Лекции по СТО и классической термодинамике (1183864), страница 14
Текст из файла (страница 14)
Ñëåäîâàòåëüíî,Zd x ∂a2∂L∂(∂a φ)δφ = −Zd2 x∂L∂a δφ.∂(∂a φ)Âîñïîëüçîâàâøèñü ýòèì ðàâåíñòâîì â âûðàæåíèè äëÿ âàðèàöèè äåéñòâèÿ, ïîëó÷àåì0 = δS =Z Z∂L∂L∂L∂L2δφ = d xδφ.δφ − ∂a− ∂adx∂φ∂(∂a φ)∂φ∂(∂a φ)2Ïîëó÷åííîå âûðàæåíèå äîëæíî ðàâíÿòüñÿ íóëþ ïðè ëþáîì çíà÷åíèèδφ.Ïîýòîìó ìûïîëó÷àåì óðàâíåíèå ËàãðàíæàÝéëåðà:6 Àíàëîãè÷íîòîìó, êàê ýòî áûëî â ñëó÷àå âàðèàöèé äåéñòâèé äëÿ ÷àñòèö, åñòü íåñêîëüêî ñïîñîáîâH∂Lδφïîòðåáîâàòü çàíóëåíèÿ âêëàäà dla ∂(∂ââàðèàöèþäåéñòâèÿ.Àèìåííî,òðåáîâàíèåδφ=φ)a∂M∂L = 0 íàçûâàåòñÿ0 íàçûâàåòñÿ ãðàíè÷íûì óñëîâèåì Äèðèõëå.  òî âðåìÿ êàê òðåáîâàíèå ∂(∂a φ) ∂Mãðàíè÷íûì óñëîâèåì ͼéìàíà. Òî åñòü, êàê è â ñëó÷àå ÷àñòèö, èç ïðèíöèïà íàèìåíüøåãî äåéñòâèÿ ìûïîëó÷àåì è óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ, è ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ.65∂L∂L= ∂a.∂φ∂(∂a φ)k̄ abη ∂a φ ∂b φ, ìû èìååì, ÷òî ∂L2∂φìû ïîëó÷àåì ñëåäóþùåå óðàâíåíèå äâèæåíèÿ: íàøåì ñëó÷àå, êîãäàL=a∂a ∂ φ =∂21 ∂2−c̄2 ∂t2 ∂x2= 0,à∂L∂(∂a φ)= k̄ ∂a φ.Ïîýòîìóφ = 0,êîòîðîå íàì óæå äîëæíî áûòü çíàêîìî ïî ïåðâîé ëåêöèè.6.
Òåïåðü Rïåðåéäåì ê âàðüèðîâàíèþ äåéñòâèÿ äëÿ ÝÌ ïîëÿ ïî Aµ . Äëÿ äåéñòâèÿ îáùå-ãî âèäàS =d4 x L (Aµ , ∂µ Aν )ìû ìîæåì àíàëîãè÷íî òîëüêî ÷òî ïðèâåäåííîìó ñëó÷àþâûâåñòè óðàâíåíèÿ ËàãðàíæàÝéëåðà:∂L ∂L ∂µ=∂ (∂µ Aν ) A∂Aν ∂A(84) íàøåì ñëó÷àå Ëàãðàíæåâà ïëîòíîñòü ðàâíà:LEM = −11Fµν F µν (x) − 2 Aµ (x) j µ (x).16 π cc(85)Ïîýòîìó1∂LEM= − 2 jν ,∂Aνcà∂LEM1∂Fαβ F αβ ==−∂ (∂µ Aν )16 π c ∂ (∂µ Aν ) αβ γσ14∂=−η η (∂α Aγ − ∂γ Aα ) (∂β Aσ − ∂σ Aβ ) = −F µν .16 π c ∂ (∂µ Aν )16 π cÇäåñü ìû âîñïîëüçîâàëèñü òåì, ÷òî∂(∂α Aβ )/∂(∂µ Aν ) = δαµ δβν ,à òàê æå ñâîéñòâàìè ñèìâî-ëà Êðîíåêåðà è ìåòðè÷åñêîãî òåíçîðà.
