Лекции по СТО и классической термодинамике (1183864), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Èç îðìóëû äëÿ áóñòà Ëîðåíöà ìû çíàåì êàê x′ è t′x′1 ≡ 0 = (x1 − β c t) γx′2 ≡ l0 = (x2 − β c t) γβ x1′t1 = t −γcβ x2′γ.t2 = t −c10Çäåñüβ = v/c ñêîðîñòü ïîåçäà â åäèíèöàõ ñêîðîñòè ñâåòà, àíàçûâàåìûé ðåëÿòèâèñòñêèéγ àêòîð.pγ = 1/ 1 − v 2 /c2 òàêÈç ðàññìàòðèâàåìûõ óðàâíåíèé ñëåäóåò, ÷òîγβlγβ(x2 − x1 ) ≡> 0.cct′2 − t′1 =Ò.å. åñëè ñìîòðèòåëü âèäèò, ÷òî â åãî ÈÑÎ êîíöû ñòåæíÿ íàõîäÿòñÿ â òî÷êàõx1èîäíîâðåìåííî, òî ñ òî÷êè çðåíèÿ ïàññàæèðà ïîïàäàíèå çàäíåãî êîíöà ñòåðæíÿ â òî÷êóà ïåðåäíåãî â òî÷êóx2x2x1 ,â ÈÑÎ ñìîòðèòåëÿ íå åñòü îäíîâðåìåííûå ñîáûòèÿ. Íî ïðè ýòîìèíòåðâàëû â äâóõ ÈÑÎ äîëæíû áûòü ðàâíû:ds2 = c2 (t − t)2 − (x2 − x1 )2 = −(x2 − x1 )2 ≡ −l2ds2 = c2 (t′2 − t′1 )2 − (x′2 − x′1 )2 = l2 γ 2 β 2 − l02 .l2 = −l2 γ 2 β 2 + l02 è, ò.ê.
γ 2 − β 2 γ 2 ≡ cosh2 α − sinh2 α ≡ 1/(1 − v 2 /c2 ) − v 2 /c2 /(1 −v /c ) = 1, òî l0 = l γ . Ñëåäîâàòåëüíî l0 ≥ l, ò.ê. γ ≥ 1. Ïîñëåäíåå ÿâëåíèå â ÑÒÎÏîýòîìó2 2íàçûâàåòñÿ Ëîðåíöåâûì ñîêðàùåíèåì äëèí.Êàê âû, íàäåþñü, âèäèòå èç ïðèâåäåííûõ çäåñü ðàññóæäåíèé, áóñò Ëîðåíöà åñòü àíàëîã1ïîâîðîòà â ïðîñòðàíñòâå òî÷íåå ãèïåðáîëè÷åñêèé ïîâîðîò , ò.ê.ñîâñåì òîæå ñàìîå, ÷òîcosèsin.coshèsinh ýòî íåÏîýòîìó ïîñëå Ëîðåíöåâñêîãî áóñòà ìîãóò ìåíÿòüñÿâåëè÷èíû ïðèðàùåíèé âðåìåíè è ïðîñòðàíñòâåííûå ðàçìåðû (ïðîåêöèè èíòåðâàëà íà îñèêîîðäèíàò), íî ðàçíîñòü èõ êâàäðàòîâ êâàäðàò äëèíû èíòåðâàëà îñòàåòñÿ íåèçìåííîé.8. Íàéäåì òåïåðüðîñòüþçàêîí ñëîæåíèÿ ñêîðîñòåé.
Ïóñòü ïîåçä äâèæåòñÿ ñ ïîñòîÿííîé ñêî-v , à ïàññàæèð êèäàåò êàìåíü òîæå ñ ïîñòîÿííîé ñêîðîñòüþ âäîëü äâèæåíèÿ ïîåçäà,u. Êàêîâà ñêîðîñòü äâèæåíèÿ êàìíÿ â ÈÑÎ ñìîòðèòåëÿ?êîòîðàÿ â ÈÑÎ ïàññàæèðà ðàâíàÑäåëàåì äâà áóñòà Ëîðåíöà ïîäðÿä ñíà÷àëà äëÿ ïåðåõîäà èç ÈÑÎ ñìîòðèòåëÿ âÈÑÎ ïàññàæèðà, à çàòåì èç ÈÑÎ ïàññàæèðà â ÈÑÎ êàìíÿ. Ò.å. ìû äîëæíû ïðèìåíèòüêîìïîçèöèþ äâóõ Ëîðåíöåâñêèõ áóñòîâ ñ ïàðàìåòðàìè:èqcosh α2 = 1/ 1 −c t1x1=u2,c2tanh α2 = u/c:cosh α1 sinh α1sinh α1 cosh α1ctxqcosh α1 = 1/ 1 −v2,c2tanh α1 = v/c c t2cosh α2 sinh α2c t1,=x2sinh α2 cosh α2x1(5) ðåçóëüòàòå ìû ïîëó÷èì îïÿòü áóñò Ëîðåíöà äëÿ ïåðåõîäà èç ÈÑÎ ñìîòðèòåëÿ ïðÿìî âÈÑÎ êàìíÿ, à ïàðàìåòð åãî áóäåò ðàâåíα = α1 + α2 .Ò.å.
