Лекции по СТО и классической термодинамике (1183864), страница 5

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 5)

Åäèíñòâåííûé èíâàðèàíòíûé 4òåíçîð, îáëàäàþùèé òàêèìè ñâîéñòâàìè,íàïèñàí íà ïðàâîé ñòîðîíå ýòîãî ðàâåíñòâà. (Òðåáóåòñòðîãîãî ìàòåìàòè÷åêîãî äîêàçàòåëüñòâà òîò àêò, ÷òî âñå èíâàðèàíòíûå îòíîñèòåëüíî âðàùåíèé 2ìåðíûå òåíçîðàñòðîÿòñÿ èç δab è ǫab . Îäíàêî ýòî âûõîäèò çà ðàìêè íàøåãî êóðñà.) Êîýèöèåíò â ðàâåí-ñòâå èêñèðóåòñÿ èç ñëåäóþùèõ ñîîáðàæåíèé. Ñâåðíåì â ýòîì ðàâåíñòâå âòîðîé èíäåêñó ïåðâîãî àíòèñèììåòðè÷íîãî òåíçîðà (èíäåêñæèì èíäåêdðàâíûìbb)ñ ïåðâûì èíäåêñîì ó âòîðîãî (ò.å. ïîëî-è ïðîñóììèðóåì ïî ïîâòîðÿþùåìóñÿ èíäåêñó).  ðåçóëüòàòå ìûïîëó÷èì óæå çíàêîìîå íàì ðàâåíñòâî ñ âåðíûì êîýèöèåíòîì:2.

Òåïåðü, êîãäà ìû ïîçíàêîìèëèñüǫab ǫbc = −δac .ñ òåíçîðàìè â 2ìåðíîì ïðîñòðàíñòâå, ìû ãîòîâûïåðåéòè ê òåíçîðàì â 4ìåðíîì ÏÂ.  òåíçîðíîé îðìå îðìóëû â 4ìåðíîì ñëó÷àåâûãëÿäÿò ïî÷òè ñòîëü æå ïðîñòî êàê è â 2ìåðíîì ïðîñòðàíñòâå.×åòûðåõìåðíûì âåêòîðîì èëè 4âåêòîðîì ÿâëÿåòñÿ íàáîð èç ÷åòûðåõ âåëè÷èí (ñòðî2 µv ≡ (v 0 , v 1 , v 2 , v 3 ) ≡ (v 0 , ~v ), êîòîðûé îïðåäåëÿåò íàïðàâëåíèå â Ï è,êà èëè ñòîëáåö)ñëåäîâàòåëüíî, ïðàâèëüíûì îáðàçîì ïðåîáðàçóåòñÿ ïðè ïðåîáðàçîâàíèÿõ Ëîðåíöà (ÏË)(êîìáèíèðîâàííîì ïðèìåíåíèè 3ìåðíûõ âðàùåíèé âîêðóã ðàçëè÷íûõ îñåé è Ëîðåíöåâñêèõ áóñòîâ âäîëü ðàçëè÷íûõ íàïðàâëåíèé):′µv =Λµννv ≡3XΛµν v ν .ν=0Çäåñü è íèæå, êàê ÿ óæå íåîäíîêðàòíî ïîä÷åðêèâàë, ïîäðàçóìåâàåòñÿ ñóììèðîâàíèå ïîïîâòîðÿþùåìóñÿ èíäåêñó.

Ïðè÷èíó íàëè÷èÿ âåðõíèõ è íèæíèõ èíäåêñîâ ìû îáúÿñíèìµ÷óòü íèæå; Λν ýòî ìàòðèöà ÏË. Íå ëþáàÿ 4 × 4 ìàòðèöà ïîäõîäèò â êà÷åñòâå ìàòðèöûµÏË. Óñëîâèÿ, êîòîðûì äîëæíà óäîâëåòâîðÿòü ìàòðèöà Λν , ÷òîáû îïðåäåëÿòü ÏË, ìûâûâåäåì íèæå.2 Ïîä÷åðêíó,÷òî ÿ èñïîëüçóþ ãðå÷åñêèå áóêâû µ, ν, α, β äëÿ îáîçíà÷åíèÿ 4ìåðíûõ èíäåêñîâ, à ëàòèíñêèå áóêâû i, j, k, l, m, n äëÿ îáîçíà÷åíèÿ 3ìåðíûõ èíäåêñîâ. Ïðè ýòîì â êíèãå Ëàíäàó è Ëèøèöà, àòàêæå â çàäàâàëüíèêå íàîáîðîò ëàòèíñêèå áóêâû èñïîëüçóþòñÿ äëÿ îáîçíà÷åíèÿ 4ìåðíûõ èíäåêñîâ, àãðå÷åñêèå äëÿ îáîçíà÷åíèÿ 3ìåðíûõ èíäåêñîâ.20Ïðîñòåéøèì ïðèìåðîì 4âåêòîðà ÿâëÿåòñÿ íàïðàâëåíèå èç íà÷àëà îòñ÷åòà ÑÊ â êàêóþxµ = (x0 , ~x) = (c t, ~x).

