Лекции по СТО и классической термодинамике (1183864), страница 6
Текст из файла (страница 6)
. .è îïðåäåëåíèåìǫ0123 = 1.Äåéñòâèòåëüíî, ëþáàÿ åãî êîìïîíåíòà, îòâå÷àþùàÿÿ äâóì ñîâ-ïàäàþùèì èíäåêñàì, ðàâíà íóëþ: íàïðèìåð,ǫµ0ν0 = −ǫµ00ν = ǫµ00ν = 0.Ïîýòîìó ó íåíóëå-âûõ åãî êîìïîíåíò âñå èíäåêñû äîëæíû áûòü îòëè÷íû äðóã îò äðóãà, ò.å. âñå íåíóëåâûåêîìïîíåíòû àáñîëþòíîàíòèñèììåòðè÷íîãî òåíçîðà ïîëó÷àþòñÿ èçǫ0123ïåðåñòàíîâêîéèíäåêñîâ.
Åñëè ïåðåñòàíîâêà ÷åòíàÿ, òî ñîîòâåòñòâóþùàÿ êîìïîíåíòà ðàâíà +1, à åñëè23íå÷åòíàÿ, òî 1. Òî, ÷òî ýòîò òåíçîð èíâàðèàíòåí îòíîñèòåëüíî ÏË äîêàçûâàåòñÿ àíàëîãè÷íî òîìó, êàê âûøå áûëà äîêàçàíà èíâàðèàíòíîñòü 2ìåðíîãîàáñîëþòíîàíòèñèììåòðè÷íîãî òåíçîðà: íàäî ïîñòðîèòü èç ðàññìàòðèâàåìîãî òåíçîðà ýëåìåíò 4îáúåìà, êîòîðûé, î÷åâèäíî, èíâàðèàíòåí îòíîñèòåëüíî ÏË, ò.ê. ÿêîáèàí çàìåíûïåðåìåííûõ â ýòîì ñëó÷àå ðàâåí åäèíèöå.Èìååòñÿ òàê æå 3ìåðíûé àáñîëþòíîàíòèñèììåòðè÷íûé òåíçîðǫijk , i = 1, 2, 3. Îíòî-æå îäíîçíà÷íî îïðåäåëÿåòñÿ ñâîéñòâîì àíòèñèììåòðèè îòíîñèòåëüíî ïåðåñòàíîâêè ëþáîéïàðû ñîñåäíèõ èíäåêñîâ è òåì, ÷òîǫ123 = 1.Ñ èñïîëüçîâàíèåì ýòîãî òåíçîðà îñîáåííîïðîñòî çàïèñûâàåòñÿ âåêòîðíîå ïðîèçâåäåíèå äâóõ 3ìåðíûõ âåêòîðîâ:[~v × w]~ i = ǫijk vj wk .Äåéñòâèòåëüíî,[~v × w]~ 1 ≡ v2 w3 − v3 w2 .Ïðè ýòîìǫ1jk vj wk = ǫ123 v2 w2 + ǫ132 v3 w2 =v2 w3 −v3 w2 .
Äëÿ 2-é è 3-é êîìïîíåíòû âåêòîðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ âûøåóêàçàííîå ðàâåíñòâîïðîâåðÿåòñÿ àíàëîãè÷íûì îáðàçîì. ÷àñòíîñòè âåðíî, ÷òî:hi~ × ~v(x) = ǫijk ∂ vk (x).[rot ~v (x)]i = ∇∂xji×åòûðåõìåðíûé è òðåõìåðíûé àáñîëþòíî àíòèñèììåòðè÷íûå òåíçîðà óäîâëåòâîðÿþò íåêîòîðûì òîæäåñòâàì àíàëîãè÷íûì òåì, êîòîðûì óäîâëåòâîðÿåò 2ìåðíûé òåíçîð.
