Лекции по СТО и классической термодинамике (1183864), страница 15
Текст из файла (страница 15)
àññìàòðèâàåìîå íàìè äåéñòâèå èíâàðèàíòíî ïî êðàéíåé ìåðå îòíîñèòåëüíî êàëèá′ðîâî÷íûõ ïðåîáðàçîâàíèé Aµ = Aµ − ∂µ α, îòíîñèòåëüíî ïðåîáðàçîâàíèé Ëîðåíöà, à òàêæå îòíîñèòåëüíî òðàíñëÿöèé â ÏÂ. Ïîñëåäíÿÿ èíâàðèàíòíîñòü ñëåäóåò èç îäíîðîäíîñòèÏÂ. À èìåííî, èç òîãî àêòà, ÷òî Ëàãðàíæåâà ïëîòíîñòü äëÿ âûøåóêàçàííîãî äåéñòâèÿíå çàâèñèò ÿâíî îòxµ ,à òîëüêî êàê ñëîæíàÿ óíêöèÿ ÷åðåç çàâèñèìîñòü72Aµ (x):L = L Aµ (x), ∂µ Aν (x), zqµ (τq ) , 6 xµ .Íàéäåì çàêîíû ñîõðàíåíèÿ, ñëåäóþùèå èç ýòèõ èíâàðèàíòíîñòåé Ëàãðàíæèàíà.2. àññìîòðèìêàê äåéñòâèå ìåíÿåòñÿ ïðè êàëèáðîâî÷íîì ïðåîáðàçîâàíèè:1S [Aµ − ∂µ α] − S [Aµ ] = 2cò.ê.Zd4 x jµ ∂ µ α,Fµν , zqµ (τq ) è, ñëåäîâàòåëüíî j µ (x) íå èçìåíÿþòñÿ ïðè êàëèáðîâî÷íûõ ïðåîáðàçîâàíèÿõ.Ïðè ýòîì:ZÈíòåãðàë ïî ãðàíèöå ÏÂ4Iµd x jµ ∂ α =HdV µ .
. . ìûµα jµ dV −Zd4 x α ∂ µ jµ .7êëàäåì ðàâíûì íóëþ , ïðåäïîëàãàÿ, ÷òî íà ïðà-íèöå Ï íåò íè çàðÿäîâ, íè ïîëåé, à ïîòîìó äëÿ èíâàðèàíòíîñòè äåéñòâèÿ îòíîñèòåëüíîR 4êàëèáðîâî÷íûõ ïðåîáðàçîâàíèÿõ íåîáõîäèìî, ÷òîáû íóëþ ðàâíÿëñÿ èíòåãðàëd x α ∂ µ jµïðè ëþáîìα(x).Äëÿ ýòîãî íåîáõîäèìî, ÷òîáû áûë âåðåí∂ µ jµ = 0 çàêîí ñîõðàíåíèÿ ýëåêòðè÷åñêîãî òîêà. Ò.å. ñëåäñòâèåì êàëèáðîâî÷íîé èíâàðèàíòíîñòèÿâëÿåòñÿ çàêîí ñîõðàíåíèÿ çàðÿäà. Ýòî î÷åíü âàæíûé àêò, ïîä÷åðêèâàþùèé óíäàìåíòàëüíîñòü êàëèáðîâî÷íîé ñèììåòðèè.3.
