Лекции по СТО и классической термодинамике (1183864), страница 19
Текст из файла (страница 19)
Èç íèõ ïåðâàÿíîé. Àíòèñèììåòðè÷íàÿ æå, íàïðîòèâ, ÷èñòî ìíèìà. Âñÿêèé èíâàðèàíòíûé (ÿâëÿþùèéñÿðåçóëüòàòîì óñðåäíåíèÿ) àíòèñèììåòðè÷íûé òåíçîð ñ äâóìÿ èíäåêñàìè, ïðèíèìàþùèìèäâà çíà÷åíèÿ, ïðîïîðöèîíàëåí 2ìåðíîìó àáñîëþòíî àíòèñèììåòðè÷íîìó òåíçîðó, ò.å.1i(ρij − ρji ) = − ǫij A,22ãäåA âåùåñòâåííûéïñåâäîñêàëÿð. Ýòà âåëè÷èíà ïñåâäîñêàëÿð, à íå ñêàëÿð (ò.å.
ìåíÿåòçíàê ïðè èíâåðñèè êîîðäèíàò) ïîòîìó ÷òî òåíçîðǫijìåíÿåò çíàê ïðè èíâåðñèè, àρijíåò.Òàêèì îáðàçîì, ïîëÿðèçàöèîííûé òåíçîð ìîæíî ïðåäñòàâèòü êàêρij = Sij −iǫij A,2Sij = Sji .(143)Åñòü è äðóãèå óäîáíûå ïðåäñòàâëåíèÿ äëÿ ïîëÿðèçàöèîííîãî òåíçîðà. Íàïðèìåð, ÷åðåçêâàòåðíîèîíû. Îäíàêî ìû èõ çäåñü îáñóæäàòü íå áóäåì.7.
Òåïåðü ÿ õî÷ó ðàññêàçàòü î òîì êàê óâèäåòü, ÷òî ïîëå ÿâëÿåòñÿ áåñêîíå÷íûì íàáîðîìîñöèëëÿòîðîâ. Ýòîò àêò ìû óæå âñòðå÷àëè íà ïåðâîé ëåêöèè. Ñåé÷àñ æå íàñ èíòåðåñóåòïîèñê ñîáñòâåííûõ êîëåáàíèé ïîëÿ.Ïðîèçâîëüíîå ðåøåíèå ñèñòåìû óðàâíåíèé (137) â ñèëó ïðèíöèïà ñóïåðïîçèöèè ìîæíî ïðåäñòàâèòü êàê ñóììó ïëîñêèõ ìîíîõðîìàòè÷åñêèõ âîëí ñ ðàçíûìè âîëíîâûìè 4αâåêòîðàìè kµ , óäîâëåòâîðÿþùèìè óñëîâèþ kα k = 0, è ðàçíûìè ïîëÿðèçàöèÿìè ξµ (k) ≡µÃµ (k), óäîâëåòâîðÿþùèìè óñëîâèþ k õ (k) = 0:Aµ (x) =Ò.ê.
ñïåêòð âîçìîæíûõ çíà÷åíèéZd4 kνõ (k) e−i kν x δ (kα k α ) .4(2 π)kµ , óäîâëåòâîðÿþùèõóñëîâèþkα k α = 0, ÿâëÿåòñÿ íåïðå-ðûâíûì, òî âìåñòî ñóììû ìû èìååì èíòåãðàë. Ôàêòè÷åñêè ýòà îðìóëà çàäàåò ðàçëîæåíèå â ðÿä Ôóðüå ïðîèçâîëüíîãî ðåøåíèÿ ðàññìàòðèâàåìîé ñèñòåìû óðàâíåíèé, àõ (k)Ôóðüå ãàðìîíèêè ðàññìàòðèâàåìîãî ïîëÿ, ÷òî è îáúÿñíÿåò çàìåíó èõ îáîçíà÷åíèÿ. Óñëîαâèå kα k = 0 ó÷òåíî â èíòåãðàëå Ôóðüå â âèäå δ óíêöèè.