Äîêàçàòåëüñòâî èõ àíàëîãè÷íî. Ýòè òîæäåñòâà ìîæíî íàéòè â íà÷àëå IIãî òîìà ËàíäàóËèøèöà èëè â çàäàâàëüíèêå.ǫ0µνα âñå íåíóëåâûå êîìïîíåíòû èìåþò ïðîñòðàíñòâåííûåèíäåêñû, ò.å. µ 6= 0, ν 6= 0, α 6= 0. Ïîýòîìó ýòè êîìïîíåíòû ìîæíî ïðåäñòàâèòü êàêǫ0ijk = ǫijk , i = 1, 2, 3. Àíàëîãè÷íî ǫ03ab = ǫ3ab = ǫab .Ïîä÷åðêíó, ÷òî ó âåëè÷èíû4.Îïðåäåëèì òåïåðü 4ãðàäèåíò è 4äèâåðãåíöèþ. Êîíòðàâàðèàíòíûì 4ãðàäèåíòîìñêàëÿðíîãî ïîëÿφ(t, ~x)ÿâëÿåòñÿ 4âåêòîð ñî ñëåäóþùèìè êîìïîíåíòàìè∂∂µ φ ≡ µ φ =∂x∂φ ~, ∇φc ∂t=∂φ ∂φ ∂φ ∂φ,,,c ∂t ∂x ∂y ∂z=∂φ, gradφ ,c ∂tãäå êàæäàÿ èç êîìïîíåíò îïðåäåëÿåò ñêîðîñòü èçìåíåíèÿ ïîëÿ â ñîîòâåòñòâóþùåì íàïðàâëåíèè.  ñâåòå âûøåñêàçàííîãî ëåãêî ïîíÿòü, ÷òî êîâàðèàíòíûé 4ãðàäèåíò ðàâåí:µ∂ φ=ηµν∂φ=∂µ φ =∂xµ∂φ, −gradφ .c ∂tÎáðàùàþ âàøå âíèìàíèå íà ðàñïîëîæåíèå èíäåêñîâ â ïðîèçâîäíûõ è äèåðåíöèàëàõ.µÝòî ðàñïîëîæåíèå ñâÿçàíî ñ òåì, ÷òî, åñëè dx ïðåîáðàçóåòñÿ êàê êîâàðèàíòíûé âåêòîð,µòî ∂/∂x ïðåîáðàçóåòñÿ êàê êîíòðàâàðèàíòíûé, è íàîáîðîò.
Äàëåå ìîæíî îïðåäåëèòü4-ãðàäèåíò ëþáîãî òåíçîðíîãî ïîëÿ. Ñêàæåì äëÿ 4ìåðíîãî 3òåíçîðíîãî ïîëÿðàâåíTµναîí∂β Tµναè ÿâëÿåòñÿ óæå 4ìåðíûì 4òåíçîðîì.µx)×åòûðåäèâåðãåíöèåé 4âåêòîðíîãî ïîëÿ A (t, ~~ ~x))= (A0 (t, ~x), A(t,íàÿ âåëè÷èíà (èíâàðèàíòíàÿ îòíîñèòåëüíî ÏË), èìåþùàÿ âèä:ηµν ∂ µ Aν = ∂µ Aµ = ∂ µ Aµ =∂A0 ~ ~ ∂A0~− ∇A =− div A.c ∂tc ∂t24ÿâëÿåòñÿ ñêàëÿð-Àíàëîãè÷íî 4äèâåðãåíöèþ ìîæíî îïðåäåëèòü è äëÿ òåíçîðíûõ ïîëåé. Ñêàæåì, 4äèâåðãåíöèÿTµνα ðàâíà ∂ µ Tµνα è ïðåîáðàçóåòñÿ, êàê 4ìåðíûé 2òåíçîð4ìåðíîãî 3òåíçîðíîãî ïîëÿîòíîñèòåëüíî ÏË. Ò.å., åñëè 4ãðàäèåíò ïîâûøàåò ÷èñëî èíäåêñîâ, òî 4äèâåðãåíöèÿ óìåíüøàåò èõ ÷èñëî.Ïðèâåäåì íåñêîëüêî î÷åâèäíûõ ñâîéñòâ 4ãðàäèåíòà è 4äèâåðãåíöèè.
