Лекции по СТО и классической термодинамике (1183864), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Ïîýòîìóäðóã äðóãó. Òàê êàê uµ uµµîðòîãîíàëüíûé ê íåìó âåêòîð w äîëæåí áûòü ïðîñòðàíñòâåííî ïîäîáíûì, òî åñòü wµ w ≤µµ0, ïðè ëþáîì äâèæåíèè. Ïðè÷åì wµ w = 0 òîëüêî, åñëè w = 0.3.Çàêîíû äâèæåíèÿ ÷àñòèö â ÑÒÎ êàê è â îáû÷íîé ìåõàíèêå ñëåäóþò èç ïðèíöèïàíàèìåíüøåãî äåéñòâèÿ, êîòîðûé ãëàñèò, ÷òî äëÿ ìèðîâîé ëèíèè, ðåøàþùåé óðàâíåíèÿäâèæåíèÿ, óíêöèîíàë äåéñòâèÿ ÷àñòèöû ïðèíèìàåò ìèíèìàëüíîå çíà÷åíèå. Ìîæíî ñêàçàòü, ÷òî ïðèíöèï íàèìåíüøåãî äåéñòâèÿ ïîñòóëàò, ñëåäóþùèé èç ëîãè÷åñêè íåïðîòèâîðå÷èâîãî îïèñàíèÿ ñîâîêóïíîñòè îïûòíûõ àêòîâ.
Ò.å. âìåñòî ïîñòóëèðîâàíèÿ äèíàìè÷åñêèõ óðàâíåíèé (âðîäå 2-ãî çàêîíà Íüþòîíà), ìû ìîæåì ïîñòóëèðîâàòü ïðèíöèïíàèìåíüøåãî äåéñòâèÿ. Òîãäà äèíàìè÷åñêèå óðàâíåíèÿ áóäóò âûâîäèòüñÿ êàê ñëåäñòâèå.Äåéñòâèòåëüíî, âñïîìíèì, ÷òî óíêöèîíàë äåéñòâèÿ äëÿ íåðåëÿòèâèñòñêîé ÷àñòèöûèìååò âèä:S [~z (·)] =Zt2dtt1()m ~z˙ 2 (t)− V [~z(t)] ,2m ýòî ìàññà ÷àñòèöû, à V [~z ] ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ.
Äëÿ ñâîáîäíîé ÷àñòèöûV = 0. Ôóíêöèîíàë ìîæíî ïîíèìàòü êàê ïðåäåëüíûé ñëó÷àé óíêöèè áîëüøîãî ÷èñëàïåðåìåííûõ. Íàïðèìåð, ðàññìîòðè óíêöèþ N âåêòîðíûõ ïåðåìåííûõ:ãäåS [~z1 , ~z2 , . . . , ~zN ] ≡èmi=1(2)m (~zi+1 − ~zi )− V [~z]2 ∆t2∆t,(26)N → ∞, ∆t → 0 è zi+1 − zi → 0 ñóììà â ýòîìîïðåäåëåíèè ñâîäèòñÿ ê èíòåãðàëó, à óêöèÿ îò N ïåðåìåííûõ ~z1 , . . . , ~zN ëîìàííîé ïðè-ãäå çäåñü∆tNX ïàðàìåòðû.  ïðåäåëåáëèæàþùåé òðàåêòîðèþ ÷àñòèöû ê óíêöîíàëó ("óíêöèè îò êîíòèíóàëüíîãî ÷èñëàïåðåìåííûõ")~z (t) òðàåêòîðèè ÷àñòèöû.Èç àíàëîãèè ñ óíêöèåé ìíîãèõ ïåðåìåííûõ äîëæíî áûòü ïîíÿòíî, ÷òî ýêñòðåìóìäåéñòâèÿ îïðåäåëÿåòñÿ èç òîãî, ÷òî åãî ëèíåéíàÿ âàðèàöèÿ ïî28~z(t)ðàâíà íóëþ:δ S[~z(·)] ≡n hihioS ~z(·) + δ~z (·) − S ~z (·)linear in δzÏðè ýòîì, âàðèàöèè íà êîíöàõ òðàåêòîðèè ðàâíû íóëþ:= 0.δz(t1 ) = δz(t2 ) = 0,ò.å.
