Лекции по СТО и классической термодинамике (1183864), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Íàïðèìåð, â 2-ìåðíîì ñëó÷àå ïðè ïîëÿðíîé çàìåíå êîîðäèíàò,x = x′ cos y ′, y = x′ sin y ′ ìû èìååì:dl2 = dx2 + dy 2 = dx′2 + x′2 dy ′2 .5Äëÿ íàñ ñåé÷àñ âàæíî, ÷òî ïðè çàìåíàõ êîîðäèíàò, îòâå÷àþùèõ âðåùåíèÿì, áèëèíåéíàÿîðìà, îïðåäåëÿþùàÿ âèä âûðàæåíèÿ äëÿ äëèíû, íå ìåíÿåò ñâîé âèä.
À èìåííî, îïÿòüæå â 2-ìåðíîì ñëó÷àå ïðè çàìåíå êîîðäèíàò, îòâå÷àþùåé ïîâîðîòóx′ = x cos ϕ + y sin ϕy ′ = −x sin ϕ + y cos ϕ,ãäåϕ = const,ìû èìååì (ïðè ëþáîìϕ)dl2 = dx2 + dy 2 = dx′2 + dy ′2,ïðè ýòîì î÷åâèäíî, ÷òîdx 6= dx′èdy 6= dy ′.×òî åùå áîëåå âàæíî, ïðè âðàùåíèÿõ, êàê è ïðè ïðåîáðàçîâàíèÿõ àëèëåÿ, íå ìåíÿþòñâîåãî âèäà óðàâíåíèÿ Íüþòîíîâîé ìåõàíèêè. Ò.å. îíè ñîõðàíÿþò ñâîé âèä â íîâûõ êî′′ ′îðäèíàòàõ x , y , z .
Íà íàó÷íîì ÿçûêå ýòî óòâåðæäåíèå çâó÷èò òàê: óðàâíåíèÿ ìåõàíèêèÍüþòîíà ïðåîáðàçóþòñÿ êîâàðèàíòíî ïðè âðàùåíèÿõ. Èëè ïðîñòî êîâàðèàíòíû.4.  ÑÒÎ ïîñòóëèðóåòñÿ(ñëåäóåò èç ëîãè÷åñêè íåïðîòèâîðå÷èâîãî îïèñàíèÿ ñîâîêóï-íîñòè îïûòíûõ àêòîâ), ÷òî:• Ñêîðîñòü ñâåòà â âàêóóìå ÿâëÿåòñÿ ìàêñèìàëüíî âîçìîæíîé ñêîðîñòüþ âïðèðîäå.• Ïðîñòðàíñòâî è âðåìÿ îáðàçóþò åäèíûé 4-ìåðíûé Ï êîíòèíóóì ñ ìåòðèêîéâèäà:ds2 = c2 dt2 − dx2 − dy 2 − dz 2 ≡ c2 dt2 − d~x2 .(2)Ïîñëåäíÿÿ âåëè÷èíà èçèêàìè ÷àùå íàçûâàåòñÿ èíòåðâàëîì è îïðåäåëÿåòðàññòîÿíèå ìåæäó äâóìÿ òî÷êàìè â Ï ñ êîîðäèíàòàìè (t, x, y, z) è (t+dt, x+dx, y + dy, z + dz). Çäåñü c ñêîðîñòü ñâåòà.Èç âûøå ïðèâåäåííîãî îáñóæäåíèÿ ñðàçó âèäíî, ÷òî èíòåðâàë ñîõðàíÿåòñâîé âèä ïðè Ëîðåíöåâñêîì áóñòå:c t′ = c t cosh α + x sinh α,x′ = c t sinh α + x cosh α,y ′ = y, z ′ = z,(3)ãäå α = const.Ò.å.