Âûâåäåì òåïåðü êàêîé çàêîí ñîõðàíåíèÿ ñëåäóåò èç òðàíñëÿöèîííîé èíâàðèàíòíîñòèâ ÏÂ. Åãî ìîæíî âûâåñòè òàêèì æå ñïîñîáîì, êàê áûë âûâåäåí âûøå çàêîí ñîõðàíåíèÿçàðÿäà, íî ìû èñïîëüçóåì áîëåå ïðîñòîé ñïîñîá.  ñèëó âûøåóêàçàííîé íåçàâèñèìîñòèËàãðàíæèàíà îò ïîëîæåíèÿ ñèñòåìû çàðÿäîâ è ïîëåé â ÏÂ, ìû èìååì, ÷òî:∂µ L =∂L∂L∂µ Aν +∂µ ∂α Aν∂Aν∂(∂α Aν )â ñèëó ïðàâèëà äèåðåíöèðîâàíèÿ ñëîæíîé óíêöèèçîâàâøèñü óðàâíåíèåì ËàãðàíæàÝéëåðàL[Aµ (x), ∂µ Aν (x)]îòx.Âîñïîëü-∂L∂L= ∂α,∂Aν∂(∂α Aν )ïîëó÷àåì:∂µ L = ∂α∂L∂(∂α Aν )∂L∂µ Aν +∂α ∂µ Aν ⇒ ∂µ L = ∂α∂(∂α Aν )∂L∂µ Aν .∂(∂α Aν )Òåïåðü, ïåðåíîñÿ âñå ÷ëåíû â ïîñëåäíåì ðàâåíñòâå íà ïðàâóþ ñòîðîíó, ïîëó÷àåì:∂αò.å. çàêîí ñîõðàíåíèÿ âèäà7 Ó÷åòêóðñà.∂L∂µ Aν − L δµα∂(∂α Aν )= 0,òàêèõ ãðàíè÷íûõ âêëàäîâ ÿâëÿåòñÿ îòäåëüíîé èíòåðåñíîé çàäà÷åé, âûõîäÿùåé çà ðàìêè íàøåãî73∂α Tµα = 0,(100)ãäåTµα =∂L∂µ Aν − L δµα∂(∂α Aν )(101) êàíîíè÷åñêèé òåíçîð ýíåðãèèèìïóëüñà (ÒÝÈ).
Ïîëó÷åííûé çàêîí ÿâëÿåòñÿ íåêîòîðûìµòåíçîðíûì îáîáùåíèåì çàêîíà ñîõðàíåíèÿ òîêà ∂µ j = 0. Ìû ýòî óâèäèì ÷óòü ïîçæå.Äàííîå îïðåäåëåíèå ÒÝÈ èìååò íåîïðåäåëåííîñòü, ñâÿçàííóþ ñ òåì, ÷òî òåíçîð âèäà∆Tνµ ≡ ∂α Gµαν ,Gµαν ïðîèçâîëüíûé òåíçîð àíòèñèììåòðè÷íûé ïðè ïåðåñòàíîâêå êîâàðèàíòíûõµααµäåêñîâ Gν = −Gν , èìååò 4äèâåðãåíöèþ òîæäåñòâåííî ðàâíóþ íóëþ:ãäå∂µ ∆Tνµ = ∂µ ∂α Gµαν =èí-1(∂µ ∂α − ∂α ∂µ ) Gµαν = 0.2Ïîýòîìó ê âûøå îïðåäåëåííîìó êàíîíè÷åñêîìó âûðàæåíèþ ÒÝÈ âñåãäà ìîæíî äîáàâèòüα÷ëåí âèäà ∆Tν , íå íàðóøèâ ïðè ýòîì çàêîí ñîõðàíåíèÿ.
Îò óêàçàííîé íåîïðåäåëåííîñòèìîæíî èçáàâèòüñÿ, åñëè íàëîæèòü íà ÒÝÈ ñ äâóìÿ êîâàðèàíòíûìè èíäåêñàìè óñëîâèåñèììåòðè÷íîñòè:T̂ µν = T µν + ∆T µν = T̂ νµ ,ïîäîáðàâ ñîîòâåòñòâóþùåãî âèäà âêëàäµναòåíçîð ìîìåíòà ýíåðãèèèìïóëüñà M∆Tνα . Ýòîãî ìîæíî äîáèòüñÿ, åñëè≡ xµ T̂ να − xν T̂ µα . Äåéñòâèòåëüíî:ñîõðàíÿåòñÿ∂α Mµνα = (∂α xµ ) T̂ να − (∂α xν ) T̂ µα = T̂ νµ − T̂ µν = 0.Ìû âñåãäà áóäåì èñïîëüçîâàòü ñèììåòðè÷íûé ÒÝÈ, à íå êàíîíè÷åñêèé (â ñëó÷àå åñëè îíèîòëè÷àþòñÿ).4. Íàéäåì ÿâíûé âèä ÒÝÈ äëÿ ÝÌ ïîëÿ â îòñóòñòâèèïëîòíîñòü ðàâíà:L = − 161π Fµν F µν .çàðÿäîâ, ò.å.