ïðèâàðüèðîâàíèè ìû äåðæèì êîíöû òðàåêòîðèè èêñèðîâàííûìè, ñêàæåì, â òî÷êàõ~x1è~z (t2 ) = ~x2 ;~z(t1 ) =ýòè äàííûå çàäàþò íà÷àëüíûå è êîíå÷íûå óñëîâèÿ â íàøåé äèíàìè÷åñêîéçàäà÷å.Ïðîâàðüèðóåì äàííîå íàì íåðåëÿòèâèñòñêîå äåéñòâèå ÿâíî:δS =Zt2t1Z t2 h2 mim ˙m ˙ ˙ ~2dt~z + δ~z˙ − ~z˙ − V [~z + δ~z ] + V [~z] 2 ~z δ~z − ∂V [~z ] δ~z .dt=222t1linear in δzδS = 0 ïðè ëþáîì δ~z , â òî âðåìÿ êàê â ïðàâîé ñòîðîíåδ~z˙ . ×òîáû èçáàâèòüñÿ îò ïðîèçâîäíîé ïî âðåìåíè îò δ~z ïðîèíòåãðèðóåì ïåðâûé ÷ëåíÌû ñîáèðàåìñÿ ïîòðåáîâàòü, ÷òîñòîèòâ ïîñëåäíåì âûðàæåíèè ïî ÷àñòÿì:t2 ZδS = m ~z˙ δ~z −t1t2t1hi~dt m ~z¨ + ∂Vδ~z .Ïåðâîå âûðàæåíèå ñ ïðàâîé ñòîðîíû ýòîãî ðàâåíñòâà òîæäåñòâåííî çàíóëÿåòñÿ, ò.ê.δz(t1 ) =δz(t2 ) = 0.
Âòîðîå âûðàæåíèå íà ïðàâîé ñòîðîíå ïîñëåäíåãî ðàâåíñòâà ðàâíî íóëþ ïðè~ . Ò.å., ïîñòóëèðîâàâ óñëîâèå ìèíèìóìàëþáîì δz(t) òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà m~z¨ = −∂Väåéñòâèÿ, ìû ïîëó÷èëè âòîðîé çàêîí Íüþòîíà êàê ñëåäñòâèå. Çàìå÷ó, ÷òî äëÿ êîððåêòíîéïîñòàíîâêè çàäà÷è, ìû äîëæíû íàëîæèòü íà÷àëüíûå è êîíå÷íûå óñëîâèÿ äëÿ äèåðåí-3z (t1 ) = ~x1 è ~z (t2 ) = ~x2 .öèàëüíîãî óðàâíåíèÿ âòîðîãî ïîðÿäêà : ~m~z˙ 2 (t)Ëàãðàíæèàí L =íå ìîæåò ïîäîéòè äëÿ îïèñàíèÿ äâèæåíèÿ ñâîáîäíîé ðåëÿ24.òèâèñòñêîé ÷àñòèöû, ò.ê. ïðèâîäèò ê óðàâíåíèÿì äâèæåíèÿm~z¨ = 0,êîòîðûå íå èíâàðè-àíòíû îòíîñèòåëüíî ïðåîáðàçîâàíèé Ëîðåíöà, ïîñêîëüêó â íèõ âðåìÿ è ïðîñòðàíñòâåííûåêîîðäèíàòû âõîäÿò íå ðàâíîïðàâíî.Äèíàìèêà ðåëÿòèâèñòñêîé ÷àñòèöû äîëæíà îïèñûâàòüñÿ Ëîðåíö êîâàðèàíòíûìè óðàâíåíèÿìè äâèæåíèÿ, ÷òîáû óâàæàòü ïðèíöèï îòíîñèòåëüíîñòè. Ïîýòîìó äåéñòâèå äëÿ ðåëÿòèâèñòñêîé ÷àñòèöû äîëæíî áûòü Ëîðåíö èíâàðèàíòîì.