Î÷åâèäíî, ÷òî∂µ xν = ∂xν /∂xµ = δµν .Òîãäà∂µ xµ = 4.Äàëåå,∂µ xν = ∂µ ηνα xα = ηνα δµα = ηµν .Òîãäà î÷åâèäíî, ÷òî∂µ |x|2 ≡ ∂µ (xν xν ) = (∂µ xν ) xν + xν (∂µ xν ) = δµν xν + xν ηµν = 2 xµ .Äàëåå11∂µ |x| ≡ ∂µ (xν xν ) 2 =2 (xν xν )12xµ.|x|∂µ (xα xα ) =È, íàêîíåö,∂µ1xµ1=−∂µ (xα xα ) = − 3 .1+1|x||x|2(xν xν ) 2Âñå îñòàëüíîå ñëåäóåò òðèâèàëüíî. Íàäî òîëüêî óìåòü ïîëüçîâàòüñÿ ïðàâèëîì äèåðåíöèðîâàíèÿ ñëîæíîé óíêöèè (ìíîãèõ ïåðåìåííûõ).5. Àïïåíäèêñ î ðàçëîæåíèè â ðÿä Òåéëîðà óíêöèè ìíîãèõ ïåðåìåííûõ.f (~x) ≡ f (x1 , x2 ). Íàì íåîáõîäèìî ðàçëîæèòü~a, |~a| ≪ |~x|, ñëåäóþùóþ óíêöèþ f (~x + ~a). Ïîëó-àññìîòðèì óíêöèþ äâóõ ïåðåìåííûõïî ñòåïåíÿì êîìïîíåíò ìàëîãî âåêòîðà÷àåì âûðàæåíèÿ:∂f (x1 , x2 )∂f (x1 , x2 )a1 +a2 +∂x1∂x21 ∂ 2 f (x1 , x2 ) 2 1 ∂ 2 f (x1 , x2 ) 2 ∂ 2 f (x1 , x2 )a1 +a2 +a1 a2 + .
. . .+2∂x212∂x22∂x1 ∂x2f (x1 + a1 , x2 + a2 ) = f (x1 , x2 ) +(18)Îíè ìîãóò áûòü ïåðåïèñàíû â îðìå:f (~x + ~a) = f (~x) + ∂i f (~x) · ai +1∂i ∂j f (~x) · ai aj + · · · =2∞X1∂i . . . ∂in f (~x) · ai1 . . . ain ,=n! 1n=1i = 1, 2, 3.(19)Ýòî ðàçëîæåíèå ìîæåò áûòü ñ ëåãêîñòüþ îáîáùåíî íà ñëó÷àé, êîãäà ìû èìååì äåëî ñâåêòîðàìè â ïðîñòðàíñòâå áîëüøåé ðàçìåðíîñòè, òî åñòü êîãäài = 1, .