ñêîðîñòü êàìíÿ ïî îòíîøåíèþ ê ÈÑÎ ñìîòðèòåëÿ ðàâíàtanh α1 + tanh α2v/c + u/cV= tanh(α1 + α2 ) ==.c1 + tanh α1 tanh α21 + vc2uÇàìåòèì, ÷òî ïàðàìåòð áóñòà Ëîðåíöà ât, x÷àñòè Ï î÷åíü ïîõîæ íà óãîë ïîâîðîòà ïðè2ìåðíûõ âðàùåíèÿõ, âåäü åñëè ìû ïîñëåäîâàòåëüíî ïðèìåíèì äâà 2-ìåðíûõ ïîâîðîòà ñ1 Êîíåöâåêòîðà ñ êîîðäèíàòàìè (cos ϕ, sin ϕ) îïèñûâàåò îêðóæíîñòü ïðè èçìåíåíèè ϕ, òàê êàê cos2 ϕ +sin ϕ = 1. Ïðè ýòîì êîíåö âåêòîðà (cosh α, sinh α) îïèñûâàåò ãèïåðáîëó ïðè èçìåíåíèè α, òàê êàê cosh2 α−sinh2 α = 1. Ýòîò àêò è îïðåäåëÿåò íàçâàíèå îáñóæäàåìîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ.211óãëàìèϕ1èϕ2îäèí çà äðóãèì, òî ïîëó÷èì îïÿòü 2-ìåðíûé ïîâîðîò íà óãîëϕ = ϕ1 + ϕ2 .Ò.å.
äåéñòâèòåëüíî áóñò Ëîðåíöà ïðàâîìåðíî íàçûâàòü (ãèïåðáîëè÷åñêèì) ïîâîðîòîì.~uÌû ðàññìîòðåëè ñëó÷àé, êîãäàè~vïàðàëëåëüíû. Íàéäåì òåïåðü ñêîðîñòü êàìíÿ â~u íå îáÿçàòåëüíî ïàðàëëåëü~v (ìû çàáûâàåì â íàøåì ìûñëåííîì ýêñïåðèìåíòå î íàëè÷èè ñèëû òÿæåñòè). àçîáüåìâñå âåêòîðû íà äâå ñîñòàâëÿþùèå âäîëü ñêîðîñòè ïîåçäà ~v è ïåðïåíäèêóëÿðíóþ åé, ò.å.,íàïðèìåð, ~x íà ~x|| = (~v|~v,~x| ) |~~vv| è ~x⊥ = ~x − ~x|| . Òîãäà ïðè áóñòå Ëîðåíöà èç ÈÑÎ ñìîòðèòåëÿ â ÈÑÎ ïàññàæèðà ïåðïåíäèêóëÿðíàÿ êîìïîíåíòà ~x íå ïðåîáðàçóåòñÿ d~x⊥ = d~x′⊥ ,ÈÑÎ ñìîòðèòåëÿ, åñëè îí äâèæåòñÿ ñ ïîñòîÿííîé ñêîðîñòüþíîéïðîäîëüíàÿ æå êîìïîíåíòà ïðåîáðàçóåòñÿ â ñîîòâåòñòâèè ñ:d~x|| = qdt = qd~x′|| + ~v dt′ ,11−11−v2c2v2c2dt′ +(~v d~x′|| )c2!,ãäå øòðèõîâàííûå âåëè÷èíû îòíîñÿòñÿ ê ÈÑÎ ïàññàæèðà, à íå øòðèõîâàííûå ê ÈÑÎñìîòðèòåëÿ.
Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî:r~ud~xv2⊥⊥=,V~⊥ ≡1−dtc21 + (~uc,~2v)d~x||~u|| + ~v.V~|| ≡=dt1 + (~uc,~2v)(6)Òåïåðü, åñëè âìåñòî áðîñàíèÿ êàìíÿ, ïàññàæèð áóäåò ñâåòèòü îíàðåì â ïðîèçâîëüíîìíàïðàâëåíèè, ò.å. èñïóñêàåìûé ïàññàæèðîì îáúåêò áóäåò äâèãàòüñÿ ñî ñêîðîñòüþ ñâåòà,ò.÷. |~u||| = c cos θ′ , ãäå θ′ óãîë ìåæäó íàïðàâëåíèåì äâèæåíèÿ ïîåçäà è íàïðàâëåíèåìëó÷à ñâåòà â ÈÑÎ ïàññàæèðà. Òîãäà, â ñîîòâåòñòâèè ñ (6), óãîëíàïðàâëåíèåì äâèæåíèÿ ïîåçäà è ëó÷à ñâåòà,cos θ =|V~|| | = c cos θ,cos θ′ + vc,1 + vc cos θ′θ â ÈÑÎ ñìîòðèòåëÿ ìåæäóîïðåäåëÿåòñÿ ïî îðìóëå:v ≡ |~v|.(7)ßâëåíèå èçìåíåíèÿ íàïðàâëåíèÿ ðàñïîñòðàíåíèÿ ëó÷à ñâåòà ïðè ïåðåõîäå èç îäíîé ÈÑÎâ äðóãóþ íàçûâàåòñÿ àáåððàöèåé.9.Ò.ê.
âðåìÿ îòíîñèòåëüíî, òî äëÿ äàëüíåéøèõ íàøèõ öåëåé óäîáíî ââåñòè èíâàðè-àíòíóþ õàðàêòåðèñòèêó, èìåþùóþ ñìûñë âðåìåíè òàê íàçûâàåìîå ñîáñòâåííîå âðåìÿ.àññìîòðèì ÷àñû, êîòîðûå äâèãàþòñÿ ïðîèçâîëüíûì, íå îáÿçàòåëüíî èíåðöèàëüíûì, îáðàçîì. Ñîáñòâåííûì âðåìåíåì â, âîîáùå ãîâîðÿ, íåèíåðöèàëüíîé ÑÎ, âñåãäà ñîïóòñòâóþùåé÷àñàì, íàçûâàåòñÿ âðåìÿ, êîòîðîå ïîêàçûâàþò ýòè ÷àñû. Î÷åâèäíî, ÷òî ñêîëüêî íàòèêàþò÷àñû, äâèãàþùèåñÿ äàííûì ïðîèçâîëüíûì îáðàçîì, íå çàâèñèò îò òîãî èç êàêîé ÑÎ ìûñìîòðèì íà ýòè ÷àñû. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ìû íàáëþäàåì çà íèìè èç ïðîèçâîëüíîé ÈÑÎ. êàæäûé îòäåëüíûé ìîìåíò âðåìåíè äâèæåíèå ÷àñîâ ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê ðàâíîìåðíîå è ïðÿìîëèíåéíîå.
Ïîýòîìó â êàæäûé ìîìåíò âðåìåíè ìîæíî ââåñòè íåïîäâèæíîñâÿçàííóþ ñ äâèæóùèìèñÿ ÷àñàìè, ò.å. ìãíîâåííî ñîïóòñòâóþùóþ, ÈÑÎ.12tx2x2èñ. 5:tx2x2èñ. 6: òå÷åíèè ìàëîãî ïðèðàùåíèÿ âðåìåíè dt ïî ëàáîðàòîðíûì ÷àñàì äâèæóùèåñÿ ÷àñûp√ïðîõîäÿò ðàññòîÿíèådx2 + dy 2 + dz 2 = d~x2 â ëàáîðàòîðíîé æå ÈÑÎ. Íàñ èíòåðåñóåòêàêîé ïðîìåæóòîê âðåìåíèdτïîêàæóò ñàìè äâèæóùèåñÿ ÷àñû.  ìãíîâåííî ñîïóòñòâóþ-ùåé ÈÑÎ ÷àñû ïîêîÿòñÿ, ïîýòîìó ïðîéäåííîå èìè ðàññòîÿíèå â ýòîé ÈÑÎ ðàâíî, î÷åâèäíî,dx′ = dy ′ = dz ′ = 0.  ñèëó èíâàðèàíòíîñòè èíòåðâàëà, èìååì:c2 dτ 2 = ds2 = c2 dt2 − d~x2 .Ïîýòîìódτ = dtãäås1−~x˙ 2 (t),c2(8)~x˙ (t) ñêîðîñòü ÷àñîâ â ìîìåíò âðåìåíè t â íàøåé ÈÑÎ. Àíàëîãè÷íûì îáðàçîì ìîæíîââåñòè ñîáñòâåííóþ äëèíó.10.×òîáû ïîäèòîæèòü âñå âûøå ñêàçàííîå, ïîÿñíèì, â ÷åì çàêëþ÷àþòñÿ ïîíÿòèÿïðîñòðàíñòâàâðåìåíè, êîîðäèíàòíîé ñåòêè è ñèñòåìû îòñ÷åòà.