êîãäà ËàãðàíæåâàÒîãäà íàõîäèì:∂L11 νµ=−2 (F νµ − F µν ) = −F∂(∂ν Aµ )16 π4πè êàíîíè÷åñêèé ÒÝÈ ðàâåí:Tαν = −ãäåF 2 ≡ Fµβ F µβ . Ïîëó÷åííûé1 ν 21 νµF ∂α Aµ +δ F ,4π16 π α(102)êàíîíè÷åñêèé ÒÝÈ íè êàëèáðîâî÷íî èíâàðèàíòåí, íè ñèì-ìåòðè÷åí. Äîáàâèì ê íåìó ÷ëåí âèäà∆Tαν =1∂µ (F νµ Aα ) ,4π74êîòîðûé, èñïîëüçóÿ óðàâíåíèÿ Ìàêñâåëëà áåç çàðÿäîâ∆Tαν =∂µ F µν = 0, ìîæíî çàïèñàòüâ âèäå:1 νµF ∂µ Aα .4πÒîãäà ìû ïîëó÷àåì:T̂αν1=−4πFνµ1 ν 2Fαµ − δα F .4Çàìå÷ó, ÷òî ñëåä òàêîãî òåíçîðà ðàâåí íóëþ:T̂νν = 0.(103)Ïîìèìî ýòîãî, ïîëó÷åííûé ÒÝÈÿâëÿåòñÿ è êàëèáðîâî÷íî èíâàðèàíòíûì è ñèììåòðè÷íûì. Îòíûíå ìû âñåãäà áóäåì èñïîëüçîâàòü èìåííî ýòîò ÒÝÈ è îïóñòèì êðûøêó â åãî çíàêå.5.
àñïèøåìT00ïîêîìïîíåíòíî ïëó÷åííûé ÒÝÈ ÷åðåç ÝÌ ïîëÿ~Eè~:B1 0 211 ~ 2 ~ 21 ~ 2 ~ 210µ0iF F0µ − δ0 F = −F F0i −B −E=E +B=−4π44π28πÂåëè÷èíàW ≡ T00(104)ÿâëÿåòñÿ ïëîòíîñòüþ ýíåðãèè ÝÌ ïîëÿ. Äåéñòâèòåëüíî, Ëàãðàâíæåâàïëîòíîñòü ÝÌ ïîëÿ ðàâíà:ãäåT ∝ Ei2 ∝ (∂0 Ai − ∂i A0 )2~2 − B~ 2 ≡ T − U,L ∝ Fµν F µν ∝ E ýòî êèíåòè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ ÝÌ ïîëÿ, ò.ê. ñîäåðæèò ïðîèç-âîäíûå ïî âðåìåíè îò êàíîíè÷åñêèõ ïåðåìåííûõ ∂0 Ai , ò.å.