 ñëó÷àå âðàùåíèÿ íà óãîë ϕ âîêðóã îñèíèáóäü ìèðîâóþ òî÷êó z,âðåìÿtè êîîðäèíàòàzîñòàþòñÿ íåèçìåííûìè. Ïîýòîìó ìàòðèöà ÏË âûãëÿäèò êàê: 1000c t′ x′   0 cos ϕ sin ϕ 0 ′ = y   0 − sin ϕ cos ϕ 00001z′ ñëó÷àå áóñòà Ëîðåíöà ñî ñêîðîñòüþyèzvâ ïîëîæèòåëüíîì íàïðàâëåíèè îñèx,êîîðäèíàòûîñòàþòñÿ íåèçìåííûìè, à ìàòðèöà ÏË âûãëÿäèò êàê: γ−β γ 0c t′ x′   −β γγ0 ′ = y   001′000zpγ = 1/ 1 − β 2 ðåëÿòèâèñòñêèéãäåct x  y zβ = v/c,àct0 x0 0  yz1γ àêòîð.,Ïðîèçâîëüíàÿ ìàòðèöà, çà-äàþùàÿ ÏË, îïðåäåëÿåòñÿ ïðîèçâåäåíèåì ïîäîáíûõ ìàòðèö, îïðåäåëÿþùèõ âðàùåíèÿ èËîðåíöåâñêèå áóñòû âäîëü ðàçëè÷íûõ íàïðàâëåíèé.µ µ ...µn×åòûðåõìåðíûé nòåíçîð T 1 2 ýòî âåëè÷èíà, èìåþùàÿnèíäåêñîâ è ïðåîáðàçó-þùàÿñÿ îòíîñèòåëüíî ÏË êàê:T ′µ1 ...µn = Λνµ11 .

. . Λµνnn T ν1 ...νn ≡ T ν1 ...νn ΛTµ1ν1. . . ΛTµnνn ýòîì ñìûñëå 4âåêòîð ÿâëÿåòñÿ ïðîñòî 4ìåðíûì 1òåíçîðîì. Î÷åâèäíî, ýëåìåíòû 4ìåðíîãî 2òåíçîðà ìîæíî ðàñïîëîæèòü â âèäå4×4ìàòðèöû. Îäíàêî â ñëó÷àå, åñëèòåíçîð èìååò áîëåå ÷åì 2 èíäåêñà, òî åãî ýëåìåíòû óæå íå âîçìîæíî ðàñïîëîæèòü â âèäåêâàäðàòíîé ìàòðèöû. Åñëè óãîäíî, ýëåìåíòû 4ìåðíîãîânìåðíîì 4 × 4 × · · · × 4nòåíçîðàìîæíî ðàñïîëîæèòüãèïåðêóáå. Îäíàêî òàêîå ïðåäñòàâëåíèå íèêîìó íå îáëåã÷èòæèçíü è íå óïðîñòèò âû÷èñëåíèÿ. îðàçäî ïðîùå èìåòü äåëî ïðÿìî ñ âåëè÷èíàìè ñ èíäåêñàìè. Ïðîñòåéøèì 4ìåðíûì nòåíçîðîì ÿâëÿåòñÿ òåíçîðíîå ïðîèçâåäåíèå n 4âåêòîðîâ:v1µ1 .