äëèíà ÷åòûðåõìåðíîãî èíòåðâàëà íå ìåíÿåòñÿ ïðè áóñòàõ, íî, êàê ìû óâèäèì, åãîïðîåêöèè íà îñèt è x ìîãóò ìåíÿòüñÿ, ÷òî àíàëîãè÷íî ñèòóàöèè ñ âðàùåíèÿìè òðåõìåðíîéñèñòåìû êîîðäèíàò, êîãäà ìåíÿþòñÿ äëèíû ïðîåêöèé âåêòîðà íà îñè êîîðäèíàò.Åùå îäèí ïîñòóëàò ãëàñèò, ÷òî:6• Ëîðåíöåâñêèé áóñò èìååò èçè÷åñêèé ñìûñë ïåðåõîäà èç îäíîé ÈÑÎ âäðóãóþ, êîòîðàÿ äâèæåòñÿ îòíîñèòåëüíî ïåðâîé âäîëü îñè x ñî ñêîðîñòüþv , ãäåcosh α = qcosh α ≡112− vc2−αeα + e2,,sinh α = qsinh α ≡− vc12− vc2−αeα − e2,,2v12− c v2 = 1.cosh α − sinh α =v21 − c21 − c222(4) ñëåäóþùèõ ëåêöèÿõ ìû óâèäèì, ÷òî ïðè Ëîðåíöåâñêèõ áóñòàõ êîâàðèàíòíû óðàâíåíèÿ ðåëÿòèâèñòñêîé ìåõàíèêè. Ñðàçó çàìå÷ó, ÷òî îðìóëû äëÿ áóñòà Ëîðåíöà èìåþòñìûñë òîëüêî, êîãäàv < c. Ïðè÷åìâ ïðåäåëåv << c, Ëîðåíöåâñêèéáóñò ïåðåõîäèò â ïðå-îáðàçîâàíèå àëèëåÿ.
Ïîñëåäíåå çàìå÷àíèå åñòü îòðàæåíèå òîãî àêòà, ÷òî ðåëÿòèâèñòêàÿìåõàíèêà îáîáùàåò ìåõàíèêó Íüþòîíà, à íå îïðîâåðãàåò åå.Ïîìèìî ýòîãî, èç ýòèõ ïîñòóëàòîâ ñðàçó ñëåäóåò, ÷òî ñêîðîñòü ñâåòà íå çàâèñèò îòâûáîðà ÈÑÎ. Äåéñòâèòåëüíî, åñëè ÷àñòèöà äâèæåòñÿ ñî ñêîðîñòüþ ñâåòà, òî åå ñìåùåíèådt è â ïðîñòðàíñòâå d~x ñâÿçàíû ñîîòíîøåíèåì |d~x/dt| = c. Ñëåäîâàòåëüíî âäîëü2åå ïðîñòðàíñòâåííîâðåìåííûõ ñìåùåíèé èíòåðâàë ðàâåí íóëþ: ds = 0.
Íî ïðè ïåðåõîäå22′2èç îäíîé ÈÑÎ â äðóãóþ, èíòåðâàë íå ìåíÿåò ñâîåãî âèäà, à ïîòîìó ds = c dt − d~x′2 = 0âî âðåìåíèòîæå. Ñëåäîâàòåëüíî â íîâîé ñèñòåìå îòñ÷åòà ìåæäó ñìåùåíèåì ÷àñòèöû âî âðåìåíè èïðîñòðàíñòâå âûïîëíÿåòñÿ òàêîå æå ñîîòíîøåíèå |d~x′ /dt′ | = c.×òîáû èçáåæàòü ðàçëè÷íîãî ðîäà ïàðàäîêñîâ, êîòîðûå ìîãóò âîçíèêíóòü ïðè èñïîëüçî-âàíèèíåèíåðöèàëüíûõÑÎ, ïîä÷åðêíåì, ÷òî äëÿ ïîñëåäíåãî óòâåðæäåíèÿ âàæíî, ÷òî ìûïåðåõîäèì îò îäíîé ÈÑÎ ê äðóãîé ÈÑÎ (3), ò.ê. ïðè ýòîì íå ìåíÿåòñÿ áèëèíåéíàÿ îðìà,çàäàþùàÿ âûðàæåíèå äëÿ èíòåðâàëà (2). Ïðè ïåðåõîäå ê íåèíåðöèàëüíûì ÑÎ áèëèíåéíàÿ îðìà, çàäàþùàÿ èíòåðâàë, ìåíÿåòñÿ ñóùåñòâåííûì îáðàçîì, íî ýòî óæå ïðåäìåò èçîáùåé òåîðèè îòíîñèòåëüíîñòè.Ñëåäóåò ïîä÷åðêíóòü, ÷òî ìûíåïîñòóëèðóåì òîò àêò, ÷òî ñêîðîñòü ñâåòà íå çàâèñèòîò ÈÑÎ.