. . , DèD > 3.Òàêæå â ýòèõ âûðàæåíèÿõ íèãäå íå èñïîëüçîâàëàñü ñèãíàòóðà ìåòðèêè. Ïîýòîìó îíè âåðíûêàê â ïðîñòðàíñòâå Åâêëèäà, òàê è â ïðîñòðàíñòâåâðåìåíè Ìèíêîâñêîãî.25Âîïðîñû è çàäà÷è•Êàê äîëæíû ïðåîáðàçîâûâàòüñÿ ñòðîêà è ñòîëáåö, îïðåäåëÿþùèå âåêòîðû, ïðè ïðîèçâîëüíîé ëèíåéíîé çàìåíå êîîðäèíàò, ÷òîáû âåëè÷èíà ñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ íåçàâèñåëà áû îò âûáîðà ÑÊ? Êàê ïðè ýòîì ìåíÿåòñÿ áèëèíåéíàÿ îðìà, îïðåäåëÿþùàÿ âûðàæåíèå äëÿ ñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ ÷åðåç êîìïîíåíòû âåêòîðîâ?•Ïðîèçâîëüíàÿ íåâûðîæäåííàÿ (ñ íåíóëåâûì äåòåðìèíàíòîì) ïîñòîÿííàÿ (íå çàâèñÿùàÿ îò Ï êîîðäèíàò) áèëèíåéíàÿ îðìà gµν ìîæåò îïðåäåëÿòü ìåòðèêó (èíòåðâàë),ds2 = gµν dxµ dxν , â ïðîñòðàíñòâå èëè Ï â çàâèñèìîñòè îò åå ñèãíàòóðû. Òàêàÿ áèëèíåéíàÿ îðìà ìîæåò áûòü ïðèâåäåíà, ïîñðåäñòâîì ëèíåéíîé çàìåíû êîîðäèíàò,ê îäíîìó èç ñòàíäàðòíûõ âèäîâ:1 0 000100001000 ,0 11 000 0 −1 00 0 0 −1 0 ,0 00 −11 0 000 001 00 0 −1 0 0 0 −1(20)â çàâèñèìîñòè îò åå ñèãíàòóðû.
Ïåðâûé ñëó÷àé îïèñûâàåò 4ìåðíîå Åâêëèäîâî ïðîñòðàíñòâî ñ ãåîìåòðèåé àíàëîãè÷íîé 3ìåðíîìó è 2ìåðíîìó ñëó÷àÿì. Ñðåäíèé ñëó÷àé ýòî óæå õîðîøî èçâåñòíîå íàì Ï Ìèíêîâñêîãî. Ïîñëåäíèé ñëó÷àé îïèñûâàåòãèïîòåòè÷åñêîå ïðîñòðàíñòâî ñ äâóìÿ âðåìåíàìè.Ñëó÷àé ñ îäíîé ìèíóñ åäèíèöåé è òðåìÿ ïëþñ åäèíèöàìè íà äèàãîíàëè, íå óêàçàíds2 → −ds2 , êîòîðàÿ íå ìåíÿåòíûé çäåñü, ñâîäèòñÿ ê Ï Ìèíêîâñêîãî çàìåíîéãåîìåòðèè Ï (Ïî÷åìó?). Ñëó÷àé ñî âñåìè ìèíóñ åäèíèöàìè íà äèàãîíàëè, òîæå íåóêàçàííûé çäåñü, ñâîäèòñÿ àíàëîãè÷íîé çàìåíîé ê 4ìåðíîìó Åâêëèäîâó ïðîñòðàíñòâó. Ïîäóìàéòå, êàêîâà áóäåò ãåîìåòðèÿ â ñëó÷àå Ï ñ äâóìÿ âðåìåíàìè: Êàê òàìáóäåò óñòðîåí ñâåòîâîé êîíóñ? Êàêèå âàðèàíòû äëÿ èíòåðâàëîâ èìåþòñÿ â ýòîì ñëó÷àå? Êàêèå ïðåîáîðàçîâàíèÿ îòâå÷àþò çàìåíå ÑÎ è ò.ä.?Ïóñòü ìåòðèêà â íàøåì ïðîñòðàíñòâå îïðåäåëÿåòñÿ íå áèëèíåéíîé îðìîé, à ïîñòî3µναÿííîé òðèëèíåéíîé îðìîé: ds = gµνα dx dx dx .
