Лекции по СТО и классической термодинамике (1183864), страница 10
Текст из файла (страница 10)
À òàêæå ýòî óðàâíåíèå è ÿâíî êàëèáðîâî÷íî èíâàðèàíòíî: êàê ìû ñåé÷àñ óâèäèì, òåíçîðFµνèíâàðèàíòåí îòíîñèòåëüíî êàëèáðîâî÷íûõïðåîáðàçîâàíèé.5. Ââåäåííûé íàìè àíòèñèììåòðè÷íûéFµν = −Fνµïðè ïåðåñòàíîâêå èíäåêñîâ 4ìåðíûé 2-òåíçîðíàçûâàåòñÿ òåíçîðîì ÝÌ ïîëÿ. Çàìåòèì, ÷òî ýòîò òåíçîð íå ìåíÿåòñÿ ïðèA′µ = Aµ − ∂µ α. Äåéñòâèòåëüíî:êàëèáðîâî÷íîì ïðåîáðàçîâàíèè′Fµν≡ ∂µ A′ν − ∂ν A′µ = ∂µ (Aν − ∂ν α) − ∂ν (Aµ − ∂µ α) == ∂µ Aν − ∂ν Aµ − (∂µ ∂ν − ∂ν ∂µ ) α = ∂µ Aν − ∂ν Aµ ≡ Fµν .Ïîýòîìó åñòåñòâåííî îæèäàòü, ÷òî êîìïîíåíòû ýòîãî òåíçîðà äîëæíû âûðàæàòüñÿ ÷åðåçÝÌ ïîëÿ~Eè~.BÄåéñòâèòåëüíî, â ñèëó àíòèñèììåòðèè òåíçîðà ÝÌ ïîëÿ èìååì, ÷òî åãîäèàãîíàëüíûå êîìïîíåíòû ðàâíû íóëþ:ò.ê.F00 = −F00è ò.ä.. Äàëåå,F00 = F11 = F22 = F33 = 0,~ , òîò.ê.
Aµ = (ϕ, −A)F0i = −Fi0 = −∂0 Ai − ∂i A0 = −ãäåEi òðè êîìïîíåíòû âåêòîðà~.E∂Ai− ∂i ϕ = Ei ,c∂ti = 1, 2, 3,È íàêîíåö:F12 = −F21 = −∂1 A2 + ∂2 A1 = −∂Ay ∂Ax+= − (rot A)3 = −B3 .∂x∂yF13 = −F31 = B2 è F23 = −F32 = −B1 . Èñïîëüçóÿ 3àíòèñèììåòðè÷íûé òåíçîð ǫijk , êîòîðûé ìû ââåëè íà âòîðîé ëåêöèè,Àíàëîãè÷íî ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òîìåðíûé àáñîëþòíîïîñëåäíèå òðè ðàâåíñòâà ìîæíî ïåðåïèñàòü â óäîáíîé îðìå:1Fij = −ǫijk Bk ⇒ Bk = − ǫkij Fij .2Òàêèì îáðàçîì, òåíçîð ÝÌ ïîëÿ ìîæíî çàïèñàòü â âèäå êâàäðàòíîé0 −E1 −E2 −E3 E10−B3 B2 ||F µν || = E2 B30−B1 E3 −B2 B10434×4ìàòðèöû âèäà:(46)6.