Ïîäõîäÿùèì êàíäèäàòîì íà ðîëüäåéñòâèÿ äëÿ ðåëÿòèâèñòñêîé ÷àñòèöû ÿâëÿåòñÿ äëèíà åå ìèðîâîé ëèíèè. Äåéñòâèòåëüíî:••Äëèíà ÿâëÿåòñÿ ïðîñòåéøèì Ëîðåíö èíâàðèàíòîì, êîòîðûé ìîæíî ïîñòðîèòü ïîçàäàííîé ìèðîâîé ëèíèè.Ýêñòðåìàëüíóþ äëèíó èìååò ïðÿìàÿ ëèíèÿ. À ìû è îæèäàåì, ÷òî ñâîáîäíàÿ ðåëÿòèâèñòñêàÿ ÷àñòèöà áóäåò äâèãàòüñÿ ïî ïðÿìîé â ÏÂ.3 Íàt2ñàìîì äåëå åñòü íåñêîëüêî ñïîñîáîâ çàíóëèòü âêëàä m ~z˙ δ~z â âàðèàöèþ äåéñòâè. Äëÿ îïðåäåt1ëåíèÿ ðåøåíèÿ äèåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ âòîðîãî ïîðÿäêà, êîèì ÿâëÿåòñÿ âòîðîé çàêîí Íüþòîíà,íåîáõîäèìî íàëîæèòü äâà óñëîâíèÿ. Íàïðèìåð, óñëîâèå δz(t1 ) = δz(t2 ) = 0, à ñëåäîâàòåëüíî êîíöû òðàåêòîðèè èêñèðîâàíû, ~z(t1 ) = ~x1 è ~z(t2 ) = ~x2 , íàçûâàåòñÿ ãðàíè÷íûì óñëîâèåì Äèðèõëå. Âìåñòî ýòîãîìîæíî ïîòðåáîâàòü ~z˙ (t1 ) = ~z˙ (t2 ) = 0.
Òàêîå óñëîâèå íàçûâàåòñÿ ãðàíè÷íûì óñëîâèåì ͼéìàíà. Âîçìîæíûè êîìáèíàöèè èç òàêèõ óñëîâèé íà ðàçíûõ êîíöàõ.29Èòàê ìû ïðåäïîëàãàåì, ÷òî äëÿ ðåëÿòèâèñòñêîé ÷àñòèöûS = α l12 ,ãäåα íåêîòîðûéïàðàìåòð, êîòîðûé ìû íàéäåì íèæå, à l12 äëèíà ìèðîâîé ëèíèè ìåæäó íà÷àëüíîé 1 èêîíå÷íîé 2 ìèðîâûìè òî÷êàìè.Âûâåäåì ÿâíîå âûðàæåíèå äëÿ äëèíû ìèðîâîé ëèíèè.