Îí ñëåäóåò èç ïåðå÷èñëåííûõ âûøå ïîñòóëàòîâ. Ìîæíî áûëî áû íàîáîðîò ïîñòóëèðîâàòü, ÷òî ñêîðîñòü ñâåòà íå çàâèñèò îò ÈÑÎ. Òîãäà âûðàæåíèå äëÿ èíòåðâàëà è,ñëåäîâàòåëüíî, òîò àêò, ÷òî ïðîñòðàíñòâî è âðåìÿ îáðàçóþò åäèíûé êîíòèíóóì ìîæíîâûâåñòè êàê ñëåäñòâèå.5.Èòàê, ìû ïîçíàêîìèëèñü ñ ïîíÿòèåì 4ìåðíîãî ïðîñòðàíñòâàâðåìåíè (ÏÂ).
Íà-ðèñóåì 3ìåðíóþ åãî ÷àñòü, âêëþ÷àþùóþ âðåìÿ. Ñêàæåì îñèc t, xèy ýòî ìàêñè-ìóì, ÷òî ÿ ìîãó íàðèñîâàòü íà 2ìåðíîì ëèñòå. Òî÷êà â Ï íàçûâàåòñÿ ñîáûòèåì èëèìèðîâîé òî÷êîé. Ëèíèÿ, çàìåòàåìàÿ òî÷å÷íîé ÷àñòèöåé â ÏÂ, íàçûâàåòñÿ ìèðîâîé ëèíèåé(worldline). Ïîä÷åðêíó, ÷òî ïîñëåäíåå íå ñîâñåì òîæå ñàìîå, ÷òî òðàåêòîðèÿ ÷àñòèöû, ò.ê.òðàåêòîðèÿ çàìåòàåòñÿ â ïðîñòðàíñòâå, à íå â ÏÂ: òðàåêòîðèÿ ÿâëÿåòñÿ ïðîåêöèåé ìèðîâîéëèíèè íà ïðîñòðàíñòâåííóþ ÷àñòü ïðîñòðàíñòâàâðåìåíè.àññìîòðèì êàêóþíèáóäü ìèðîâóþ òî÷êó, êîòîðàÿ îáîçíà÷åíà ñëîâîì vertex (òî÷êà,âåðøèíà) íà ðèñ. 2.
Íàðèñóåì âñå âîçìîæíûå ëó÷è ñâåòà, êàê îíè áû ðàñïðîñòðàíÿëèñüèç ýòîé òî÷êè âïåðåä ïî âðåìåíè. Íàðèñóåì òàê æå âñå âîçìîæíûå ëó÷è ñâåòà, êàê îíè7èñ. 2:èñ. 3:8áû ñõîäèëèñü áû â ýòó òî÷êó èç ïðîøëîãî. Ïîëó÷åííàÿ èãóðà, êîòîðàÿ çàìåòàåòñÿ âñåâîçìîæíûìè ëó÷àìè ñâåòà, ïðîõîäÿùèìè ÷åðåç äàííóþ òî÷êó, íàçûâàåòñÿ ñâåòîâîé êîíóñ(light one). Î÷åâèäíî, ÷òî ñâåòîâîé êîíóñ ìîæíî íàðèñîâàòü äëÿ ëþáîé ìèðîâîé òî÷êè.Ò.ê. ëþáàÿ ìàòåðèàëüíàÿ òî÷êà ìîæåò äâèãàòüñÿ òîëüêî ñî ñêîðîñòüþ ìåíüøå, ÷åìñêîðîñòü ñâåòà, òî íàêëîí ïî îòíîøåíèþ ê îñèctïðîèçâîäíîé ê ìèðîâîé ëèíèè âñåãäàìåíüøå, ÷åì 45 ãðàäóñîâ.