Ïðè ýòîì, ò.ê. êàëèáðîâî÷íîå∗∗ïîëå ÿâëÿåòñÿ âåùåñòâåííûì Aµ (x) = Aµ (x), òî, êàê íå òðóäíî âèäåòü, õ (k) = õ (−k).4Ïîä÷åðêíó, ÷òî d k ÿâëÿåòñÿ Ëîðåíö èíâàðèàíòîì. Äåéñòâèòåëüíî, ò.ê. kµ ïðåîáðàçó4åòñÿ êàê 4âåêòîð, òî ÿêîáèàí çàìåíû d k îò îäíîé ÑÎ ê äðóãîé ÿâëÿåòñÿ äåòåðìèíàíòîì4αìàòðèöû ïðåîáðàçîâàíèÿ Ëîðåíöà, êîòîðûé ðàâåí åäèíèöå. Ñëåäîâàòåëüíî, d k δ (kα k )òîæå ÿâëÿåòñÿ Ëîðåíö èíâàðèàíòîì. ÏîýòîìóAµ (x),ïðåäñòàâëåííûé â âèäå âûøåóêàçàí-íîãî èíòåãðàëà Ôóðüå, äåéñòâèòåëüíî ïðåîáðàçóåòñÿ êàê 4âåêòîð, åñëèõ (k)ïðåîáðàçó-åòñÿ êàê 4âåêòîð.Ïðåäñòàâëåíèå â âèäå ðÿäà Ôóðüå ìîæíî óïðîñòèòü.
Îäèí èç ÷åòûðåõ èíòåãðàëîâìîæíî âçÿòü ñ èïîëüçîâàíèåìøèñü îäíèì èç ñâîéñòâδ óíêöèèδ óíêöèè,d4 kïîä èíòåãðàëîì. Äåéñòâèòåëüíî, âîñïîëüçîâàâ-ìû ïîëó÷àåì:96ZZZZZZZZ Z Z Z d3~k~ 22~d k δ k0 − k · · · = dk0 δ k0 − k ·~ · · · =k 4Èç ýòîãî ðàâåíñòâà â ÷àñòíîñòè ñëåäóåò, ÷òî âûðàæåíèåd3~k/|~k|d3~k ....~ k ÿâëÿåòñÿ Ëîðåíöè èíâà-ðèàíòîì, à ïîòîìó ïðåäñòàâëåíèå âåêòîð ïîòåíöèàëà â âèäå ðÿäà Ôóðüå1Aµ (t, ~x) =(2 π)4Zd3 k~õ (k) e−i k c t+i k ~x ,kk ≡ |~k|(144)ïðåîáðàçóåòñÿ êàê 4âåêòîð ïðè ïðåîáðàçîâàíèÿõ Ëîðåíöà.  Ëîðåíö èíâàðèàíòíîñòè êîìd3 k/k ìîæíî óáåäèòüñÿ è ïðÿìûì îáðàçîì, ïîäñòàâèâ â íåå ïðåîáðàçîâàííûå ïîËîðåíöó |~k| è d3 k .0Òåïåðü âñïîìíèì, ÷òî â ñëó÷àå ñâîáîäíûõ ÝÌ âîëí âñåãäà ìîæíî ïîëîæèòü A (x) = 0,0à ïîòîìó è à (k) = 0. Äàëåå, ïåðåîïðåäåëèì âåëè÷èíó Ãi (k) òàêèì îáðàçîì, ÷òîáû óáðàòüáèíàöèèâñå êîýèöèåíòû è çàâèñèìîñòü îò âðåìåíè ïîä èíòåãðàëîì â (144) â åå îïðåäåëåíèå:~ (t, ~x) =AZ ~~d k à t, ~k ei k ~x .3(145)Ïîäñòàâèì ýòî âûðàæåíèå â óðàâíåíèå ÌàêñâåëëàZZ ~ (t, ~x)1 ∂21 ∂2A~3 ~i ~k ~x3 ~~~− ∆A (t, ~x) = 2 2d k à t, k e−∆d k à t, ~k ei k ~x =0= 22c∂tc ∂tZZ 1 ∂ 2 ~ ~ i ~k ~x~3 ~3− d k à t, ~k ∆ ei k ~x == d k 2 2 à t, k ec ∂tZZ 1 ∂ 2 ~ ~ i ~k ~x~33 ~= d k 2 2 à t, k e+ d k à t, ~k ~k 2 ei k ~x =c ∂tZ1 ∂ 2 ~ ~ ~ 2 ~ ~ i ~k ~x3= d k 2 2 à t, k + k à t, k ec ∂tÄëÿ òîãî, ÷òîáû ïîñëåäíåå âûðàæåíèå ðàâíÿëîñü íóëþ íåîáõîäèìî, ÷òîáû áûëî âûïîëíåíîóðàâíåíèå~¨ + c2 ~k 2 Ã~ = 0,Ã(146)~k ) ÝÌ âîëíû ïðåäñòÿâëÿåò ñîáîé ñâîáîäíûék ) îñöèëëÿòîð.