àçîáðàâ êîìïîíåíòû òåíçîðà ÝÌ ïîëÿ, çàïèøåì ïîêîìïîíåíòíî óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ ðåëÿòèâèñòñêîé ÷àñòèöû âî âíåøíåì ïîëå. Íóëåâàÿ êîìïîíåíòà óðàâíåíèÿ (45) èìååòâèä:mcedzidu0= F 0i.dtcdt×òîáû ïîëó÷èòü ýòî óðàâíåíèå, ìû ïîäíÿëè èíäåêñû â óðàâíåíèè (45), âñïîìíèëè, ÷òîF 00 = 0 è óìíîæèëè ëåâóþ è ïðàâóþ ÷àñòè óðàâíåíèÿ (45) íà ds/dt, òåì ñàìûì çàìåíèâduµ /ds íà duµ /dt, à uν = dzν /ds íà dzν /dt. Òåïåðü, ò.ê. m c u0 = p0 = Ekin /c êèíåòè÷åñêàÿ0iýíåðãèÿ ÷àñòèöû äåëåííàÿ íà ñêîðîñòü ñâåòà, F= −Ei è dzi /dt = −vi , ìû ïîëó÷àåìóðàâíåíèå:dEkin~ ~v ,= e E,dt(47)êîòîðîå óòâåðæäàåò, ÷òî êèíåòè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ ÷àñòèöû ðàñòåò çà ñ÷åò ðàáîòû, ñîâåðøàåìîé ýëåêòðè÷åñêèì ïîëåì~.EÏðîñòðàíñòâåííûå êîìïîíåíòû ðàññìàòðèâàåìîãî 4ìåðíîãî óðàâíåíèÿ èìåþò âèä:edzνedui= F iν≡mcdtcdtci0 dz0ij dzjF.+Fdtdtm c ui = pi , dz0 /dt = c è âûðàæàÿ êîìïîíåíòûÝÌ ïîëåé Bi è Ei , ïîëó÷àåì óðàâíåíèå:Âñïîìèíàÿ, ÷òîêîìïîíåíòûòåíçîðàF 0ièF ij÷åðåçdpie= e Ei + ǫijk vj Bk ,dtcêîòîðîå â âåêòîðíîé îðìå èìååò âèä:id~pe h~~~v × B= eE +dtc(48)è óòâåðæäàåò, ÷òî 3ìåðíûé èìïóëüñ ÷àñòèöû ìåíÿåòñÿ ïîä äåéñòâèåì ñèëû Ëîðåíöà.Ïîä÷åðêíó, ÷òî ìàãíèòíîå ïîëå ïðèñóòñòâóåò â ñèëå Ëîðåíöà, íî íå ñîâåðøàåò ðàáîòó ïîóâåëè÷åíèþ ýíåðãèè ÷àñòèöû, ò.ê.
ñîçäàåò ñèëó ïåðïåíäèêóëÿðíóþ ñêîðîñòè ÷àñòèöû.7.Íàéäåì òåïåðü èìïóëüñ, ñëåäóþùèé èç Ëàãðàíæèàíà äëÿ ðåëÿòèâèñòñêîé ÷àñòèöûâî âíåøíåì ÝÌ ïîëå:Pµ ≡ −edzµdzµ eee∂L√+=mcA=mc+A=mcu+A=p+Aµ .µµµµµ∂ ż µdscccdt ż 2 c(49)Ïîëó÷åííàÿ âåëè÷èíà íàçûâàåòñÿ îáîáùåííûì 4èìïóëüñîì â îòëè÷èè îò êèíåìàòè÷åñêîãî4èìïóëüñà pµ ≡ m c u µ .àññìîòðèì êîìïîíåíòû îáîáùåííîãî 4èìïóëüñà:e ~P~ = ~p + Ac îáîáùåííûé 3ìåðíûé èìïóëüñ.