. . vnµn .Âàæíûì ïðèìåðîì 2òåíçîðà ÿâëÿåòñÿ ìåòðè÷åñêèé òåíçîð Ìèíêîâñêîãî ηµν , çàäàþùèé èíòåðâàë â 4ìåðíîì ÏÂ:ds2 = ηµν dxµ dxν×òîáû èíòåðâàë ïðèíÿë ñâîþ ïðèâû÷íóþ îðìóäèìî, ÷òîáû:212ds2 = (dx0 ) − d~x2 = c2 dt2 − d~x2 ,1 000 0 −1 00 ||ηµν || =  0 0 −1 0  .0 00 −1(13)íåîáõî-(14)Ïîêàæåì, ÷òîηµνäåéñòâèòåëüíî òåíçîð, ò.å. ïðåîáðàçóåòñÿ ïðàâèëüíûì îáðàçîì ïðè ÏË.dx′µ = Λµν dxν . Ïîýòîìó, ÷òîáû áûëî âåðíî ðà-Äåéñòâèòåëüíî, ïðè ýòèõ ïðåîáðàçîâàíèÿõâåíñòâî:′ds2 = ηµνdx′µ dx′ν = ηµν dxµ dxν ,íåîáõîäèìî, ÷òîáû ìåòðè÷åñêèé òåíçîð ïðåîáðàçîâûâàëñÿ êàê(15)η ′µν = Λµα Λνβ η αβ , ò.å. èìåííîêàê 2òåíçîð, à ìàòðèöà ÏË óäîâëåòâîðÿëà óñëîâèþ:αΛµα ΛTãäåδνµν ýòî ñèìâîë Êðîíåêåðà (åäèíè÷íàÿδνµ=1,0,= δνµ ,4×4ïðèïðè(16)ìàòðèöà):µ=ν.µ 6= νÒ.å.

ñèòóàöèÿ âïîëíå àíàëîãè÷íà 2ìåðíîìó ñëó÷àþ.  ÷àñòíîñòè, ðàâåíñòâî (16) ìîæíîµïîíèìàòü êàê òî, ÷òî òåíçîð δν èíâàðèàíòåí îòíîñèòåëüíî ÏË:δν′µ = Λµα δβα ΛTβν= Λµα ΛTαν= δνµΛ̂ Λ̂T = Iˆ, ãäå Iˆ ýòîdet Λ̂ = −1 îòâå÷àåò èíâåðñèÿìÈç (16), êîòîðîå òàêæå ìîæíî ïîíèìàòü êàê ìàòðè÷íîå óðàâíåíèååäèíè÷íàÿ4×4ìàòðèöà, ñëåäóåò, ÷òîdet Λ̂ = ±1.Íîêîîðäèíàò, êîòîðûå íå âêëþ÷àþòñÿ â ÷èñëî ÏË. Ïîýòîìó ÏË îòâå÷àþò òîëüêî ìàòðèöûΛ̂,óäîâëåòâîðÿþùèå óñëîâèþ (16) è èìåþùèå åäèíè÷íûé äåòåðìèíàíò.µµÑêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå (èëè ñâåðòêà) äâóõ 4âåêòîðîâ v è w îïðåäåëÿåòñÿ ñ èñïîëüµ νçîâàíèåì ìåòðèêè â Ï ηµν v w àíàëîãè÷íî òîìó êàê ýòî áûëî ñäåëàíî â 2ìåðíîìµïðîñòðàíñòâå.

×åòûðåâåêòîðà ñ âåðõíèìè èíäåêñàìè v íàçûâàþòñÿ êîâàðèàíòíûìè. Êàæäîìó êîâàðèàíòíîìó âåêòîðó ìîæíî ïîñòàâèòü â ñîîòâåòñòâèå êîíòðàâàðèàíòíûé âåêòîðµ0íåñóùèé íèæíèé èíäåêñ. Çàìå÷ó, ÷òî åñëè v = (v , ~v), òî vµ = (v 0 , −~v ) èvµ = ηµν v ν ,êîíòðàâàðèàíòíûå âåêòîðà ñóùåñòâåííî îòëè÷àþòñÿ îò êîâàðèàíòíûõ. Ïðè ýòîì â ïðîñòðàíñòâå (êàê â 2ìåðíîì òàê è â 3ìåðíîì) ìåòðè÷åñêèé òåíçîð ñîâïàäàåò ñ åäèíè÷íîéjjìàòðèöåé, ïîýòîìó vi = δij v = v , ãäå i = 1, 2, 3, è ïîýòîìó â Åâêëèäîâîì ïðîñòðàíñòâå íèêòî íå îòëè÷àåò íèæíèå (êîíòðàâàðèàíòíûå) è âåðõíèå (êîâàðèàíòíûå) èíäåêñû.

