòíîøåíèÿì, êîòîðûå ìû îïðåäåëèì íèæå.′Âûøåóêàçàííûå îðìóëó ìîæíî çàïèñàòü è â äðóãîì âèäå: va =÷àåò:v1′v2′=v1 v216M11 M21M12 M22vb M Tba, ÷òî îçíà-(9)Ñêàëÿðíûì ïðîèçâåäåíèåì äâóõ 2âåêòîðîâ íàçûâàåòñÿ:v1 v2(~v, w)~ = v1 w1 + v2 w2 =w1w2= va wa ,ãäå â ïîñëåäíåì âûðàæåíèè (çàïèñàííîì â òåíçîðíîé îðìå) îïÿòü ïîäðàçóìåâàåòñÿ ñóììèðîâàíèå ïî ïîâòîðÿþùåìóñÿ èíäåêñóa.Î÷åâèäíî, ÷òî ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå äâóõ âåêòîðîâ ñîõðàíÿåòñÿ ïðè ïîâîðîòàõ ÑÊ:va wa = va′ wa′ . Áîëåå òîãî, âðàùåíèå ÑÊ íå ïðîñòî ñîõðàíÿåò âåëè÷èíó ñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ, íî è íå ìåíÿåò áèëèíåéíóþ îðìó, îïðåäåëÿþùóþ ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå ÷åðåçêîìïîíåíòû âåêòîðîâ:v1 w1 + v2 w2 = v1′ w1′ + v2′ w2′ .Äàâàéòå ïîñìîòðèì òåïåðü êàêèì óñëîâèÿì äîëæíà óäîâëåòâîðÿòü ìàòðèöà M̂ , ÷òîáû′îïðåäåëÿòü âðàùåíèå, à íå ïðîèçâîëüíóþ çàìåíó êîîðäèíàò.
Ò.ê. va = Mab vb , òîva′ va′ = vb M TÏóñòü ìàòðèöàM̂baMac vc .óäîâëåòâîðÿåò ñîîòíîøåíèþ:MTãäå ñèìâîë ÊðîíåêåðàδacbaMac = δac ,(10)îïðåäåëåí êàêδac =1,0,ïðèïðèa=c,a 6= cò.å. (10) ýêâèâàëåíòíî ìàòðè÷íîìó ðàâåíñòâó âèäà:M11 M12M21 M22M11 M21M12 M22=1 00 1,TTîçíà÷àþùåìó, ÷òî òðàíñïîíèðîâàííàÿ ìàòðèöà M̂ðàâíÿåòñÿ îáðàòíîé ê M̂ : M̂ M̂=T−1ˆˆI ⇔ M̂ = M̂ , ãäå I åäèíè÷íàÿ ìàòðèöà, ïðåäñòàâëåíàÿ âûøå ñèìâîëîì Êðîíåêåðà.Òàêèå ìàòðèöû íàçûâàþòñÿ îðòîãîíàëüíûìè.Åñëè ðàâåíñòâî (10) âåðíî, òîv1′ w1′ + v2′ w2′ ≡ va′ wa′ = va δac wc = vc wc ≡ v1 w1 + v2 w2 ,ò.å.
ñîõðàíÿåòñÿ è âåëè÷èíà ñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ è áèëèíåéíàÿ îðìà, îïðåäåëÿþùàÿåãî ÷åðåç êîìïîíåíòû âåêòîðîâ. Èìåííî ðàâåíñòâó (10) è äîëæíà óäîâëåòâîðÿòü ìàòðèöàM̂ , ÷òîáû îïðåäåëÿòü âðàùåíèå, à íå ïðîèçâîëüíóþ ëèíåéíóþ çàìåíó êîîðäèíàò ïåðåõîäê íåîðòîíîðìèðîâàííîìó áàçèñó.TÒ.ê.