 ðåçóëüòàòå èç óðàâíåíèé ËàãðàíæàÝéëåðà ìûïîëó÷àåì:∂µ F µν =4π νjc âòîðóþ ïàðó óðàâíåíèé Ìàêñâåëëà.7. Àïïåíäèêñ. Ñâîéñòâà δ óíêöèè. Áåç ïðåòåíçèé íà ìàòåìàòè÷åñêóþ ñòðîãîñòü,ìû çäåñü èçëîæèì íåêîòîðûå îñíîâíûå ñâîéñòâàñòàâëåíèåìδ óíêöèèδ óíêöèè.Óäîáíûì íàãëÿäíûì ïðåä-ÿâëÿåòñÿ ñëåäóþùåå:x21δ(x) = lim √ e− ǫ .ǫ→0πǫ66(86)ðàèê óíêöèè, ñòîÿùåé ïîä çíàêîì ïðåäåëà èìååò âèä êîëîêîëà ñ âåðøèíîé ââûñîòîé√1/ π ǫǫ,è øèðèíîé|x| ≫ ǫò.ê.
ïðèx = 0,ðàññìàòðèâàåìàÿ óíêöèÿ ýêñïîíåíöèàëüíîáûñòðî ñòðåìèòñÿ ê íóëþ. Ïîýòîìó, åñëè íàì íåîáõîäèìî âçÿòü èíòåãðàëZ+∞−∞x21dx f (x) √ e− ǫπǫf (x), òî ïðè äîñòàòî÷íî ìàëåíüêîì ǫ èçìåíåíèåì|x| < ǫ, ãäå ïîäèíòåãðàëüíîå âûðàæåíèå ñóùåñòâåííîäëÿ ëþáîé äîñòàòî÷íî õîðîøåé óíêöèèóíêöèè âíóòðè ìàëîé îáëàñòèîòëè÷íî îò íóëÿ, ìîæíî ïðåíåáðå÷ü. ÏîýòîìóZ+∞−∞àçëîæèâf (x)x21dx f (x) √ e− ǫ ≈ f (0)πǫÂîçüìåì òåïåðü èíòåãðàëI=ãäå ìû ïåðåîáîçíà÷èëè1I =π+∞−∞x21dx √ e− ǫ .πǫf (x) = f (0) + x f ′ (0) + . . . ,ñòðåìÿòñÿ ê íóëþ ïðè ǫ → 0.â ðÿä Òåéëîðà âáëèçè 0,ïîïðàâêè ê ïîëó÷åííîìó âûðàæåíèþ2ZZ+∞dx−∞ZZ√+∞−∞x21dx √ e− ǫ =πǫx/ ǫ → x.+∞Z+∞−∞ìîæíî óáåäèòüñÿ, ÷òî12dx √ e−x ,π×òîáû âû÷èñëèòü ýòîò èíòåãðàë, çàìåòèì, ÷òî−x2 −y 2dy e−∞1=πZ2πdϕ0Z+∞−r 2dr r e0=Z+∞0äå ìû ñäåëàëè çàìåíó ïåðåìåííûõ èíòåãðèðîâàíèÿ ïîä èíòåãðàëîìr sin ϕ.Òàêèì îáðàçîì,I = 1.ǫ→0f (x).x = r cos ϕ,y =Ïîýòîìólimäëÿ ëþáîé2dr 2 e−r = 1.Z+∞−∞x21dx f (x) √ e− ǫ = f (0)πǫÑëåäîâàòåëüíî âûøåóêàçàííîå ïðåäñòàâëåíèåδ óíêöèèïðàâîìåðíî â2− xǫ1ñèëó îïðåäåëåíèÿ ïîñëåäíåé.
Çàìå÷ó, ÷òî ãðàèê óíêöèè √eâ ïðåäåëå ǫ → 0 èìååòπǫñëåäóþùèé âèä: óíêöèÿ ðàâíà íóëþ âåçäå êðîìå x = 0, à â x = 0 îíà ðàâíà áåñêîíå÷íîñòè.Àáñîëþòíî àíàëîãè÷íûì îáðàçîì ìîæíî óáåäèòüñÿ, ÷òîδ óíêöèþìîæíî ïðåäñòàâ-ëÿòü è äðóãèì îáðàçîì:ǫ1ǫ→0 π x2 + ǫ2δ(x) = limÏðèâåäåì òåïåðü íåñêîëüêî îñíîâíûõ ñâîéñòâ•Z+∞−∞dx f (x) δ(x − x0 ) =Z(87)δ óíêöèè:+∞dx f (x + x0 ) δ(x) = f (x0 );−∞67(88)•Zò.ê. ãðàèêà â•x=0bdx f (x) δ(x) =af (0), if 0 ∈ [a, b]0, if 0 6∈ [a, b]δ óíêöèè èìååò âûøåóêàçàííûé âèä: îíà ðàâíà íóëþ âåçäå êðîìå x = 0,îíà ðàâíà áåñêîíå÷íîñòè;R +∞R +∞f xa δ(x)dx f (x) δ(a x) = −∞ dx|a|−∞÷òî δ(x) ÷åòíàÿ óíêöèÿ.