Ïðèáëèçèì ìèðîâóþ ëèíèþ~z (t)q→ {~z (tq )} → {~zq } , q = 1, . . . , N. Äëèíà ýòîé ëîìàíîé ðàâíàPN−1˜l12 =(zq+1 − zq )µ (zq+1 − zq )µ .  ïðåäåëå N → ∞ è |zq+1 −zq | → 0 ðàññìàòðèâàåìàÿq=1ëîìàíîéëîìàííàÿ ñòðåìèòñÿ ê ìèðîâîé ëèíèè, à ðàññìàòðèâàåìàÿ ñóììà ïðåâðàùàåòñÿ â èíòåãðàëR2pR2l12 = 1 dz µ dzµ = 1 ds âäîëü ìèðîâîé ëèíèè ÷àñòèöû ìåæäó íà÷àëüíîé è êîíå÷íîéìèðîâîé òî÷êîé. Ýòî áîëåå èëè ìåíåå î÷åâèäíûé îòâåò. Çàìå÷ó, ÷òî äëèíà ìèðîâîé ëèíèè÷àñòèöû åñòü íè ÷òî èíîå êàê ñêîðîñòü ñâåòà óìíîæåííàÿ íà ñîáñòâåííîå âðåìÿ ïðîøåäøååâ ÑÎ ñîïóòñòâóþùåé ýòîé ÷àñòèöå ìåæäó ìèðîâûìè òî÷êàìè 1 è 2.Òàêèì îáðàçîì, äåéñòâèå äëÿ ñâîáîäíîé ðåëÿòèâèñòñêîé ÷àñòèöû äîëæíî áûòü ðàâíî:S [z µ (·)] = αZ2ds = α1Z21pdz µ dzµ = αZt2t1pdt ż µ żµ = α c íåðåëÿòèâèñòñêîì ïðåäåëå ñêîðîñòü ÷àñòèöû ìàëàZt2dtt1|~z˙ (t)| ≪ c, ∀t,s1−~z˙ 2 (t).c2(27)ïîýòîìó êâàäðàòíûéêîðåíü â âûðàæåíèè äëÿ äåéñòâèÿ ìîæíî ðàçëîæèòü â ðÿä Òåéëîðà:S≈Zt2t1"#α ~z˙ 2 (t)dt α c −.2cÏîñëåäíåå äåéñòâèå ñâîäèòñÿ ê âûøåóêàçàííîìó íåðåëÿòèâèñòñêîìó (ñ òî÷íîñòüþ äî êîíñòàíòû, íå âëèÿþùåé íà óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ), åñëèα = −m c. ðåçóëüòàòå Ëàãðàíæèàí äëÿ ñâîáîäíîé ðåëÿòèâèñòñêîé ÷àñòèöû ðàâåí:L (zµ , żµ ) = −m c2s1−p~z˙ 2 (t)ż µ żµ .=−mcc2(28)Ïîä÷åðêíó, ÷òî èç-çà íàëè÷èÿ çíàêà ìèíóñ ïåðåä äåéñòâèåì, îíî ïðèíèìàåò ñâîå ìèíèìàëüíîå çíà÷åíèå äëÿ òðàåêòîðèè ìàêñèìàëüíîé äëèíû ïðÿìîé ëèíèè â ÏÂ.
Äåéñòâè√òåëüíî, èíòåðâàë ds =c2 dt2 − d~x2 ïðèíèìàåò ìàêñèìàëüíîå çíà÷åíèå äëÿ ïîêîÿùåéñÿ÷àñòèöû (èëè äâèãàþùåéñÿ ñ ïîñòîÿííîé ñêîðîñòüþ, êàê ñëåäóåò èç ïðèíöèïà îòíîñèòåëüíîñòè).Âåðîÿòíî âàæíûì çàìå÷àíèåì ÿâëÿåòñÿ òî, ÷òî îáñóæäàåìîå äåéñòâèå (27) èíâàðèàíòíî îòíîñèòåëüíî ïî êðàéíåé ìåðå åùå îäíîé ñèììåòðèè. À èìåííî, â êà÷åñòâå ïàðàìåòðèçàöèè ìèðîâîé ëèíèè ÷àñòèöû ìû ìîæåì âçÿòü ëþáîé äðóãîé ïàðàìåòð âìåñòîêîîðäèíàòíîãî âðåìåíèt (íàïðèìåð, ñîáñòâåííîå âðåìÿ èëè âðåìÿ â ëþáîé äðóãîé ñèñòåìåîòñ÷åòà):S = −mcZ12pdz µ dzµ = −mct2t1pdt ż µ żµ = −mcZf2f1dfsdzµ dz µ.df df(29)t íà äðóãîé ïàðàìåòð f ýòî òî, ÷òî äîëæíî áûòüdf (t)/dt > 0.