çàâèñèò îò ñêîðîñòè èçìåíåíèÿ22ýòèõ âåëè÷èí; ïðè ýòîì U ∝ Bi ∝ (ǫijk ∂j Ak ) íå ñîäåðæèò ïðîèçâîäíûõ ïî âðåìåíè, à8ïîòîìó ÿâëÿåòñÿ ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèåé . Ò.ê. Ëàãðàíæåâà ïëîòíîñòü ðàâíà L = T − U ,~2 + B~ 2 äîëæíà áûòü ïëîòíîñòüþ ýíåðãèè.òî âåëè÷èíà W = T + U ∝ Eàññìîòðèì òåïåðü 3âåêòîð:Si = −c Ti0 =c 0jccc 0µF Fiµ =F Fij =(−Ej ) (−ǫijk Bk ) =ǫijk Ej Bk .4π4π4π4πÂåëè÷èíàic h~~~E×BS=4π(105) íàçûâàåòñÿ âåêòîðîì ÓìîâàÏîéíòèíãà.×òîáû ïîíÿòü èçè÷åñêèé ñìûñë âåêòîðà~,Sðàññìîòðèì íóëåâóþ êîìïîíåíòó çàêîíàñîõðàíåíèÿ ýíåðãèèèìïóëüñà óìíîæåííóþ íà ñêîðîñòü ñâåòà:c ∂µ T0µ = c ∂0 T00 + c ∂i T0i = c ∂0 W + ∂i Si =8 Íàïîìíþ,∂~ = 0.W + div S∂t÷òî âûøå ïðè ðàññìîòðåíèè âîëí â êðèñòàëëè÷åñêîé ðåøåòêå ìû ïîëó÷èëè Ëàãðàíæåâóïëîòíîñòü âèäà L = φ̇2 /c̄2 − φ′2 , ãäå ïðè âçÿòèè íåïðåðûâíîãî ïðåäåëà ÷ëåí φ̇2 , ñîäåðæàùèé ïðîèçâîäíûåïî âðåìåíè, ïîëó÷àëñÿ èç êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèè øàðèêîâ, à ÷ëåí φ′2 , ñîäåðæàùèé òîëüêî ïðîèçâîäíóþïî ïðîñòðàíñòâåííîìó íàïðàâëåíèþ èç ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèè ïðóæèí.75Ò.å.
ìû ïîëó÷àåì óðàâíåíèå íåïðåðûâíîñòè èëè çàêîí ñîõðàíåíèÿ ýíåðãèè ÝÌ ïîëÿ. Ò.å.âåêòîð~S ýòî âåêòîð, îïðåäåëÿþùèé ïîòîê ÝÌ ýíåðãèè.6.  ïðèñóòñòâèèçàðÿäîâ ñèòóàöèÿ èçìåíèòñÿ. Óìíîæèì îáå ñòîðîíû óðàâíåíèÿ äâèRduµe(4)µνíà δ[x−z(s)]è ïðîèíòåãðèðóåì ïîds ñîáñòâåííîìóæåíèÿ çàðÿäà: m c=Fuνdscâðåìåíè. Ïîëó÷èì óðàâíåíèå:Zmc+∞−∞eduµ (4)δ [x − z(s)] = F µνdsdscZ+∞−∞ds uν δ (4) [x − z(s)] =1 µνF jν .c2Ïðîèíòåãðèðóåì ëåâóþ ÷àñòü ýòîãî óðàâíåíèÿ ïî ÷àñòÿì, èñïîëüçóÿ ðàâåíñòâî: dz νd (4)δ [x − z(s)] = − ∂ν δ (4) [x − z(s)]= − ∂ν δ (4) [x − z(s)] uν ,dsdsñëåäóþùåå èç ïðàâèëà äèåðåíöèðîâàíèÿ ñëîæíîé óíêöèè.
Òîãäà ïîëó÷àåì:m c ∂νèëè ÷òî òîæå ñàìîåZds uν uµ δ (4) [x − z(s)] =νµ∂ν Tpart=1 µνF jνc21 µνF jν ,c(106)ãäå ìû ââåëèµνTpart= mc2Zds uµ uν δ (4) [x − z(s)](107) ÒÝÈ òî÷å÷íîé ÷àñòèöû. ÄåéñòâèòåëüíîµνTpart= mc2Zdtds µ ν (3)ds µ νu u δ(x0 − c t) δ (3) [~x − ~z (t)] = m cu u δ [~x − ~z (t)] .dtdt ÷àñòíîñòè00Tpart= m c2 u0 δ (3) [~x − ~z (t)]R 300 ïëîòíîñòü ýíåðãèè òî÷å÷íîé ÷àñòèöû, ò.ê.d V Tpart= m c2 u0 = p0 c, ãäå MM3ìåðíîãî ïðîñòðàíñòâà, âêëþ÷àþùàÿ ÷àñòèöó â ìîìåíò âðåìåíè t.