Ïîýòîìóf (0), ãäå ìû âîñïîëüçîâàëèñü òåì àêòîì,|a|=δ(a x) =•(89)δ(x);|a|(90)R +∞Pn R +∞′dxf(x)δ[g(x)]=a=1 −∞ dx f (x) δ [g (xa ) (x − xa )] , ãäå xa , a = 1, . . . , n íóëè−∞′óíêöèè g(x), à g (xa ) ïðîèçâîäíûå ýòîé óíêöèè â åå íóëÿõ. Ìû ïðèðàâíÿëèPδ[g(x)] = na=1 δ[g ′ (xa ) (x − xa )], ò.ê. δ[g(x)] íå ðàâíà íóëþ òîëüêî ïðè òåõ çíà÷åíèÿõx, ïðè êîòîðûõ g(x) ðàâíà íóëþ è ðàçëîæèëè ïîñëåäíþþ â ðÿä Òåéëîðà â áëèçè ååíóëåé. Äàëåå, âîñïîëüçîâàâøèñü ïðåäûäóùèì ñâîéñòâîì, ìû ïîëó÷àåìZ+∞dx f (x) δ [g(x)] =−∞nXa=1Ñëåäîâàòåëüíî1′|g (xa )|+∞−∞dx f (x) δ(x − xa ).nXδ(x − xa )δ [g(x)] =(91)|g ′ (xa )|a=1•ZÔîðìóëà Ñîõîòñêîãî. àññìîòðèì ïðåäåëx+ iǫxǫ1= lim= lim 2+ i lim 2=2ǫ→0 (x − i ǫ) (x + i ǫ)ǫ→0 x + ǫǫ→0 x + ǫ2ǫ→0 x − i ǫ1= v.p. + i π δ(x)xlim(92)ãäå v.p.1/x ðåãóëÿðíàÿ â íóëå óíêöèÿ.
 ýòîé îðìóëå ìû âîñïîëüçâàëèñü ïðåäñòàâëåíèåì•δ óíêöèèÔóðüå ïðåäñòàâëåíèåâ âèäå (87).δ óíêöèè:δ(x) =Z+∞−∞Äîêàæåì ýòó îðìóëó. Íàèâíî èíòåãðàëåãî ñëåäóþùèì îáðàçîì:68dk i k xe2πR +∞dk−∞ 2 πei k x(93)íå áåðåòñÿ. Îäíàêî ïðåäñòàâèìtt2-vtvx-vxx1xx2vtt1èñ. 7:ZZ+∞ikxdk e=−∞+ limǫ→0+∞ikxdk e+0ZZ0ikxdk e−∞0dk ei k x+ǫ k−∞= limǫ→0Z+∞dk ei k x−ǫ k +0ii+ lim= 2 π δ(x).= limǫ→0 x + i ǫǫ→0 x − i ǫ(94)Ïðè âûâîäå ïîñëåäíåãî ðàâåíñòâà ìû èñïîëüçîâàëè îðìóëó Ñîõîòñêîãî è åå êîìïëåêñíî ñîïðÿæåííûé âàðèàíò.8. Àïïåíäèêñ. Òåîðåìà Ñòîêñà â ïðîèçâîëüíîé ðàçìåðíîñòè è ñ ïðîèçâîëüíîé ñèãíàòóðîé ìåòðèêè.Äëÿ íà÷àëà ðàññìîòðèì â äâóõ èçìåðåíèÿõ èíòåãðàë ñëåäóþùåãî âèäà:I=ZZRÇäåñü îáëàñòüRadtdx ∂a v (t, x) ≡Zt2dtZx2x1t1dx ∂0 v 0 (t, x) + ∂1 v 1 (t, x) ,xa ≡ x0 , x1 ≡ (t, x) .(95)èçîáðàæåíà íà ðèñóíêå (7) ýòî ÷àñòü ïëîñêîñòè, îãðàíè÷åííàÿ ïðÿ-ìîóãîëüíèêîì ñî ñòîðîíàìè, äëèíû êîòîðûõ ðàâíût2 − t1èx2 − x1 . ðàññìàòðèâàåìîìâûðàæåíèè íå âàæíî êàêóþ ñèãíàòóðó èìååò ìåòðèêà: îíî âåðíî è äëÿ ïðîñòàíñòâà Åâêëèäà, è äëÿ ïðîñòðàíñòâàâðåìåíè Ìèíêîâñêîãî.