 ìåõàíèêå Íüþòîíà óíàñ áûë ñïîñîá èçìåðåíèÿ ðàññòîÿíèÿ (ìåòðèêà) â ïðîñòðàíñòâå. À èìåííî, ïî òåîðåìåÏèàãîðà ìû ìîãëè ïîñ÷èòàòü ðàññòîÿíèå ìåæäó ëþáûìè äâóìÿ áëèçêèìè òî÷êàìè âïðîñòðàíñòâå, íàïðèìåð, ~x=√pdl = d~x2 = dx21 + dx22ìóëå(x1 , x2 , x3 )+ dx23 .è~x + d~x = (x1 + dx1 , x2 + dx2 , x3 + dx3 ),13ïî îð-Ñ èñïîëüçîâàíèåì ìåòðèêè ìû ìîãëèêîëè÷åñòâåííîîïèñàòü õàðàêòåðèñòèêè òðàåê-òîðèè: ïðîéäåííûé ïóòü, åå äëèíó, à òàêæå êðèâèçíó â ðàçëè÷íûõ òî÷êàõ. Íàïðèìåð, íåγ12òðóäíî ïîíÿòü, ÷òî äëèíà òðàåêòîðèèdlâäîëü òàêîé òðàåêòîðèè:ëîìàííîé.
Òîãäà äëèíà,Pl =∆li , i-ãîRγ12dl.ìåæäó äâóìÿ òî÷êàìè 1 è 2 ýòî èíòåãðàëÄåéñòâèòåëüíî, ïðèáëèçèì ãëàäêóþ òðàåêòîðèþñåãìåíòà ëîìàííîé áóäåò ðàâíàp∆~x2i ,à ïîëíàÿ äëèíàl = i ∆li .  ïðåäåëå êîãäà ÷èñëî ñåãìåíòîâ ëîìàííîé ñòðåìèòüñÿ ê áåñêîíå÷íîñòè, à äëèíà êàæäîãî ñåãìåíòà, ñîîòâåòñòâåííî, ê íóëþ, ëîìàííàÿ âñå ëó÷øå è ëó÷øåëîìàííîé ïðèáëèæàåò ãëàòêóþ òðàåêòîðèþ, à ñóììà â ïîñëåäíåé îðìóëå ïåðåõîäèò â èíòåãðàë.Ïîìèìî ýòîãî â ìåõàíèêå Íüþòîíà ó íàñ áûë íåçàâèñèìûé ñïîñîá èçìåðåíèÿ âðåìåíè,à èìåííî∆t = t2 − t1 .Íà ðèñ. (5) èçîáðàæåíû òðàåêòîðèè è ïîâåäåíèå ïîêîÿùåéñÿ èäâèæóùåéñÿ ÷àñòèö â ïðîìåæóòêå âðåìåíè ìåæäó t1 è t2 .  ìåõàíèêå Íüþòîíà îáå ÷àñòèöû ñòàðåþò îäèíàêîâî íà∆t. ëþáîì ñëó÷àå âñå ýòî ïîçâîëÿëî íàìêîëè÷åñòâåííîîïèñûâàòü äâèæåíèå, à ïîòîìó çàïèñûâàòü çàêîíû äâèæåíèÿ â âèäå îðìóë.Îäíàêî ñîâîêóïíîñòü îïûòíûõ äàííûõ ïîêàçûâàåò, ÷òî íåò íåçàâèñèìîãî ñïîñîáà èçìåðÿòü ðàññòîÿíèÿ â ïðîñòðàíñòâå è âî âðåìåíè, à åñòü åäèíûé ñïîñîá èçìåðåíèÿ ðàññòîíèéâ ïðîñòðàíñòâåâðåìåíè (ñì.