det  = det  è det  B̂ =Iˆñëåäóåò, ÷òîdet M̂ = ±1.Ïðèdet  det B̂ äëÿ ëþáûõ ìàòðèö  è B̂ , òî èç M̂ M̂ T =ýòîì det M̂ = −1 îòâå÷àåò ìàòðèöå ïðåîáðàçîâàíèÿ,17âêëþ÷àþùåãî èíâåðñèþ êîîðäèíàò, êîòîðóþ ìû íå âêëþ÷àåì â ÷èñëî âðàùåíèé. Ïîòîìódet M̂ = 1.ìàòðèöà M̂ ,äëÿ âðàùåíèé âåðíî, ÷òîÀíòèñèììåòðè÷íàÿóäîâëåòâîðÿþùàÿ ðàâåíñòâó (10) ñ äåòåðìèíàíòîìðàâíûì åäèíèöå, âñåãäà ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåíà â îáùåèçâåñòíîì âèäå:M̂ =ãäåϕcos ϕ sin ϕ− sin ϕ cos ϕ óãîë âðàùåíèÿ.Ïåðåéäåì ê îïðåäåëåíèþ 2ìåðíûõ òåíçîðîâ. Äâóìåðíûìëè÷èíà,Ta1 ...an ,íåñóùàÿnnòåíçîðîìíàçûâàåòñÿ âå-èíäåêñîâ è ïðåîáðàçóþùàÿñÿ ïðè âðàùåíèÿõ êàê:Ta′ 1 a2 ...an = Ma1 b1 Ma2 b2 . .
. Man bn Tb1 b2 ...bn ≡ Tb1 b2 ...bn M T ýòîé òåðìèíîëîãèè âåêòîð ÿâëÿåòñÿ1òåíçîðîì.b1 a1MTb2 a2. . . MTbn an.Ïðîñòåéøèì ïðèìåðîì 2ìåðíîãî 2òåíçîðà ÿâëÿåòñÿ òåíçîðíîå ïðîèçâåäåíèå äâóõ 2ìåðíûõ âåêòîðîâ ||va wb ||.Ýòó âåëè÷èíó ìîæíî çàïèñàòü êàê ìàòðèöó:||va wb || =Àíàëîãè÷íî ïðîñòåéøèì ïðèìåðîìêîòîðîé â ñëó÷àån≥3v1 w1 v1 w2v2 w1 v1 w2nòåíçîðà.ÿâëÿåòñÿ âåëè÷èíàva1 wa2 . .
. uan ,ýëåìåíòûóæå íåëüçÿ ðàñïîëîæèòü â âèäå êâàäðàòíîé ìàòðèöû.×òîáû ïîçíàêîìèòüñÿ ñ äðóãèì ïðèìåðîì 2ìåðíîãî òåíçîðà ðàññìîòðèì îäèí èçóíäàìåíòàëüíûõ ïðèìåðîâ ñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ íîðìó èëè äëèíó âåêòîðà. Íà-(dx, dy) ≡ (dx1 , dx2 )(x + dx, y + dy) ≡ (x1 + dx1 , x2 + dx2 ) ðàâíàïðèìåð, äëèíà 2ìåðíîãî âåêòîðà222dl = dx + dy ≡dx21+dx22=2Xa=1ñ êîíöàìè(x, y) ≡ (x1 , x2 )èdxa dxa ≡ dxa dxa .Ýòà îðìóëà îïðåäåëÿåò ìåòðèêó â 2ìåðíîì Åâêëèäîâîì ïðîñòðàíñòâå ñïîñîá îïðåäåëåíèÿ ðàññòîÿíèÿ â ïðîñòðàíñòâå.