Äàëååîáëàñòü0i00Tpart= m c2 ui δ (3) [~x − ~z (t)] = Tpartvi ïëîòíîñòü èìïóëüñà òî÷å÷íîé ÷àñòèöû.  ïîñëåäíåé îðìóëå ìû âîñïîëüçîâàëèñü òåì,iiii÷òî u = dz /ds, à v = dz /dt.Êàê ìû âèäèì, â ïðèñóòñòâèè ïîëÿ ÒÝÈ ÷àñòèö íå ñîõðàíÿåòñÿ, ò.ê. â ñèëó (106)νµìû èìååì ∂ν Tpart 6= 0: ïîëå î÷åâèäíî ìîæåò óíîñèòü ýíåðãèþ â âèäå èçëó÷åíèÿ èëè æåïðèâíîñèòü åå ðàçãîíÿÿ ÷àñòèöû. Òàê æå â ïðèñóòñòâèè ÷àñòèö íå áóäåò ñîõðàíÿòüñÿ ÒÝȵν1F µα Fαν − 14 η µν F 2 , ðàññìîòðåííûé íàìè âûøå â ýòîé ëåêöèè.
Îäíàêî,ïîëÿ Tf ield = −4πµνµνêàê ìû ñå÷àñ óâèäèì, áóäåò ñîõðàíÿòüñÿ ñóììàðíûé ÒÝÈ äëÿ ÷àñòèö è ïîëÿ T= Tpart+Tfµνield . Äåéñòâèòåëüíî ïîêàæåì, ÷òî âûïîëíÿåòñÿ óðàâíåíèå 761 µνF jν = −∂ν Tfµνieldc(108) áàëàíñà ýíåðãèè ÷àñòèö è ÝÌ ïîëÿ. Îïðåäåëèì 4âåêòîð4 π f µ ≡ − 4cπ F µν jνè ïîä-ñòàâèì â íåãî âûðàæåíèå äëÿ ïëîòíîñòè 4òîêà, ñëåäóþùåå èç óðàâíåíèé Ìàêñâåëëàc∂ µ Fµν . Òîãäà4πjν =4 π f µ = −F µα ∂ ν Fαν = −∂ ν (F µα Fαν ) + Fαν (∂ ν F µα ) .Âîñïîëüçóåìñÿ òåïåðü óðàâíåíèåì:∂ ν F µα + ∂ α F νµ + ∂ µ F αν = 0,(109)µναβêîòîðîå òîæäåñòâåííî ýêâèâàëåíòíî ïåðâîé ïàðå óðàâíåíèé Ìàêñâåëëà ǫµνµ νν µè, êàê ëåãêî ïðîâåðèòü, òîæäåñòâåííî âûïîëíÿåòñÿ, åñëè F=∂ A −∂ A .ïîñëåäíåå óòâåðæäåíèå.Óìíîæàÿ ðàññìàòðèâàåìîå óðàâíåíèå íàFαν∂ν Fαβ = 0Ïðîâåðüòåè ñóììèðóÿ ïî ïîâòîðÿþùèìñÿ èíäåêñàì,ïîëó÷àåì, ÷òîÒîãäà4 π fµ11Fαν ∂ ν F µα = − Fαν ∂ µ F αν = − ∂ µ F 2 .24 µα1 µ 2ν= −∂ F Fαν + 4 δν F .