Ïîäóìàéòå ê êàêèì ñòàíäàðòíûìâèäàì òàêèå òðèëèíåéíûå îðìû ìîæíî ïðèâåñòè ïðè ïîìîùè ëèíåéíûõ çàìåí êîîðäèíàò. Êàêèå 4ìåðíûå ãåîìåòðèè îíè îïèñûâàþò? À êàêîâà ñèòóàöèÿ, åñëè ìåòðèêàîïðåäåëÿåòñÿ ÷åòûðåëèíåéíîé îðìîé? Ýòî î÷åíü ñëîæíûå âîïðîñû äëÿ íà÷èíàþùèõ èçó÷àòü ÑÒÎ, îñíîâàòåëüíûé îòâåò íà êîòîðûå âïîëíå ìîæíî îïóáëèêîâàòü âíàó÷íîì æóðíàëå.•Âû÷èñëèòåǫµναβ ǫαβγσ ∂γ ∂ νåñëè 4âåêòîð•kδxµ |x|,kδ xδÿâëÿåòñÿ êîíñòàíòîé íå çàâèñèò îòx.µàçëîæèòå äî âòîðîé ñòåïåíè ïî êîìïîíåíòàì ìàëîãî 4âåêòîðà a ñëåäóþùåå âû1µðàæåíèå:. Çäåñü k íåêîòîðûé ïîñòîÿííûé 4âåêòîð.[kµ (xµ +aµ )]2264ñêîðîñòü è 4óñêîðåíèå, äåéñòâèå äëÿ ðåëÿòèâèñòñêîé ÷àñòèöû, ïðèíöèï íàèìåíüøåãî äåéñòâèÿ äëÿ ÷àñòèö,ñèììåòðèè äåéñòâèÿ è çàêîíû ñëõðàíåíèÿ, ðåëÿòèâèñòñêàÿ êèíåìàòèêà, ýåêò Äîïëåðà.Ëåêöèÿ III,1.  ÑÒÎ äëÿ óïðîùåíèÿ èçó÷àþò îáúåêòû áåç âíóòðåííåé ñòðóêòóðû òî÷å÷íûå ýëåìåíòàðíûå÷àñòèöû, ò.ê.
â ÑÒÎ íå áûâàåò àáñîëþòíî æåñòêèõ òåë. Äåéñòâèòåëüíî, ðàññìîòðèì àáñîëþòíî æåñòêèé, äëèííûé ñòåðæåíü. Ïóñòü åãî óäàðèëè ìîëîòêîì ñ îäíîé ñòîðîíû. Òàê êàêñòåðæåíü àáñîëþòíî æåñòêèé, òî ìû ìãíîâåííî ïîëó÷èì îòêëèê ñ äðóãîé åãî ñòîðîíû. Àòàê êàê óäàð ïî ñòåðæíþ è îòêëèê ïðîñòðàíñòâåííî ðàçäåëåííûå ñîáûòèÿ, òî ñóùåñòâóþòÈÑÎ, â êîòîðûõ îòêëèê ñî âòîðîé ñòîðîíû ñòåðæíÿ ïðîèñõîäèòðàíüøåóäàðà ìîëîòêîìïî åãî ïåðâîé ñòîðîíå.Ýòî î÷åâèäíîå ïðîòèâîðå÷èå ðàçðåøàåòñÿ, åñëè âñïîìíèòü, ÷òî àáñîëþòíî æåñòêèõ òåëíå áûâàåò, à ñòåðæåíü èìååò âíóòðåííþþ ñòðóêòóðó è ïî íåìó ìîãóò ðàñïðîñòðàíÿòüñÿçâóêîâûå/óïðóãèå âîëíû, ñêîðîñòü êîòîðûõ ñèëüíî ìåíüøå ñêîðîñòè ñâåòà. À èìåííî, îòêëèê ñî âòîðîé ñòîðîíû ñòåðæíÿ ïðîèçîéäåò òîëüêî ïîñëå òîãî êàê äî íåå äîéòåò óïðóãàÿâîëíà âîçáóæäåííàÿ ìîëîòêîì ñ ïåðâîé åãî ñòîðîíû.2.Èòàê, çàäà÷åé ðåëÿòèâèñòñêîé ìåõàíèêè ÿâëÿåòñÿ íàõîæäåíèå ìèðîâîé ëèíèè ýëå-ìåíòàðíîé ÷àñòèöû, ò.å.