Äàëåå:44P0 = qmc1−v2c2+eϕ.cÒ.å. ïîëíàÿ ýíåðãèÿ ðåëÿòèâèñòñêîé ÷àñòèöû âî âíåøíåì ïîëå åñëü ñóììà êèíåòè÷åñêîéè ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèé:Èíûìè ñëîâàìèH = Ekin + e ϕ.ϕèãðàåò ðîëü ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèè ÷àñòèöû â ÝÌ ïîëå.~ è H − e ϕ óäîâëåòâîðÿþò ñîîòíîøåíèþ:Èç îïðåäåëåíèÿ p~ è Ekin ñëåäóåò, ÷òî P~ − ec AH − eϕc2e ~ 2~=m c + P− A .c2 2Ñëåäîâàòåëüíî óíêöèÿ àìèëüòîíà (èëè àìèëüòîíèàí) äëÿ ðåëÿòèâèñòñêîé ÷àñòèöûðàâíà:H=re ~ 2+ eϕm2 c4 + c2 P~ − Ac íåðåëÿòèâèñòñêîì ïðåäåëå, êîãäàñâîäÿòñÿ ê:v ≪ c,H ≈ m c2 +(50)àìèëüòîíèàí è Ëàãðàíæèàí äëÿ ÷àñòèöû2e ~~P −cA+ e ϕ,2mm v2 e ~ A, ~v − e ϕ.+L≈2cÏîñëåäíåå âûðàæåíèå ïîëó÷åíî èç (44), ãäå(51)~v = ~z˙ .Äàëåå, ò.ê.
ýíåðãèÿ îïðåäåëåíà ñ òî÷2íîñòüþ äî êîíñòàíòû, òî â ïåðâîé îðìóëå ìîæíî îòáðîñèòü ýíåðãèþ ïîêîÿ m c .8. êà÷åñòâå ïîÿñíÿþùåãî óïðàæíåíèÿ/çàìå÷àíèÿ îáñóäèì âçàèìîäåéñòâèå ÷àñòèöûñî ñêàëÿðíûì ïîëåìφ.Ïðîñòåéøåå äåéñòâèå, êîòîðîå èíâàðèàíòíî îòíîñèòåëüíî ïðåîá-ðàçîâàíèé Ëîðåíöà è ðåïàðàìåòðèçàöèé è, ïðè ýòîì, îïèñûâàåò âçàèìîäåéñòâèè ÷àñòèöûñ âíåøíèì ñêàëÿðíûì ïîëåì, èìååò ñëåäóþùèé âèä:S=−ãäåZ12nomc + q φ [z(s)] ds,(52)q êîíñòàíòà, îïðåäåëÿþùàÿ ñèëó âçàèìîäåéñòâèÿ ÷àñòèöû ñ îáñóæäàåìûì ïîëåì, òîåñòü çàðÿä ÷àñòèöû ïî ïîëþ.
Ôàêòè÷åñêè íàëè÷èå âçàèìîäåéñòâèÿ ÷àñòèöû ñî ñêàëÿðíûìïîëåì ïðèâîäèò ê òîìó, ÷òî ýåêòèâíî åå ìàññà ñòàíîâèòñÿ çàâèñÿùåé îò ïîëîæåíèÿ:M = m + qc φ(x).Ïðè âàðèàöèè ýòîãî äåéñòâèÿ ïîëó÷àþòñÿ ñëåäóþùèå óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ:(mc + q φ) z̈µ = q (∂µ φ − ∂ν φ ż ν żµ )45(53)Çäåñü òî÷êà íàäzµîçíà÷àåò äèåðåíöèðîâàíèå ïî ñîáñòâåííîìó âðåìåíè.Âèäíî, ÷òî ìåðó èíåðöèè ñ ëåâîé ñòîðîíû ýòîãî óðàâíåíèÿ îïðåäåëÿåò âåëè÷èíàM.Ñïðàâîé ñòîðîíû óðàâíåíèÿ ìû èìååì äâà âêëàäà â 4-ñèëó.