Ýòî îçíàäëÿ äðóãèõ çíà÷åíèé ~ò.å. êàæäàÿ èç ãàðìîíèê Ôóðüå (äëÿ êàæäîãî(íå âçàèìîäåéñòâóþùèé ñ îñöèëëÿòîðàìè÷àåò, ÷òî ãàðìîíèêè Ôóðüå (ïëîñêèå ìîíîõðîìàòè÷åñêèå âîëíû) ÿâëÿþòñÿ ñîáñòâåííûìèêîëåáàíèÿìè ïîëÿ êîëåáàíèÿìè, â êîòîðûõ ïîëå ðàçáèâàåòñÿ íà íàáîð íåçàâèñèìûõîñöèëëÿòîðîâ.Íå òðóäíî óáåäèòüñÿ ïðÿìûì âû÷èñëåíèåì, ÷òî óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ (146) ñëåäóþò èçïðèíöèïà íàèìåíüøåãî äåéñòâèÿ äëÿ97Z Z˜~S A ∝ dt d3 kà ýíåðãèÿ ïîëÿ çàäàåòñÿ âûðàæåíèåìE∝Z#" 2 ~˙ 2~ ,à − c2 ~k 2 à (147)#" 2 ˙~~ + c2 ~k 2 Ãd3 k à .(148) âåðíîñòè ïîñëåäíèõ äâóõ óòâåðæäåéíèé ìîæíî óáåäèòüñÿhiè ïðÿìîé ïîäñòàíîâêîéh âûðà-æåíèÿ (145) â îðìóëû äëÿ äåéñòâèÿãäå~E8.S∝RR~2 − B~2dt d x E3è ýíåðãèèE∝R~2 − B~2dx E3~~ = rotA~.= − 1c ∂∂tA è B×òîáû ïðîÿñíèòü ñèòóàöèþ âåðíåìñÿ îïÿòü ê îäíîìåðíîé ðåøåòêå øàðèêîâ.
Óðàâ-íåíèÿ äâèæåíèÿ äëÿ òàêîé ðåøåòêè èìåþò âèä:m φ̈j (t) = k [φj+1(t) − φj (t)] − k [φj (t) − φj−1(t)] ,∀j ∈ Zè â íåïðåðûâíîì ïðåäåëå ïåðåõîäÿò â1φ̈(t, x) = φ′′ (t, x).c̄2 ïåðâîì ñëó÷àå ìû èìååì ñèñòåìó ñâÿçàííûõ äèåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé äëÿ âñåõZ(óðàâíåíèå äëÿφjçàâèñèò îòj∈φj+1 è φj−1 ). Ìû õîòèì ñäåëàòü òàêóþ çàìåíó ïåðåìåííûõ,ïðè êîòîðîé ýòà ñèñòåìà ïåðåéäåò â ñèñòåìó íåçàâèñèìûõ óðàâíåíèé, ò.å. ìû õîòèì ïåðåéòèê ñîáñòâåííûì êîëåáàíèÿì ðåøåòêè.Ïðåäñòàâèìφj (t) =+∞Xφ̃n (t) ei j n .n=−∞Ýòî ïðåäñòàâëåíèå ÿâëÿåòñÿ äèñêðåòíûì àíàëîãîì íåïðåðûâíîãî ïðåäñòàâëåíèÿ Ôóðüå:φ(t, x) =Z+∞−∞dkφ̃(t, k) ei k x .2πÇàìå÷ó, ÷òî ò.ê. îáîáùåííûå êîîðäèíàòû øàðèêîâ ÿâëÿþòñÿ äåéñòâèòåëüíûìèφj (t),òîφ̃∗n (t) = φ̃−n (t).(149)φ∗j (t) =Ïîñëå ïîäñòàíîâêè äàííîãî äèñêðåòíîãî ïðåäñòàâëåíèÿ Ôóðüå â óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ,ìû ïîëó÷àåì:mXX¨φ̃n ei j n = kφ̃n ei (j+1) n − 2 ei j n + ei (j−1) n =⇒nXnnhi¨ei j n m φ̃n + k φ̃n 2 − ei n − e−i n = 0.98i,×òîáû ïîñëåäíåå ðàâíåíñòâî áûëî âåðíî, íåîáõîäèìî âûïîëíåíèå ñëåäóþùåãî óðàâíåíèÿm φ̃¨n + 2 k φ̃n (1 − cos n) = 0.φ̃n ìû èìååì äåëî ñ ñèñòåìîé íåçàâèñèìûõ óðàâíåíèé (äëÿ êàæäîãî n).Èíûìè ñëîâàìè φ̃n ÿâëÿþòñÿ ñîáñòâåííûìè êîëåáàíèÿìè ðåøåòêè ñ ñîáñòâåííûìè ÷àñòî2k2òàìè ωn =(1 − cos n) = 4mk sin2 n2 .mÒ.å.