 ñâåòåîïðåäåëåíèÿ êîâàðèàíòíûõ è êîíòðàâàðèàíòíûõ âåêòîðîâ, ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå ìîæíîµ νµαçàïèñàòü íåñêîëüêèìè ýêâèâàëåíòíûìè ñïîñîáàìè ηµν v w = vµ w = v wαÀíàëîãè÷íî, åñëè íàì äàí êîíòðàâàðèàíòíûé âåêòîð, òî èç íåãî ìîæíî ïîñòðîèòü êîv µ = η µν vν âåêòîð ñ èñïîëüçîâàíèåì òåíçîðà η µν , êîòîðûé ÿâëÿåòñÿ îáðàòíûìâàðèàòíûéê ìåòðè÷åñêîìó òåíçîðó:ˆη µν ηνα = δαµ ⇔ η̂ up η̂down = I.Âàæíûì ñâîéñòâîì ìåòðè÷åñêîãî òåíçîðà è îáðàòíîãî ê íåìó ÿâëÿåòñÿ òî, ÷òî îíè èíâàðèàíòíû îòíîñèòåëüíî ÏË, àíàëîãè÷íî áèëèíåéíîé îðìå, îïðåäåëÿþùåé ñêàëÿðíîåïðîèçâåäåíèå â 2ìåðíîì ïðîñòðàíñòâå:22′ηµν= Λαµ Λβν ηαβ ≡ Λαµ ηαβ ΛTβν= Λαµ ΛTαν= ηµν .(17)Ïîñëåäíåå ðàâåíñòâî ïîëó÷åíî ñ ïðèìåíåíèåì (16), ÷òî ìîæíî óâèäåòü ïîñëå óìíîæåíèÿµνîáåèõ ÷àñòåé (17) íà òåíçîð η .

Ôàêòè÷åñêè â èíâàðèàíòíîñòè ìåòðè÷åñêîãî òåíçîðà ïîîòäåëüíîñòè îòíîñèòåëüíî áóñòîâ Ëîðåíöà è âðàùåíèé ìû óáåäèëèñü, êîãäà ïîêàçàëè, ÷òîáèëèíåéíàÿ îðìà, îïðåäåëÿþùàÿ Ï èíòåðâàë, îñòàåòñÿ íåèçìåííîé ïðè ýòèõ ïðåîáðàçîâàíèÿõ.η µνèηµνìû ìîæåì ïîíèæàòü è ïîâûøàòü èíäåêñû ó 4ìåðíûõµ µ ...µnòåíçîðîâ. Íàïðèìåð, åñëè íàì äàí 4ìåðíûé nòåíçîð T 1 2ñî âñåìè êîâàðèàíòíûìèÏðè ïîìîùè òåíçîðîâèíäåêñàìè, òî ñ èñïîëüçîâàíèåì ìåòðè÷åñêîãî òåíçîðà ìû ìîæåì ïîñòðîèòü èç íåãî òåíçîðαµñî ñìåøàííûìè èíäåêñàìè. Ñêàæåì: T β= ηβν T µνα .Òàêèì îáðàçîì, ñ èñïîëüçîâàíèåì ìåòðè÷åñêîãî òåíçîðà è îáðàòíîãî ê íåìó ìû ìîæåìµνñòðîèòü âñåâîçìîæíûå ñâåðòêè òåíçîðîâ: íàïðèìåð, Tηνα v α ≡ T µν vν è ò.ä..