ðåøåíèå äèíàìè÷åñêèõ óðàâíåíèé, êîòîðûå áóäóò îïðåäåëåíûíèæå, ïðè äàííûõ íà÷àëüíûõ óñëîâèÿõ.×òîáû ïîñòàâèòü çàäà÷ó ðåëÿòèâèñòñêîé ìåõàíèêè, îïðåäåëèì 4âåêòîð ñêîðîñòè. Êàµz (t)), ãäå ~z (t) òðàåêòîðèÿçàëîñü áû, åñëè çàäàíà ìèðîâàÿ ëèíèÿ ÷àñòèöû z (t) = (c t, ~µ÷àñòèöû, òî íà ýòó ðîëü ïîäõîäèò âåëè÷èíà dz (t)/dt. Îäíàêî îíà ïðåîáðàçóåòñÿ ïðè Ï˵µµíå êàê 4âåêòîð, à êàê ∂0 z êîìïîíåíòà 2òåíçîðà ∂ν z : dz ïðåîáðàçóåòñÿ êàê 4âåêòîð,àdt êàê íóëåâàÿ êîìïîíåíòà 4âåêòîðà.×òîáû îïðåäåëèòü ïðàâèëüíûì îáðàçîì 4âåêòîð ñêîðîñòè (4ñêîðîñòü), íàäî ïîäåëèòüdz µ íà âåëè÷èíó, êîòîðàÿ ÿâëÿåòñÿ ðåëÿòèâèñòñêèìïðèðàùåíèå âäîëü òðàåêòîðèè èíâàðèàíòîì, è, ïðè ýòîì, èìååò ñìûñë âðåìåíè. Òàêèìè ñâîéñòâàìè îáëàäàåò ñîáñòâåííîå222âðåìÿ â ÑÎ, ñîïóòñòâóþùåé ÷àñòèöå ds = c dτ , ãäå τ ñîáñòâåííîå âðåìÿ.
Òàêèìîáðàçîì, 4ñêîðîñòü îïðåäåëÿåòñÿ êàê:uµ =Ò.ê.ãäådτ = dtp1 − v 2 /c2 ,β~ = ~v /c. Çàìåòèâ,ãäå~v = ~z˙ ,(21)òî êîìïîíåíòû 4âåêòîðà ñêîðîñòè èìåþò âèä:1uµ = q1−÷òî1 dz µdz µ=.dsc dτv2c2,ds2 = dz µ dzµ~vqc 1−v2c2 = γ, γ β~ ,(22) êâàäðàò äëèíû ýëåìåíòàðíîãî ó÷àñòêà òðàåêòî-ðèè, èìååì:271=dz µ dzµ= uµ uµ .ds ds(23)Ò.å. ãåîìåòðè÷åñêèé ñìûñë 4ñêîðîñòè ýòî åäèíè÷íûé 4âåêòîð, êàñàòåëüíûé ê ìèðîâîéëèíèè.Òåïåðü äîëæíî áûòü î÷åâèäíî, ÷òî 4óñêîðåíèå îïðåäåëÿåòñÿ êàê:wµ ≡Äèåðåíöèðóÿ ñîîòíîøåíèåd (uµ uµ )0==dsuµ uµduµdsïîd2 z µduµ≡.dsds2d/ds,uµ + uµ(24)ïîëó÷àåì:duµds=2duµdsuµ = 2 w µ uµ .(25)Ò.å. 4âåêòîð ñêîðîñòè è 4âåêòîð óñêîðåíèÿ ýëåìåíòàðíîé ÷àñòèöû âñåãäà îðòîãîíàëüíûµ= 1 > 0, òî uµ ýòî âðåìåíè ïîäîáíûé âåêòîð.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