Ââåäåì ïîíÿòèå 2ìåðíîãî Åâêëèäîâà ìåòðè÷åñêîãîòåíçîðà, ïåðåïèñàâ âûðàæåíèå äëÿ äëèíû â íåñêîëüêî áîëåå îáùåì âèäå:2dl ≡ dxa dxa = δab dxa dxb =ãäåδabdx1 dx2δ11 δ12δ21 δ22dx1dx2, ýòî ñèìâîë Êðîíåêåðà è â äàííîé îðìóëå êàê ðàç è ÿâëÿåòñÿ Åâêëèäîâûììåòðè÷åñêèì òåíçîðîì. Ýòà âåëè÷èíà ÿâëÿåòñÿ 2òåíçîðîì, ò.ê. ïðàâèëüíî ïðåîáðàçóåòñÿïðè çàìåíàõ êîîðäèíàò. Äåéñòâèòåëüíî, ïðè 2ìåðíûõ âðàùåíèÿõ äëèíà íå ìåíÿåòñÿ′dl2 = δab dxa dxb = δabdx′a dx′b .È, ò.ê.dx′a = Mab dxb ,òî íåîáõîäèìî, ÷òîáû ìåòðè÷åñêèé òåíçîð ïðè âðàùåíèÿõ ïðåîáðà-çîâûâàëñÿ êàê18δa′ b = Ma c Mb d δc d ,÷òîáû äëèíà îñòàâàëàñü èíâàðèàíòíîé.
Äåéñòâèòåëüíî,′δabdx′a dx′b = δcd M TÍî, åñëèM̂caMTdb ýòî ìàòðèöà âðàùåíèÿ, òî âåðíî, ÷òîMa e dxe Mb g dxg .M T c a Ma b = δcb .Òîãäà′δabdx′a dx′b = δcd δce δdg dxe dxg = δab dxa dxb .Ò.å. äëèíà äåéñòâèòåëüíî èíâàðèàíòíà.Çàìå÷àòåëüíûì ñâîéñòâîì ìåòðè÷åñêîãî òåíçîðà ÿâëÿåòñÿ òî, ÷òî îí ñàì èíâàðèàíòåíïðè âðàùåíèÿõ, ò.å. ïðåîáðàçîâàííûé ìåòðè÷åñêèé òåíçîð ñîâïàäàåò ñ èñõîäíûì:δa′ b = Ma c Mb d δc d = δab ,ãäå äëÿ ïîëó÷åíèÿ ïîñëåäíåãî ðàâåíñòâà ÿ ïðîñòî ïîäðóãîìó ïåðåïèñàë óðàâíåíèåM T c a Ma b = δcb :MTcaMa b = Mc a M Tab= Mc a δad M Tdb= Mc a Mb d δad .Ïîñëåäíåå óòâåðæäåíèå ÿâëÿåòñÿ ïðîñòî îòðàæåíèåì òîãî àêòà, ÷òî áèëèíåéíàÿ îðìàδab , îïðåäåëÿþùàÿ ìåòðèêó â 2ìåðíîì ïðîñòðàíñòâå, íå ìåíÿåòñÿ ïðè âðàùåíèÿõ: dx2 +dy 2 = dx′2 + dy ′2 ⇔ δab dxa dxb = δab dx′a dx′b .Äàëåêî íå âñå òåíçîðû èíâàðèàíòíû ïðè âðàùåíèÿõ.
×èñëî èíâàðèàíòíûõ òåíçîðîâîòíîñèòåëüíî 2ìåðíûõ âðàùåíèé îãðàíè÷èâàåòñÿ Åâêëèäîâûì ìåòðè÷åñêèì òåíçîðîì èǫab . Ïîñëåäíèé îäíîçíà÷íî îïðåäåëÿåòñÿ ñâîéñòâîì àíòèñèììåòðèè, ǫab = −ǫba , è òåì, ÷òî ǫ12 = 1. Äåéñòâèòåëüíî, òîãäà ǫ21 = −ǫ12 = −1,à ǫ11 = −ǫ11 = 0 è ǫ22 = −ǫ22 = 0. Ò.å. ýòîò òåíçîð ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåí â âèäå ñëåäóþùåé 2 × 2 ìàòðèöû:àáñîëþòíîàíòèñèììåòðè÷íûì òåíçîðîì|| ǫab || =0 1−1 0Äîêàæåì, ÷òî ýòîò òåíçîð èíâàðèàíòåí îòíîñèòåëüíî âðàùåíèé. àññìîòðèì äâà âåêòîðà(1)(2)(1)(2)dxa è dxb . Ñîñòàâèì èç íèõ âåëè÷èíó ǫab dxa dxb . Íå òðóäíî âèäåòü, ÷òî ýòà âåëè÷èíà(1)åñòü íè ÷òî èíîå êàê ïëîùàäü ýëåìåíòàðíîé ïëîùàäêè, íàòÿíóòîé íà äâà âåêòîðà dxa è(2)(1)(2)(1)(2)(1)(2)(1)(2)dxb : ò.ê.