ðèñ. (6)). À èìåííî, ðàññòîÿíèå ìåæäó äâóìÿ ïðîèçâîëüíûìèñîáûòèÿìè (ìèðîâûìè òî÷êàìè), íàïðèìåð, (t, x1 , x2 , x3 ) è (t+dt, x1 +dx1 , x2 +dx2 , x3 +dx3 )√√âû÷èñëÿåòñÿ ïî îðìóëå ds =c2 dt2 − dl2 = c2 dt2 − d~x2 .Âî-ïåðâûõ, ïîìèìî âñåãî ïðî÷åãî ýòî îçíà÷àåò, ÷òî â ïðîñòðàíñòâåâðåìåíè åñòü òî÷-êè, ðàññòîÿíèÿ ìåæäó êîòîðûìè ìîãóò áûòü íóëåâûìè èëè äàæå ìíèìûìè. Ýòî ëèøüîçíà÷àåò, ÷òî çäåñü ìû èìååì äåëî ñ íîâîé ãåîìåòðèåé ãåîìåòðèåé Ìèíêîâñêîãî, à íåÅâêëèäà. Âî-âòîðûõ, çàìåòèì, ÷òî òàêîé ñïîñîá èçìåðåíèÿ ðàññòîÿíèé äàåò ñóùåñòâåííî222îòëè÷íûé îòâåò îò íüþòîíîâñêîïèàãîðîâñêîãî, òîëüêî êîãäà dl ñðàâíèìî ñ c dt .
Òîåñòü êîãäà ñìåùåíèÿ â ïðîñòðàíñòâå ñðàâíèìû ñî ñìåùåíèÿìè âî âðåìåíè ïîìíîæåííûìèíà ñêîðîñòü ñâåòà. Èëè, èíûìè ñëîâàìè, êîãäà ñêîðîñòè äâèæåíèÿ ñðàâíèìû ñî ñêîðîñòüþ ñâåòà.  òðåòüèõ, òåïåðü íàì íàäî âû÷èñëÿòü êîëè÷åñòâåííûå õàðàêòåðèñòèêè íåòðàåêòîðèé, à ìèðîâûõ ëèíèé. Äëèíà ìèðîâîé ëèíèèîïðåäåëÿåòñÿ êàê èíòåãðàëdsâäîëü íåå:L=Rds.Γ12Γ12ìåæäó äâóìÿ ñîáûòèÿìè 1 è 2Ìû îáñóäèì ïîäðîáíî ýòó îðìóëóâ òðåòüåé ëåêöèè, à ñåé÷àñ çàìåòèì, ÷òî ýòà äëèíà åñòü íè ÷òî èíîå êàê ñîáñòâåííîå âðåìÿ, êîòîðîå "íàòèêàëî"íà ÷àñàõ íàáëþäàòåëÿ, äâèãàþùåãîñÿ âäîëü ýòîé ìèðîâîé ëèíèè,L=cRdτ .Γ12Òàêèì îáðàçîì, ïîëó÷àåòñÿ, ÷òî â ñîîòâåòñòâèè ñî ñïåöèàëüíîé òåîðèåé îòíîñèòåëüíî-ïîìíîæåííîå íà ñêîðîñòü ñâåòà:ñòè òåïåðü ïîêîÿùàÿñÿ è äâèãàþùàÿñÿ ÷àñòèöû íà ðèñ. (6) "ñîñòàðèëèñü"ïîðàçíîìó, òàêêàê äëèíû èõ ìèðîâûõ ëèíèé, âîîáùå ãîâîðÿ, îòëè÷àþòñÿ âîçìîæíî îòëè÷àþòñÿ ñîâñåì íåçíà÷èòåëüíî, ïðè íåáîëüøèõ ñêîðîñòÿõ, íî âñå òàêè íèêîãäà íå ðàâíû äðóã äðóãó.Ïðè ýòîì òî íàñêîëüêî îíè ñîñòàðèëèñü íå çàâèñèò îò ñèñòåìû îòñ÷åòà.
Òàê êàê ðàçíûåñèñòåìû îòñ÷åòà îòâå÷àþò ðàçíûì êîîðäèíàòíûì ñåòêàì â îäíîì è òîì æå ïðîñòðàíñòâå(t, ~x) è (t′ , ~x′ ) â îáîçíà÷åíèÿõ ýòîé ëåêöèè),âðåìåíè, èçîáðàæåííîì íà ðèñ. (6) (íàïðèìåð,à äëèíà òîé èëè èíîé êðèâîé íå ìîæåò çàâèñåòü îò âûáîðà êîîðäèíàòíîé ñåòêè.Âîïðîñû è çàäà÷è•×òîáû îñîçíàòü íàñêîëüêî ãëóáîêî âû ïîíèìàåòå ïðîèñõîæäåíèå çàêîíîâ Íüþòîíà,ïîïðîáóéòå îòâåòèòü íà ñëåäóþùèå äâà âîïðîñà:à) Ïðèâåäèòå ïðèìåð ýêñïåðèìåíòà, â êîòîðîì íåçàâèñèìî áû èçìåðÿëîñü óñêîðåíèå14òåëà, åãî ìàññà è ñèëà äåéñòâóþùàÿ íà íåãî.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