Ïîýòîìó ëþáàÿ ìèðîâàÿ ëèíèÿ, ïðîõîäÿùàÿ ÷åðåç ìèðîâóþ òî÷êó, íàõîäÿùóþñÿ â âåðøèíå äàííîãî ñâåòîâîãî êîíóñà (vertex), áóäåò öåëèêîì íàõîäèòüñÿâíóòðè ýòîãî ñâåòîâîãî êîíóñà.Îáñóäèì ïðèíöèï ïðè÷èííîñòè. (Ñìîòðè ðèñ. 3) Ëþáîå ñîáûòèå èç âåðõíåé ÷àñòè ñâåòîâîãî êîíóñà (íàïðèìåð, ñîáûòèå â ìèðîâîé òî÷êå (a)) íàõîäèòñÿ â àáñîëþòíîì áóäóùåìïî îòíîøåíèþ ê âåðøèíå êîíóñà (o).
Ò.å. â ëþáîé ÑÎ ýòî ñîáûòèå ïðîèçîéäåò ïîçæå, ÷åìòî, ÷òî ïðîèçîéäåò â âåðøèíå êîíóñà. Ëþáîå æå ñîáûòèå â íèæíåé ÷àñòè ñâåòîâîãî êîíóñà(íàïðèìåð, ñîáûòèå â ìèðîâîé òî÷êå b) íàõîäèòñÿ â àáñîëþòíîì ïðîøëîì ïî îòíîøåíèþê âåðøèíå êîíóñà.  ïðîøëîì èëè â áóäóùåì ñîáûòèå âíå ñâåòîâîãî êîíóñà (íàïðèìåð,ñîáûòèå â ìèðîâîé òî÷êå d) ïî îòíîøåíèþ ê âåðøèíå êîíóñà çàâèñèò îò ÑÎ.Îáúÿñíèì îòêóäà ñëåäóþò ýòè óòâåðæäåíèÿ. Ëþáàÿ ìèðîâàÿ òî÷êà âíóòðè ñâåòîâîãî222êîíóñà ñîåäèíÿåòñÿ ñ åãî âåðøèíîé îòðåçêîì ñ èíòåðâàëîì ∆s = c ∆t − ∆~x2 > 0, ò.ê.äëÿ òàêîãî èíòåðâàëà ñìåùåíèå â ïðîñòðàíñòâå è âî âðåìåíè ñâÿçàíû êàê|∆~x| < c |∆t|.∆t íå âîçìîæíî ïîëîæèòü ðàâíûì íóëþ âûáîðîì ÑÎ, ò.ê. èíà÷å íàðóøèëîñü∆s2 > 0.