îíà ïðîñòî ðàâíà ǫ12 dx1 dx2 + ǫ21 dx2 dx1 = dx1 dx2 − dx2 dx1 . Ïîñëåäíþþ(1)âåëè÷èíó ìîæíî ïðåäñòàâèòü êàê dx1 dx2 = dx dy , åñëè íàïðàâèòü dxa âäîëü ïåðâîé îñè(1)(2)(2)x (ò.å. ïîëîæèòü dx2 = 0), à dxb âäîëü âòîðîé îñè y (ò.å. ïîëîæèòü dx1 = 0).Íî ïëîùàäü íå ìåíÿåòñÿ ïðè âðàùåíèÿõ. Äåéñòâèòåëüíî âðàùåíèå ýòî ïðîñòî çàìå′′íà êîîðäèíàò, ò.å. dx dy = det(M̂ ) dx dy , ãäå det(M̂ ) ýòî ÿêîáèàí çàìåíû. Íî det(M̂ ) = 1,(1)(2)ò.ê. M̂ ýòî ìàòðèöà âðàùåíèÿ. Ò.ê. ïëîùàäü íå ìåíÿåòñÿ ïðè âðàùåíèÿõ, òî ǫab dxa dxb =′′(1)(2)ǫab dxa dxb . Ò.å. àíòèñèììåòðè÷íûé òåíçîð èíâàðèàíòåí îòíîñèòåëüíî âðàùåíèé.Àáñîëþòíîàíòèñèììåòðè÷íûé òåíçîð îáëàäàåò ðÿäîì çàìå÷àòåëüíûõ ñâîéñòâ.
Íàïðèìåð, ëåãêî âèäåòü, ÷òî190 1−1 00 1−1 0=−1 00 1.(11)Ýòî ðàâåíñòâî ìîæíî çàïèñàòü â êîìïàêòíîé òåíçîðíîé îðìå êàêǫab ǫbc = −δac ,ãäå, êàê îáû÷íî ïîäðàçóìåâàåòñÿ ñóììèðîâàíèå ïî ïîâòîðÿþùåìóñÿ èíäåêñób.Íà ñàìîìäåëå àíòèñèììåòðè÷íûé òåíçîð óäîâëåòâîðÿåò è áîëåå îáùåìó òîæäåñòâó:ǫab ǫdc = detδad δacδbd δbc≡ δad δbc − δac δbd ,(12)êîòîðîå äîêàçûâàåòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì. Ëåâàÿ ÷àñòü ýòîãî ðàâåíñòâà èíâàðèàíòíûé2ìåðíûé 4òåíçîð ðåçóëüòàò òåíçîðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ äâóõ èíâàðèàíòíûõ 2ìåðíûõ 2òåíçîðîâ. Îí àíòèñèììåòðè÷åí îòíîñèòåëüíî ïåðåñòàíîâêè âíóòðè ïåðâîé ïàðû è âíóòðèâòîðîé ïàðû èíäåêñîâ. Ïðè ýòîì îí ñèììåòðè÷åí ïðè ïåðåñòàíîâêå ïåðâîé ïàðû èíäåêñîâ ñî âòîðîé.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