â òåðìèíàõ íåïðåðûâíîì ïðåäåëå ïîäîáíîå ïðåîáðàçîâàíèå èìåëî áû âèä:Z1 ∂2c̄2 ∂t2Zikxdk φ̃(t, k) e∂2= 2∂xZ1 ∂2φ̃(t, k) −c̄2 ∂t2Zdk ei k xikxdk eZdk φ̃(t, k) ei k x =⇒∂2dk φ̃(t, k) 2 ei k x = 0 =⇒∂xhi¨φ̃(t, k) + k 2 c2 φ̃(t, k) = 0.Ò.å., ïðîäåëàâ ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå, ìû ïåðåøëè ê ñîáñòâåííûì êîëåáàíèÿì ïîëÿ:¨φ̃(t, k) + k 2 c2 φ̃(t, k) = 02 2ñ ñîáñòâåííûìè ÷àñòîòàìè ωk = c k . È ýòî ïðîèçîøëî áëàãîäàðÿ òîìó, ÷òî ïëîñêèå âîëíû~ei k x èëè ei k ~x ÿâëÿþòñÿ ñîáñòâåííûìè óíêöèÿìè îïåðàòîðà Ëàïëàñà â ñîîòâåòñòâóþùåì÷èñëå èçìåðåíèé∂ 2 ei k x /∂x2 = −k 2 ei k xèëèi ~k ~x∆e≡∂2∂2∂2++∂x2 ∂y 2 ∂z 2~~ei k ~x = −~k 2 ei k ~xÂîïðîñû è çàäà÷è•Íàéäèòå óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ äëÿ äåéñòâèÿ â òðåõìåðíîì ïðîñòðàíñòâåâðåìåíè (ñìåòðèêîéηij ,à íåδij ):S=ÇäåñüaèbZd3 x a Fij F ij + b ǫijk Ai ∂ j Ak ,i, j = 1, 2, 3. ýòî íåêîòîðûå ðàçìåðíûå êîíñòàíòû.
Íàéäèòå ðåøåíèÿ ïîëó÷åííûõóðàâíåíèé îòâå÷àþùèå ñâîáîäíûì ïëîñêèì ìîíîõðîìàòè÷åñêèì âîëíàì.99Ïîëÿ ñîçäàâàåìûå ðåëÿòèâèñòñêèìè äâèæóùèìèñÿ çàðÿäàìè, óíêöèÿ ðèíà îïåðàòîðà ä'Àëàìáåðà, ïîòåíöèàëûËèåíàðà-Âèõåðòà.Ëåêöèÿ X;1. Ýòà ëåêöèÿ äîñòàòî÷íî òåõíè÷åñêàÿ è ñîäåðæèò ìíîãî âû÷èñëåíèé. Ôèçè÷åñêèé ñìûñëïîëó÷åííûõ îðìóë â îñíîâíîì áóäåò îáñóæäàòüñÿ â ñëåäóþùåé ëåêöèè.µÄëÿ òîãî, ÷òîáû ðåøàòü óðàâíåíèå Ìàêñâåëëà â ñëó÷àå òîêà j îáùåãî âèäàAµ = 4cπ j µ∂µ Aµ = 0íàì íåîáõîäèìî çíàòü óíêöèþ ðèíà,G(x, y),(150)êîòîðàÿ ïî îïðåäåëåíèþ ðåøàåò ñëåäóþ-ùåå âîëíîâîå óðàâíåíèå:x G(x, y) ≡∂2− ∆x∂x20G(x, y) = δ (4) (x − y) .(151)Ôóíêöèÿ ðèíà èìååò èçè÷åñêèé ñìûñë çíà÷åíèÿ ïîëÿ â ìèðîâîé òî÷êåèñòî÷íèêîì, íàõîäÿùèìñÿ â ìèðîâîé òî÷êåy.x,ñîçäàííîãîÏðîñòåéøèì ïðèìåðîì óíêöèè ðèíà,x−~y |) ∝ 1/|~x−~y |,êîòîðûé ìû óæå âñòðå÷àëè â ïðåäûäóùèõ ëåêöèÿõ, ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèå, ϕ(|~óðàâíåíèÿ Ïóàññîíà ∆ϕ(|~x − ~y |) ∝ δ (3) (~x − ~y ).