Ïðîäåëàåì ñëåäóþùèå ïðåîáðàçîâàíèÿñ îáñóæäàåìûì âûðàæåíèåì:Zx2Zt2Zt2Zx2dx ∂1 v 1 (t, x) =dtdt ∂0 v (t, x) +x1t1t1x1Z x2Z t2=dx v 0 (t = t2 , x) − v 0 (t = t1 , x) +dt v 1 (t, x = x2 ) − v 0 (t, x = x1 ) .I=dx0x1t169(96)M∂Mèñ. 8:Íà ïîñëåäíåì øàãå çäåñü â ïåðâîì âûðàæåíèè ìû âçÿëè èíåãðàë ïîâîäíîé, à âî âòîðîì âûðàæåíèè èíòåãðàë ïîxtîò ïîëíîé ïðîèç-îò ïîëíîé ïðîèçâîäíîé. Ïîëó÷åííûéèòåãðàë ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå:Zx2x1dx v 0 (t = t2 , x) − v 0 (t = t1 , x) +Çäåñü∂R ýòî ãðàíèöà îáëàñòèR,Zt210dt v (t, x = x2 ) − v (t, x = x1 ) =t1òî åñòü ñàì ïðÿìîóãîëüíèê, àdσaIdσa v a .(97)∂R ýòî âåêòîð ïåð-ïåíäèêóëÿðíûé ãðàíèöå, äëèíà êîòîðîãî ðàâíà ýëåìåíòó äëèíû ãðàíèöû.×òîáû îáîáùèòü ðàññìàòðèâàåìûå îðìóëû íà ñëó÷àé îáëàñòåé áîëåå îáùåé îðìû,ïðèáëèçèì òàêóþ ïðîèçâîëüíóþ îáëàñòüMíåêîòîðûì åå ðàçáèåíèåì íà ïðÿìîóãîëüíèêè,êàê ýòî èçîáðàæåíî íà ðèñóíêå (8).
Òîãäà äëÿ êàæäîãî ïðÿìîóãîëüíèêà áóäåò âåðíî ðàññóæäåíèå, ïðèâåäåííîå âûøå.  ïðåäåëå êîãäà ðàçáèåíèå áóäåò ñòàíîâèòüñÿ áîëåå ìåëêèì,âêëàäû îò ñîïðÿæåííûõ ðåáåð ïðÿìîóãîëüíèêîâ áóäóò ñîêðàùàòüñÿ.  ðåçóëüòàòå âñå, ÷òîîñòàíåòñÿ ýòî èíòåãðàë ïî ãðàíèöåZZ2∂M ,aòî åñòü:d x ∂a v =MIdσa v a .(98)∂MÎáîáùåíèå ýòîãî âûâîäà íà ñëó÷àé áîëüøåé ðàçìåðíîñòè î÷åâèäíî. Ýòî çàâåðøàåò ñõåìàòè÷åñêîå äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû Ñòîêñà.Âîïðîñû è çàäà÷èFνµ Fαν Fµα = 0.•Ïîêàæèòå, ÷òî•Íàéäèòå óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ äëÿ äåéñòâèÿ•Ïîëó÷èòå (84) èç ïðèíöèïà íàèìåíüøåãî äåéñòâèÿ.ãäåaèb íåêîòîðûå ðàçìåðíûå êîíñòàíòû.70S =Rd4 x a Fµν F µν + b Fνµ Fαν Fβα Fµβ ,•àññìîòðèì íå èíâàðèàíòíîåîòíîñèòåëüíî ïðåîáðàçîâàíèéËîðåíöà, íåëèíåéíîåhi2 hi2 R 4˙~ 2˙~ + a A,~ ∂~ × A~d x A − ∂~ × A, ãäå a íåêîòîðàÿ ðàçìåðäåéñòâèå S =íàÿ êîíñòàíòà. Îíî ìîæåò îïèñûâàòü ïîâåäåíèå ÝÌ ïîëåé â êàêîéíèáóäü ñðåäå.Íàéäèòå óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ ñëåäóþùèå èç ýòîãî äåéñòâèÿ.71Ñèììåòðèè è çàêîíû ñîõðàíåíèÿ â ïðèñóòñòâèèïîëåé, òåíçîð ýíåðãèèèìïóëüñà ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ è ÷àñòèö, áàëàíñ ýíåðãèè ÷àñòèö è ïîëÿ.Ëåêöèÿ VII;1.Íà ïðåäûäóùèõ ëåêöèÿõ ìû ââåëè äåéñòâèå, êîòîðîå îïèñûâàåò âçàèìîäåéñòâèå ÝÌïîëÿ è ñèñòåìûNçàðÿæåííûõ òî÷å÷íûõ ÷àñòèö:S Aµ (x), zqµ (τ ) = −−ãäåNXmq cq=1zqµ (τq )Zdτqqżq2 (τq ), ìèðîâàÿ ëèíèÿ116 π cZ4d x Fµν Fµj (x) =NXeq cq=1q é÷àñòèöûµνZ1− 2cq = 1, .