Ïåðâûé âêëàä ïîêàçûâàåò, ÷òîïîëîæèòåëüíûé 4-ãðàäèåò ïîëÿ ðàçãîíÿåò, à îòðèöàòåëüíûé çàìåäëÿåò ðàññìàòðèâàåìóþ ÷àñòèöó. Âòîðîé âêëàä ìîæíî íàçâàòü "ñèëîé Öèîëêîâñêîãî". Äåéñòâèòåëüíî èççàòîãî, ÷òî ìàññà ÷àñòèöû ìåíÿåòñÿ (ìîæåò óìåíüøàòüñÿ èëè óâåëè÷èâàòüñÿ â çàâèñèìîñòèîò çíàêà ãðàäèåíòà ïîëÿ âäîëü 4-ñêîðîñòè), ìû ïîëó÷àåì "ðåàêòèâíûé"âêëàä â ñèëó.µÂîñïîëüçîâàâøèòü òåì, ÷òî żµ = uµ è uµ u = 1, ìû ìîæåì ïåðåïèñàòü îáñóæäàåìîåóðàâíåíèå äâèæåíèå ÷àñòèöû â ñëåäóþùåì âèäå:(mc + q φ) wµ = q (uν ∂µ φ − ∂ν φ uµ ) uν(54)Òî åñòü è äëÿ ñêàëÿðíîãî ïîëÿ ìîæíî ââåñòè íå÷òî àíàëîãè÷íîå òåíçîðó ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ:Φµν ≡ uν ∂µ φ − ∂ν φ uµ .Òîëüêî â ýòîì ñëó÷àå îí çàâèñèò îò 4-ñêîðîñòè ÷àñòèöû.Âîïðîñû è çàäà÷è•Ïîäóìàéòå êàêîé âèä äîëæíî èìåòü äåéñòâèå äëÿ ðåëÿòèâèñòñêîé ÷àñòèöû, îïèñûâàþùåå åå âçàèìîäåéñòâèå ñî ñêàëÿðíûì ïîëåìφ(t, ~x), à íå ñ âåêòîðíûì ïîëåì Aµ (t, ~x)?Ïðåäëîæèòå äðóãèå, ìåíåå ïðîñòûå, âàðèàíòû äåéñòâèé, êîòîðûå èíâàðèàíòíû îòíîñèòåëüíî ïðåîáðàçîâàíèé Ëîðåíöà è ðåïàðàìåòðèçàöèé.•Ïîëó÷èòå óðàâíåíèå (53) èç äåéñòâèÿ (52).•Íàéäèòå íåðåëÿòèâèñòñêèé ïðåäåë óðàâíåíèé (52) è (53).46Èíâàðèàíòû ïîëÿ, äâèæåíèå ÷àñòèöû âî âíåøíèõïîñòîÿííûõ, îäíîðîäíûõ è íåîäíîðîäíûõ ïîëÿõ, äðåé ÷àñòèö.Ëåêöèÿ V;~1.
Íàéäåì, êàê èçìåíÿþòñÿ ÝÌ ïîëÿ Eè~Bïðè áóñòàõ Ëîðåíöà. Íåñìîòðÿ íà òî, ÷òî ýòèâåëè÷èíû ïðåîáðàçóþòñÿ êàê 3âåêòîðû ïðè âðàùåíèÿõ â ïðîñòðàíñòâå, ïðè Ëîðåíöåâñêèõ áóñòàõ â Ï îíè íå ïðåîáðàçóþòñÿ êàê 3ìåðíûå êîìïîíåíòû êàêèõòî 4âåêòîðîâ.Íàïîìíþ, ÷òî~E~Bèÿâëÿþòñÿ êîìïîíåíòàìè 4ìåðíîãî 2òåíçîðàFµν .Ýòî è îïðåäåëÿåòòî, êàê ýòè ïîëÿ ïðåîáðàçóþòñÿ ïðè Ëîðåíöåâñêèõ áóñòàõ. À èìåííî:′Fµν= Λαµ Fαβ ΛTβν,Λ̂ ìàòðèöà áóñòà Ëîðåíöà, êîòîðàÿ íàì çíàêîìà èç ïðåäûäóùèõ ëåêöèé.