Ò.å. äåéñòâèòåëüíî f µ = −∂ν Tfνµieldè óðàâíåíèåáàëàíñà ýíåðãèè ÷àñòèö è ÝÌ ïîëÿ âåðíî.7.Ñëåäîâàòåëüíî, ìû èìååì çàêîí ñîõðàíåíèÿ ïîëíîãî ÒÝÈ ñèñòåìû ÷àñòèö è ÝÌïîëÿνµ∂ν Tpart+ Tfνµield = 0.(110)àññìîòðèì íóëåâóþ êîìïîíåíòó ýòîãî óðàâíåíèÿ:µ00000i0i00 = ∂µ Tpart+ Tfµ0ield = ∂0 Tpart + Tf ield + ∂i Tpart + Tf ieldÏðîèíòåãðèðóåì ýòî óðàâíåíèå ïî áîëüøîé îáëàñòèM3ìåðíîãî ïðîñòðàíñòâà â äàííûéìîìåíò âðåìåíè. Ïðåäïîëàãàÿ, ÷òî ãðàíèöó ýòîé îáëàñòè â âûáðàííûé ìîìåíò âðåìåíè÷àñòèöû íå ïåðåñåêàþò, ìû ïîëó÷àåì èíòåãðàëüíîå óðàâíåíèå:ddtãäåEq ýíåðãèÿ"Zq é ÷àñòèöû,3Wd V +MàNXq=1∂M#Eq = −I ãðàíèöà îáëàñòè~ d~s,S∂MM . Ò.å. ýíåðãèÿñèñòåìû ÷àñòèö èïîëÿ â íåêîòîðîé îáëàñòè ïðîñòðàíñòâà, âêëþ÷àþùåé â ñåáÿ âñå ÷àñòèöû ñèñòåìû, èçìåíÿåòñÿ òîëüêî, åñëè ñóùåñòâóåò ïîòîê ýíåðãèè ÝÌ ïîëÿ ÷åðåç ãðàíèöó ðàññìàòðèâàåìîéîáëàñòè.Âîïðîñû è çàäà÷è77•Ïîäóìàéòå ñàìîñòîÿòåëüíî êàêîé çàêîí ñîõðàíåíèÿ ñëåäóåò èç èíâàðèàíòíîñòèäåéñòâèÿ/Ëàãðàíæèàíà îòíîñèòåëüíî ïðåîáðàçîâàíèé Ëîðåíöà.•Óáåäèòåñü, ÷òî ê ÒÝÈ âñåãäà ìîæíî äîáàâèòü è òåíçîð âèäà•Ïîäóìàéòå êàêîé èçè÷åñêèé ñìûñë èìåþò êîìïîíåíòûäëÿ ïðîèçâîëüíîãî ñêàëÿðíîãîT (x).∆Tµν ≡ [∂µ ∂ν − ηµν ∂α ∂ α ] TT ij , i = 1, 2, 3ÒÝÈ?T ijíàçûâàåòñÿ òåíçîðîì íàïðÿæåíèé Ìàêñâåëëà.
Îáðàòèòå âíèìàíèå, ÷òî∂ iS + ∂ j Tjic ∂t0 = ∂ µ Tµi = ∂ 0 T0i + ∂ j Tji =òîæå îïðåäåëÿåò òðè óðàâíåíèÿ íåïðåðûâíîñòè.•Ïðîñòåéøåå äåéñòâèå äëÿ ñêàëÿðíîãî ïîëÿφ,êîòîðîå èíâàðèàíòíî îòíîñèòåëüíîïðåîáðàçîâàíèé Ëîðåíöà, èìååò ñëåäóþùèé âèä:S=ãäåV (φ)Z1µ∂µ φ∂ φ − V (φ) ,dx24 ïðîèçâîëüíûé ïîëèíîì îòφ.Íàéäèòå óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ è òåíçîðýíåðãèèèìïóëüñà ñëåäóþùèé èç ýòîãî äåéñòâèÿ. ×òî ÿâëÿåòñÿ ïëîòíîñòüþ ýíåðãèè,à ÷òî ÿâëÿåòñÿ àíàëîãîì âåêòîðà Ïîéíòèíãà â ýòîì ñëó÷àå?78Ýëåêòðî è ìàãíåòîñòàòèêà, äèïîëüíûé è êâàäðóïîëüíûé ìîìåíòû, ìóëüòèïîëüíîå ðàçëîæåíèå, ìàãíèòíûéäèïîëüíûé ìîìåíò.Ëåêöèÿ VIII;1. Íà÷èíàÿ ñ ýòîé ëåêöèè,ìû áóäåì ðåøàòü óðàâíåíèÿ Ìàêñâåëëà:∂µ F µν =îòíîñèòåëüíîAµïðè çàäàííîìjν .4π νjcÍà÷íåì ìû ñî ñòàòè÷åñêèõ ïîëåé, ñîçäàâàåìûõ ëèáîñòàòè÷åñêèìè çàðÿäàìè, ëèáî æå ñòàöèîíàðíûìè òîêàìè.Äëÿ íà÷àëà îáñóäèì îáùèå ñâîéñòâà ðàññìàòðèâàåìîãî óðàâíåíèÿ.