Ïîýòîìó, åñëè ∆t > 0 â îäíîé ÑÎ, òî ∆t > 0 è â ëþáîé äðóãîé ÑÎ.2âåðíî è â ñëó÷àå, åñëè ∆t < 0. Èíòåðâàëû, äëÿ êîòîðûõ âåðíî ∆s > 0 íàçûâàþòñÿÁîëåå òîãîáû óñëîâèåÒîæåâðåìåíèïîäîáíûìè.Ëþáàÿ ìèðîâàÿ òî÷êà âíå ñâåòîâîãî êîíóñà ñîåäèíÿåòñÿ ñ åãî âåðøèíîé îòðåçêîì ñ2∆s < 0, ò.ê. äëÿ òàêèõ èíòåðâàëîâ |∆~x| > c |∆t|. Ïîýòîìó, äëÿ òàêèõ èíòåðâàëîâ âûáîðîìÑÎ ìîæíî ïîëîæèòü∆t = 0,ò.å., ìåíÿÿ ñèñòåìó îòñ÷åòà, ìîæíî ñìåíèòü çíàê∆t.Ñëåäî-âàòåëüíî, åñëè ñîáûòèå áûëî â ïðîøëîì ïî îòíîøåíèþ ê âåðøèíå êîíóñà â îäíîé ÑÎ, òîåãî ìîæíî ïîëîæèòü â áóäóùåå ïî îòíîøåíèþ ê âåðøèíå âûáîðîì äðóãîé ÑÎ.
Èíòåðâàëû,∆s2 < 0, íàçûâàþòñÿ ïðîñòðàíñòâåííîïîäîáíûìè.äëÿ êîòîðûõ âåðíîÈ íàêîíåö, ëþáàÿ òî÷êà íà ñâåòîâîì êîíóñå ñîåäèíÿåòñÿ ñ åãî âåðøèíîé èíòåðâàëîì ñ∆s2 = 0,ò.ê. äëÿ òàêîãî èíòåðâàëà|∆~x| = c |∆t|.Òàêèå èíòåðâàëû íàçûâàþòñÿ íóëåâûìèèëè ñâåòîïîäîáíûìè. Î÷åâèäíî, ÿâëÿåòñÿ ëè èíòåðâàë ñâåòîïîäîáíûì, ïðîñòðàíñòâåííîïîäîáíûì èëè âðåìåíèïîäîáíûì íå çàâèñèò îò ÑÎ, ò.ê. âåëè÷èíà èíòåðâàëà íå çàâèñèò îòÑÎ.6.Èç âûøåóêàçàííûõ ïîñòóëàòîâ èìåþòñÿ è äðóãèå ïðîñòûå ñëåäñòâèÿ.
àññìîòðèìñòàíäàðòíûé â ÑÒÎ ìûñëåííûé ýêñïåðèìåíò. Ñòàíöèîííûé ñìîòðèòåëü âèäèò ïðîõîäÿùèé ìèìî íåãî ñ ðåëÿòèâèñòñêîé ïîñòîÿííîé ñêîðîñòüþ ïîåçä (êîíå÷íî ñêîðûé), ñîñòîÿùèé èç îäíîãî âàãîíà. Ïîñåðåäèíå âàãîíà ñòîèò ïàññàæèð. Ïàññàæèð äåðæèò îíàðü âêàæäîé ðóêå. Ïåðåäíÿÿ è çàäíÿÿ (ïî äâèæåíèþ ïîåçäà) ñòåíêè âàãîíà çåðêàëà. Êîãäàïàññàæèð ðîâíÿåòñÿ ñî ñìîòðèòåëåì, îí ìãíîâåííî âêëþ÷àåò è âûêëþ÷àåò îíàðè, èçëó÷àÿ ñâåò â íàïðàâëåíèè êàæäîãî èç çåðêàë.
È â ÈÑÎ ïàññàæèðà è â ÈÑÎ ñìîòðèòåëÿñâåò äâèæåòñÿ ñ îäèíàêîâîé ñêîðîñòüþ ñêîðîñòü ñâåòà. È â ÈÑÎ ïàññàæèðà è â ÈÑÎñìîòðèòåëÿ èñïóñêàíèå îáîèõ ëó÷åé ñâåòà îäíîâðåìåííî.  ÈÑÎ ïàññàæèðà îáà ëó÷à ñâåòàîäíîâðåìåííî îòðàæàþòñÿ îò çåðêàë è îäíîâðåìåííî âîçâðàùàþòñÿ ê ïàññàæèðó (ñì. ðèñ.(4)).Îäíàêî â ÈÑÎ ñìîòðèòåëÿ ëó÷ ñâåòà, èñïóùåííûé ïî íàïðàâëåíèþ äâèæåíèÿ âàãîíà,äîñòèãíåò åãî ïåðåäíåé ñòåíêè ïîçæå, ÷åì ëó÷, èñïóùåííûé ïðîòèâ íàïðàâëåíèÿ äâèæåíèÿ9èñ. 4:âàãîíà, äîñòèãíåò åãî çàäíåé ñòåíêè.