. . , N ,Zd4 xAµ (x) j µ (x) −dτq żqµ (τq ) δ (4) [x − zq (τq )] ,àτq(99) ñîáñòâåííîå âðåìÿ âäîëü ååìèðîâîé ëèíèè. ýòîì äåéñòâèè îáîáùåííûìè êîîðäèíàòàìè ÿâëÿþòñÿ êàê Aµ (x), òàê è âåñü íàáîðµzq (τq ), q = 1, . . . , N . Åñëè âàðüèðîâàòü ýòî äåéñòâèå ïî zq̄µ (τq̄ ) ïðè èêñèðîâàííîì Aµ (x) èµâñåõ îñòàëüíûõ zq (τq ), q 6= q̄ , òî ïåðâûé ÷ëåí â ðàññìàòðèâàåìîì äåéñòâèè íå äàåò âêëàäàâîîáùå, à èç ïîñëåäíèõ äâóõ ìû ïîëó÷àåì óðàâíåíèå äâèæåíèÿ äëÿ ÷àñòèöû ïîä íîìåðîìq̄âî âíåøíåì ïîëå:duµq̄eq̄= Fνµ uνq̄ ,mq̄ cdsq̄cÒàê ìû ïîëó÷èì óðàâíåíèÿ äëÿ âñåõq.Aµ (x)Åñëè æå âàðüèðîâàòü äåéñòâèå ïîsq̄ = c τq̄ïðè èêñèðîâàííûõzqµ (τq ), q = 1, .
. . , N ,òîòðåòèé ÷ëåí â ðàññìàòðèâàåìîì äåéñòâèè íå äàåò âêëàäà, à èç ïåðâûõ äâóõ ìû ïîëó÷àåìµóðàâíåíèå äëÿ ïîëÿ Aµ (x) ñ òîêîì j (x) â êà÷åñòâå èñòî÷íèêà:∂ µ Fµν =4πjν .cÇàäà÷à êëàññè÷åñêîé ýëåêòðîäèíàìèêè (ÝÄ) ñîñòîèò èìåííî â ðåøåíèè ïîëó÷åííîé ñèñòåìû óðàâíåíèé äëÿ ÝÌ ïîëÿ è ñèñòåìû ÷àñòèö.  îáùåé ñèòóàöèè ýòî ÿâëÿåòñÿ î÷åíüñëîæíîé çàäà÷åé.  ïîñëåäóþùèõ ëåêöèÿõ ìû èçó÷èì íåêîòîðûå ïðèìåðû, êîãäà îíà ðåøàåòñÿ òî÷íî è êîãäà åå ìîæíî ðåøèòü â õîðîøåì ïðèáëèæåíèè. Íàïðèìåð, êîãäà ìûðàññìàòðèâàëè äðåé ÷àñòèö âî âíåøíè ïîëÿõ, ìû ðåøàëè ýòó çàäà÷ó â ïðèáëèæåíèè,êîãäà ïîëÿ, ñîçäàâàåìûå ñàìèìè ÷àñòèöàìè áûëè ïðåíåáðåæèìî ìàëû ïî ñðàâíåíèþ ñâíåøíèìè ïîëÿìè.Ïðè ðåøåíèè ïîäîáíûõ çàäà÷ î÷åíü ïîìîãàåò çíàíèå ðàçëè÷íûõ çàêîíîâ ñîõðàíåíèÿ.Êàê âû âîçìîæíî óæå ïîíèìàåòå, çàêîíû ñîõðàíåíèÿ ñëåäóþò èç èíâàðèàíòíîñòåé äåéñòâèÿ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