Ïîäñòàâèì â íåãîFµν = ∂µ Aν − ∂ν Aµ :4π νj .c~2 =− ∆, ãäå ∆ ≡ ∇∂µ (∂ µ Aν − ∂ ν Aµ ) ≡ ∂µ ∂ µ Aν − ∂ ν ∂µ Aµ =~ 2 = 12 ∂ 22∂µ ∂ µ ≡ = ∂02 − ∇c ∂tîïåðàòîð íàçûâàåòñÿ îïåðàòîðîì ïîëó÷åííîì óðàâíåíèèîïåðàòîð Ëàïëàñà. À∂2∂x222∂∂+ ∂y2 + ∂z 2ä'Àëàìáåðà.Ïîëó÷åíííîå óðàâíåíèå âûãëÿäèò äîâîëüíî ñëîæíî. Îäíàêî ó íàñ åñòü íåêîòîðàÿ ñâî′áîäà â âûáîðå Aµ , ñâÿçàííàÿ ñ êàëèáðîâî÷íîé èíâàðèàíòíîñòüþ Aµ = Aµ − ∂µ α.
Ïîäáåðåìµ ′µµµµóíêöèþ α(t, x, y, z) òàêèì îáðàçîì, ÷òîáû ∂ Aµ ≡ ∂ Aµ − ∂ ∂µ α = 0, ò.å. ∂ ∂µ α = ∂ Aµ . ðàññìàòðèâàåìûõ çäåñü óñëîâèÿõ, äëÿ ëþáîãî íàïåðåä çàäàííîãîáðàòü òàêóþα.Aµâñåãäà ìîæíî ïîäî-Íèæå ìû áóäåì èñïîëüçîâàòü âåêòîð ïîòåíöèàë, óäîâëåòâîðÿþùèé ýòîìóóñëîâèþ, è îïóñòèì øòðèõ â åãî áîçíà÷åíèè.Óñëîâèå∂µ Aµ = 0,(111)èêñèðóþùåå êàëèáðîâî÷íóþ ñâîáîäó, íàçûâàåòñÿ êàëèáðîâêîé Ëîðåíöà. Åñëè âûáðàòüâåêòîð ïîòåíöèàë, óäîâëåòâîðÿþùèé ýòîìó óñëîâèþ, òî âòîðàÿ ïàðà óðàâíåíèé Ìàêñâåëëà, çàïèñàííàÿ êàê óðàâíåíèå íàAµ ,ñâåäåòñÿ ê:Aν =4π νj .c(112)Íàïîìíþ, ÷òî â ïåðâîé ëåêöèè ìû ïîëó÷èëè àíàëîãè÷íîå 2ìåðíîå óðàâíåíèå:φ(t, x) ≡∂21 ∂2−c̄2 ∂t2 ∂x2φ(t, x) = 0,îïèñûâàþùåå çâóêîâûå âîëíû â êðèñòàëëå.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