Ýòî î÷åâèäíî, ò.ê. ñêîðîñòè ñáëèæåíèÿ ñòåíîê èëó÷åé ñâåòà ðàçíûå. Îäíàêî îòðàæåííûå ëó÷è ñâåòà âåðíóòñÿ ê ïàññàæèðó îäíîâðåìåííîòàê æå è â ÈÑÎ ñìîòðèòåëÿ. Äåéñòâèòåëüíî ïîñëå îòðàæåíèÿ ëó÷åé îò ñòåíîê èõ ñêîðîñòèñáëèæåíèÿ ñ ïàññàæèðîì áóäóò ðàçíûå, íî ñ ïðîòèâîïîëîæíûì çíàêîì, ò.ê. îòðàæåííûéëó÷ îò ïåðåäíåé ñòåíêè áóäåò òåïåðü äâèãàòüñÿ ïðîòèâ íàïðàâëåíè äâèæåíèÿ ïîçäà, òîãäàêàê îòðàæåííûé îò çàäíåé ñòåíêè áóäåò, ïîñëå îòðàæåíèÿ, äâèãàòüñÿ ïî íàïðàâëåíèþäâèæåíèÿ ïîåçäà.Èòàê ìîìåíòû îòðàæåíèÿ ëó÷åé ñâåòà îò ñòåíîê âàãîíà, áóäó÷è îäíîâðåìåííûìè âÈÑÎ ïàññàæèðà, íå ÿâëÿþòñÿ òàêîâûìè â ÈÑÎ ñìîòðèòåëÿ.
Ò.å. â ÑÒÎ îäíîâðåìåííîñòüíåêîòîðûõ ñîáûòèé îòíîñèòåëüíà êàê ìû ïîíÿëè âûøå.7. Ïîñëå òîãî êàê ñòàëî ïîíÿòíî, ÷òî ïðîèñõîäèò ñ ïðîìåæóòêàìè âðåìåíè ïðè ïåðåõî-äå èç îäíîé ÈÑÎ â äðóãóþ, ïîñìîòðèì, ÷òî ïðîèñõîäèò ñ ïðîñòðàíñòâåííûìè îòðåçêàìè.Ïóñòü òåïåðü ïàññàæèð âûøåóêàçàííîãî ïîåçäà, äâèãàþùåãîñÿ ñî ñêîðîñòüþv,äåðæèò âðóêàõ ñòåðæåíü, ïàðàëëåëüíûé äâèæåíèþ âàãîíà. Äëèíà ñòåðæíÿ, êîòîðóþ èçìåðÿåò ïàññàæèð, ðàâíà l0 . Êàêóþ äëèíó ñòåðæíÿ áóäåò âèäåòü ñìîòðèòåëü? Ïóñòü â ÈÑÎ ïàññàæèðà′(K') çàäíèé (ïî äâèæåíèþ ïîåçäà) êîíåö ñòåðæíÿ íàõîäèòñÿ â íà÷àëå êîîðäèíàò x1 = 0,′à ïåðåäíèé, ñîîòâåòñòâåííî â x2 = l0 . Ïóñòü òåïåðü â ÈÑÎ ñìîòðèòåëÿ â êàêîé-òî ìîìåíòâðåìåíèx2 .t(ïî åãî ÷àñàì) çàäíèé êîíåö ñòåðæíÿ íàõîäèòñÿ â òî÷êåÍàøà çàäà÷à íàéòèñâÿçàíû ñxèt:l = x2 −x1 ,à ïåðåäíèé â òî÷êåx1 .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