Ïîäñòàâëÿÿµÿâíî â ïîñëåäíåå óðàâíåíèå êîìïîíåíòû òåíçîðîâ Fµν è Λα , ïîëó÷àåì ñëåäóþùèé çàêîíïðåîáðàçîâàíèÿ ïîëåé ïðè áóñòå Ëîðåíöà (â ïîëîæèòåëüíîì íàïðàâëåíèè îñè x):ãäåEx′ = Ex ,Ey′ = γ (Ey − β Bz ) ,Ez′ = γ (Ez + β By ) ,Bx′ = Bx ,By′ = γ (By + β Ez ) ,Bz′ = γ (Bz − β Ey ) .ηµν , δµνÂèäíî, ÷òî â îòëè÷èå îò òåíçîðîâïðåîáðàçîâàíèé Ëîðåíöà.Íàïîìíþ, ÷òî ÝÌ ïîòåíöèàëû~ .A = (ϕ, A)èǫµναβòåíçîð(55)Fµνíå èíâàðèàíòåí îòíîñèòåëüíî~ ïðåîáðàçóþòñÿ, èìåííî êàê êîìïîíåíòû 4âåêòîðàϕèAµ2. Ïîñòðîèì èç òåíçîðà Fµνíûé èíâàðèàíòFµµËîðåíöåâñêèå èíâàðèàíòû ÝÌ ïîëÿ.
Ïðîñòåéøèé î÷åâèä-òðèâèàëåí, ò.ê. ðàâåí íóëþ.Ïðîâåðüòå ýòî.Ñëåäóþùèé èíâàðèàíòèìååò òàêîé âèä:I1 = Fµν F µν ≡ Fµν Fαβ η µα η νβ .Î÷åâèäíî ýòà âåëè÷èíà íå çàâèñèò îò ÑÎ (ò.å. èíâàðèàíòíà), ò.ê. âñå èíäåêñû ó íåå ñâåðíóòû ïðàâèëüíûì îáðàçîì.àñïèøåì ýòîò èíâàðèàíò ÷åðåçFµν Fµν= F0i F0ii0+ Fi0 F + Fij FÒàêèì îáðàçîì:ij~Eè~:B22~~~~= 2E −E + (−ǫijk Bk ) (−ǫijl Bl ) = −2 E − B .~2 − B~2I1 = Fµν F µν = −2 E ïåðâûé èíâàðèàíò ÝÌ ïîëÿ.47(56)Ñ èñïîëüçîâàíèåì 4ìåðíîãî àáñîëþòíî àíòèñèììåòðè÷íîãî òåíçîðàǫµναβìîæíî ïî-ñòðîèòü âòîðîé èíâàðèàíò ÝÌ ïîëÿ:I2 =1ǫµναβ F µν F αβ ≡ F µν Feµν .2 ýòîé îðìóëå ìû ââåëè îïðåäåëåíèå äóàëüíîãî òåíçîðà ÝÌ ïîëÿ:Çàìåòèì, ÷òî:1Feµν ≡ ǫµναβ F αβ ,2Fe0i = Bi ,1ǫµναβ Fe αβ .2Feij = −ǫijk Ek .àñïèøåì, òåïåðü, âòîðîé èíâàðèàíò ÷åðåçò.ê.Fµν ≡~Eè(57)(58)~:Bµν0ijkij0k0ijke~~Fµν F = F0i ǫFjk + Fij ǫF0k = 2F0i ǫFjk = 2Ei ǫijk (−ǫjkl Bl ) = −4 E, B ,ǫ0ijk = ǫijk = ǫijk .Òàêèì îáðàçîì:~ B~ .I2 = Fµν Fe µν = −4 E,(59)Fµν : I3 = Feµν Feµν .
Íîeµν Feµν = −2 I1 .èíâàðèàíò: FÊàçàëîñü áû ìîæíî ïîñòðîèòü åùå îäèí èíâàðèàíò êâàäðàòè÷íûé ïîëåãêî ïîêàçàòü, ÷òî ýòà âåëè÷èíà âûðàæàåòñÿ ÷åðåç ïåðâûé3. Âîñïîëüçóåìñÿ òåïåðü ïðèîáðåòåííûìè çíàíèÿìè, ÷òîáû îïðåäåëèòü, êàê áóäåò äâè-ãàòüñÿ ÷àñòèöà â çàäàííûõ ÝÌ ïîëÿõ.