Òî åñòü â íîâîé ïàðàìåòðèçàöèè ïîðÿäîê òî÷åêÅäèíñòâåííîå òðåáîâàíèå íà çàìåíóâåðíî ñëåäóþùåå óñëîâèå:Z30âäîëü ìèðîâîé ëèíèè äîëæåí áûòü ñîõðàíåí: åñëè íåêîòîðàÿ òî÷êà áûëà ïîçæå äðóãîé âîäíîé ïàðàìåòðèçàöèè, òî ýòî äîëæíî áûòü âåðíî è â íîâîé ïàðàìåòðèçàöèè.pÄàííîå òðåáîâàíèå íåîáõîäèìî äëÿ òîãî, ÷òîáû áûëî âûïîëíåíî ñëåäóþùåå óñëîâèådf 2 ≡ |df | = df , êîòîðîå íåîáõîäèìî äëÿ êîððåêòíîãî èçâëå÷åíèÿ êâàäðàòíîãî êîðíÿ ïðèïåðåõîäå îò ïàðàìåòðàt ê f . Îáñóæäàåìàÿ ñèììåòðèÿíàçûâàåòñÿ ðåïàðàìåòðèçàöèîííîéèíâàðèàíòíîñòüþ. Êàê ñòàíåò ÿñíî èç ñëåäóþùèõ ëåêöèé, âñå ðåëÿòèâèñòñêèå äåéñòâèÿäëÿ ÷àñòèö, ñ êîòîðûìè ìû áóäåì ñòàëêèâàòüñÿ, èíâàðèàíòíû îòíîñèòåëüíî ýòîé ñèììåòðèè.
Äåéñòâèòåëüíî, î÷åâèäíî, ÷òî çàêîíû äâèæåíèÿ ÷àñòèöû íå äîëæíû çàâèñåòü îòòîãî, êàê ìû çàïàðàìåòðèçîâàëè åå ìèðîâóþ ëèíèþ. Îíè ìîãóò çàâèñåòü òîëüêî îò òîãî,êàê îðìà òðàåêòîðèè îïðåäåëÿåòñÿ äåéñòâóþùèìè íà ÷àñòèöó ñèëàìè.5.Âûâåäåì óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ äëÿ ñâîáîäíîé ðåëÿòèâèñòñêîé ÷àñòèöû èç óñëîâèÿR t2ìèíèìóìà äåéñòâèÿ. Ñäåëàåì ýòî äëÿ îáùåãî âèäà äåéñòâèÿ S =dt L(zµ , żµ ) äëÿ ðåëÿt1µòèâèñòñêîé ÷àñòèöû ñ ìèðîâîé ëèíèåé z (t), ãäå L(zµ , żµ ) îáùåãî âèäà óíêöèÿ Ëàãðàíæà.µÂ ýòîì ñëó÷àå ìû âàðüèðóåì ìèðîâóþ ëèíèþ z (t), à íå òðàåêòîðèþ ~z (t) ñ èêñèµµµµðîâàííûìè êîíöåâûìè ìèðîâûìè òî÷êàìè z (t1 ) = x1 è z (t2 ) = x2 . Òîãäà, ðàçëàãàÿµËàãðàíæèàí äî ëèíåéíîãî ïîðÿäêà ïî δz (t), ïîëó÷àåì:0 = δS =Zt2t1=dt [L (zµ + δzµ , żµ + δ żµ ) − L (zµ , żµ )]linear in δzZ t2 ∂L ∂L dt=δzµ +δ żµ .∂zµ ż=const∂ żµ z=constt1(30)Èíòåãðèðóÿ ïî ÷àñòÿì âòîðîé ÷ëåí â ïîñëåäíåì âûðàæåíèè, ïîëó÷àåì:t2 Z t2 ∂Ld∂L∂Ldtδzµδzµ +−0 = δS =∂ żµ∂zµ dt ∂ żµt1t14Ïåðâûé âêëàä ñ ïðàâîé ñòîðîíû ýòîãî âûðàæåíèÿ òîæäåñòâåííî ðàâåí íóëþ , ò.ê.δzµ (t2 ) = 0.