Âàæíî, ÷òîðåçóëüòàò ñâåðòêè âñåãäà ïðåîáðàçóåòñÿ ïðàâèëüíûì îáðàçîì ïðè ÏË. Íàïðèìåð, ñêàëÿðηµν v µ w ν = vµ w µ íå íåñåò íèêàêèõ èíäåêñîâ, à ïîòîìóµ ν′′µ ′νíå ìåíÿåòñÿ ïðè ÏË (ò.å. ÿâëÿåòñÿ èíâàðèàíòîì): ηµν v w = ηµν v w= ηµν v ′µ w ′ν , ãäåøòðèõîâàííûå âåëè÷èíû êîìïîíåíòû òåíçîðîâ â íîâîé ÑÎ.µνÄàëåå, âåëè÷èíà Tηνα v α = T µν vν ïðåîáðàçóåòñÿ ïðè ÏË êàê êîâàðèàíòíûé 4âåêòîð.µνÄåéñòâèòåëüíî, âåðõíèé èíäåêñ ν òåíçîðà Tïðåîáðàçóåòñÿ òàê, ÷òî êîìïåíñèðóåò ïðå-íîå ïðîèçâåäåíèå äâóõ 4âåêòîðîâîáðàçîâàíèå íèæíåãî èíäåêñà ν âåêòîðà vν .  ðåçóëüòàòå ÏË äåéñòâóåò òîëüêî íà ïåðâûéµνvν .

Ïîä÷åðêíó, ÷òî ïðè ýòîì, âåëè÷èíà T µν v ν ïðåîáðàçóåòñÿ íåèíäåêñ µ âñåé ñâåðòêè Têàê âåêòîð ïðè ÏË, ò.ê. ïðåîáðàçîâàíèå äâóõ âåðõíèõ èíäåêñîâ ν íå êîìïåíñèðóþò äðóãT µν v ν áåññìûñëåííà ñ òî÷êè çðåíèÿ òåíçîðíîãî àíàëèçà. Ïî òîé æåµνïðè÷èíå, íå ìåíåå áåññìûñëåííîé âåëè÷èíîé ÿâëÿåòñÿ è Tvν wν .äðóãà. Ò.å. çàïèñüß íàäåþñü, ÷òî ýòè äîâîëüíîòàêè ìóòîðíûå ïîÿñíåíèÿ äàäóò âàì âîçìîæíîñòü óõâàòèòü îñíîâíóþ ìûñëü, ìîòèâèðóþùóþ òåíçîðíûå îáîçíà÷åíèÿ è ââåäåíèå âåðõíèõ è íèæíèõ èíäåêñîâ. Äåëî â òîì, ÷òî åñëè íàì äàíà íåêîòîðàÿ ñâåðòêà òåíçîðîâ, òî îäíîãî âçãëÿäàíà íåå äîñòàòî÷íî, ÷òî áû ïîíÿòü èìååò ëè îíà ñìûñë êàê òåíçîð èëè íåò.

È, åñëè èìååò,òî ìîæíî ñðàçó ïîíÿòü êàê ðåçóëüòàò ñâåðòêè ïðåîáðàçóåòñÿ ïðè ÏË.  ÷àñòíîñòè, ìîæíîñðàçó ïîíÿòü ÿâëÿåòñÿ ëè òà èëè èíàÿ âåëè÷èíà èíâàðèàíòîì èëè íåò.Êàê ìû óâèäèì â ñëåäóþùèõ ëåêöèÿõ, óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ ÑÒÎ èðåëÿòèâèñòñêîé ýëåêòðîäèíàìèêè, áóäó÷è çàïèñàíû â òåíçîðíîé îðìå, ÿâëÿþòñÿ Ëîðåíöêîâàðèàíòíûìè, ò.å. èõ âèä íå ìåíÿåòñÿ ïðè ÏË ïðè çàìåíå îäíîé ÈÑÎ íà äðóãóþ. Âýòîì è çàêëþ÷àåòñÿ ïðèíöèï îòíîñèòåëüíîñòè.ννµνÏîìèìî òåíçîðîâ δµ ≡ ηµ , ηµν è ηèíâàðèàíòíûì îòíîñèòåëüíî ÏË ÿâëÿåòñÿ 4ìåðíûé àáñîëþòíîàíòèñèììåòðè÷íûé òåíçîð ǫµναβ , êîòîðûé îäíîçíà÷íî îïðåäåëÿåòñÿ3.ñâîéñòâîì àíòèñèììåòðèè îòíîñèòåëüíî ëþáîé ïåðåñòàíîâêè ïàðû ñâîèõ èíäåêñîâ:ǫµναβ = −ǫνµαβ = ǫναµβ = −ǫανµβ = .

Характеристики

Список файлов лекций