Äëÿ íà÷àëà ðàññìîòðèì ñëó÷àé ïîñòîÿííûõ è îäíî-~ èB~ (ò.å. íå çàâèñÿùèõ íè îò âðåìåíè, íè îò ïðîñòðàíñòâåííûõ êîîðäèíàò),E~ ⊥B~.Eêîòîðûå ïåðïåíäèêóëÿðíû äðóã äðóãó, ~~ ðàññìàòðèâàåìîì ñëó÷àå I2 ≡ −4 E, B = 0 è îïèñàíèå äâèæåíèÿ ÷àñòèöû çàâèñèò~2 − B~ 2 > 0, òî |B|~ > |E|~ . Ïîêàæåì, ÷òîîò òîãî, êàêîâî çíà÷åíèå I1 . Åñëè I1 ≡ −2 E~ ′ = 0. Âûáåðåì â ïðîñòðàíñòâå êîîðäèíàòíóþâ ýòîì ñëó÷àå ìîæíî âûáðàòü ÈÑÎ, ãäå E~ èB~ èìåëè âèä:ñåòêó òàê, ÷òîáû Eðîäíûõ ïîëåé~ = (0, E, 0),E ðåçóëüòàòå áóñòà âäîëü îñèx~ = (0, 0, B),BB > E.ïîëÿ ïåðåõîäÿò â:Ex′ = Ex = 0,Ey′ = γ (Ey − β Bz ) = γ (E − β B) ,Ez′ = γ (Ez + β By ) = 0,Bx′ = Bx = 0,By′ = γ (By + β Ez ) = 0,Bz′ = γ (Bz − β Ey ) = γ (B − β E) .48(60)Òåïåðü âèäíî, ÷òî åñëè âûáðàòüβ = E/B < 1,òî ýëåêòðè÷åñêîå ïîëå ðàâíî íóëþ~ ′ = 0,Eà ìîäóëü ìàãíèòíîãî ïîëÿ âûðàæàåòñÿ ÷åðåç ïåðâûé èíâàðèàíò ïîëÿBz′=γEB− EB1=q1−E 2BE2B−B=√B 2 − E 2.Ò.å.
â íîâîé ÈÑÎ çàäà÷à ñâîäèòñÿ ê äâèæåíèþ ÷àñòèöû â ïîñòîÿííîì ìàãíèòíîì ïîëå ïðèíóëåâîì ýëåêòðè÷åñêîì ïîëå.Îòáðîñèâ â íîâîé ÈÑÎ øòðèõè ó ïîëåé, ìû ïîëó÷àåì ñëåäóþùèå óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿðåëÿòèâèñòñêîé ÷àñòèöû:dEkin= 0,dtÒ.ê.p~ = Ekin ~v /c2 ,òî:Åñëè ìàãíèòíîå ïîëå íàïðàâëåíîid~pe h~ .~v × B=dtcie hEkin ˙~~v × B .~v =c2câäîëü îñè z , òî â êîìïîíåíòàõïîñëåäíåå óðàâíåíèå âû-ãëÿäèò êàê:v̇x = ω vy ,ãäåω = e c B/Ekinv̇y = −ω vx ,v̇z = 0, ðåëÿòèâèñòñêîå îáîáùåíèå ÷àñòîòû Ëàðìîðà äâà óðàâíåíèÿ â ïëîñêîñòèxye B/m c.Ïîëó÷åííûåìîæíî çàïèñàòü êàê îäíî êîìïëåêñíîå óðàâíåíèå:d(vx + i vy ) = −i ω (vx + i vy ) ,dtðåøåíèå êîòîðîãî èìååò âèä:vx + i vy = v⊥ e−i (ω t+α) ,ãäåv⊥èα ìîäóëü ñêîðîñòè â ïëîñêîñòèxy ,ïåðïåíäèêóëÿðíîé ìàãíèòíîìó ïîëþ, èíà÷àëüíàÿ àçà, ñîîòâåòñòâåííî.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