Ïîýòîìó, ÷òîáû âñÿ ëèíåéíàÿ âàðèàöèÿ äåéñòâèÿ ðàâíÿëàñüδzµ , íåîáõîäèìî, ÷òîáû âûïîëíÿëîñü óðàâíåíèå ËàãðàíæàÝéëåðà:íóëþ ïðè ëþáîì∂Ld ∂L=.dt ∂ żµ∂zµÂ íàøåì ñëó÷àåL (zµ , żµ ) = −m cpż µ żµ .∂L= 0,∂zµδzµ (t1 ) =(31)Ïîýòîìó:∂Lż µ= −m c √ ν ,∂ żµż żνò.ê. ïðîèçâîäíàÿ â ïåðâîì èç ýòèõ ðàâåíñòâ áåðåòñÿ ïîzµïðè ïîñòîÿííîìżµ ,êàê áûëîóêàçàíî âûøå â îðìóëå (30).4 ðàíè÷íûå(íà÷àëüíûå è êîíå÷íûå) óñëîâèÿ, êîòîðûå òðåáóþò, ÷òîáû δzµ (t1,2 ) = 0 íàçûâàþòñÿ óñëî∂L(t1,2 ) = 0þ Èëè æå êîìâèåìÿ Äèðèõëå.
 ïðèíöèïå, ìîæíî áûëî áû íàëîæèòü óñëîâèÿ Íåéìàíà ∂zµáèíàöèè òàêèõ óñëîâèÿõ â íà÷àëà è â êîíöå.31Òàêèì îáðàçîì, óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ äëÿ ñâîáîäíîé ðåëÿòèâèñòñêîé ÷àñòèöû èìåþòâèä:ddz µd ż µ√ ν√ ν= −m c= 0.dt ż żνdt dt ż żνppdt ż µ żµ = ds, è äåëÿ îáå åãî ñòîðîíû íà ż µ żµ ,−m cÂñïîìèíàÿ, ÷òîýòî óðàâíåíèå ìîæíîïåðåïèñàòü â ÿâíî Ëîðåíö èíâàðèàíòíîì âèäå:d dz µ≡ w µ = 0.ds ds(32)Ò.å., êàê è ñëåäîâàëî îæèäàòü, ñâîáîäíàÿ ðåëÿòèâèñòñêàÿ ÷àñòèöà äâèæåòñÿ ñ íóëåâûì4óñêîðåíèåì, ò.å. ñ ïîñòîÿííîé 4ñêîðîñòüþ. Èíûìè ñëîâàìè âäîëü ïðÿìîé ëèíèè âÏ (ñ óãëîì íàêëîíà ê îñè6.Äåéñòâèå äëÿNctìåíüøèì 45 ãðàäóñîâ).âçàèìîäåéñòâóþùèõ ìåæäó ñîáîé ÷àñòèö ìîæåò èìåòü, íàïðèìåð,òàêîé âèä:S=−ãäåż 2 (t) ≡ ż µ (t)żµ (t)èNXq=1mq cZV [zq − zq′ ]NqX2dt żq (t) +q=1NXq ′ =1,q ′ 6=qZdt V [zq − zq′ ] ,ýíåðãèÿ âçàèìîäåéñòâèÿ ìåæäóíåðåëÿòèâèñòñêîì ñëó÷àå ïðèìåðîìVq -éèq ′ -é÷àñòèöàìè.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