Äåéñòâèòåëüíî, çàêîí Êóëîíà îïðåäåëÿåòñòàòè÷åñêîå ïîëå â òî÷êå~x,ñîçäàííîå èñòî÷íèêîì íàõîäÿùèìñÿ â òî÷êå~y .Ôóíêöèÿ ðèíà íóæíà ïî òîé ïðè÷èíå, ÷òî åñëè îíà íàì èçâåñòíà, òî ðåøåíèå ñèñòåìûóðàâíåíèé (150) èìååò âèä:4πA (x) =cµãäåAµ0Zd4 y j µ (y) G(x, y) + Aµ0 (x),ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì îäíîðîäíîé ñèñòåìû óðàâíåíèéAµ0 = 0,(152)∂µ Aµ0 = 0, ò.å.ÿâëÿ-åòñÿ êîìïîçèöèåé ÝÌ âîëí ðàçëè÷íîé ïîëÿðèçàöèè è ñ ðàçëè÷íûìè âîëíîâûìè âåêòîðàìè.Âåçäå íèæå ìû îïóñêàåì òàêîé âêëàä â ðåøåíèå íåîäíîðîäíîãî óðàâíåíèÿ Ìàêñâåëëà, ò.å.ìû ïðåäïîëàãàåì, ÷òî ðåøåíèå óðàâíåíèÿ Ìàêñâåëëà îïðåäåëåíî ñ òî÷íîñòüþ äî òàêîãîR 4 µ4πîäíîðîäíîãî âêëàäà. Ôèçè÷åñêèé ñìûñë æå âêëàäàd y j (y) G(x, y) ýòî îïðåäåëåcíèå ïîëÿ â òî÷êå x êàê ñóììû (êîìïîçèöèè) ïîëåé, ñîçäàâàåìûõ â ýòîé òî÷êå êàæäîéµìèðîâîé òî÷êîé, â êîòîðûõ èñòî÷íèê j íå ðàâåí íóëþ.×òîáû óáåäèòüñÿ, ÷òî (152) ðåøàåò (150), ïîäñòàâèì åãî â ïåðâîå óðàâíåíèå èç (150):4πxA (x) =cµZZ4πd4 y j µ (y) x G(x, y) =d y j (y) G(x, y) =cZ4π4π µ=d4 y j µ (y) δ (4) (x − y) =j (x).cc4µÒ.å.
ïåðâîå óðàâíåíèå â (150) âûïîëíåíî.100Ïðåæäå ÷åì äâèãàòüñÿ äàëüøå, îáðàòèì âíèìàíèå íà òî, ÷òî óðàâíåíèå (151) íå ìåíÿåò ñâîåãî âèäà ïðè òðàíñëÿöèÿõ â Ï è ïðè âñåâîçìîæíûõ ïðåîáðàçîâàíèÿõ Ëîðåíöà.Ïîýòîìó åãî ðåøåíèå äîëæíî çàâèñåòü òîëüêî îò èíâàðèàíòíîé îòíîñèòåëüíî ýòèõ ïðå-xµ è yµ . Òàêîé êîìáèíàöèåéÿâëÿåòñÿ ìîäóëü ðàçíîñòè ìåæäópG(x, y) = G(|x − y|), ãäå |x − y| ≡ (x − y)µ (x − y)µ .
Ïîäñòàâèì òåïåðü (152) âîîáðàçîâàíèé êîìáèíàöèèíèìè:âòîðîå óðàâíåíèå èç (150):ZZ4π∂4π4µ∂µ A (x) =d4 y j µ (y) µ G(|x − y|) =∂µd y j (y) G(|x − y|) =cc∂xZZµ∂∂j (y)4π4πd4 y j µ (y) − µ G(|x − y|) =d4 yG(|x − y|) = 0.=c∂yc∂y µµÏðåäïîñëåäíåå ðàâåíñòâî ïîëó÷åíî ïîñëå èíòåãðèðîâàíèÿ ïî ÷àñòÿì, à ïîñëåäíåå ïîµñëå ïðèìåíåíèÿ çàêîíà ñîõðàíåíèÿ çàðÿäà ∂µ j = 0. Ò.å. âòîðîå óðàâíåíèå â (150) òîæåâûïîëíåíî.2. ×òîáû ðåøèòü óðàâíåíèå (151), ïðåäñòàâèì óíêöèþ ðèíà â âèäå èíòåãðàëà Ôóðüå:G(x − y) =Zd4 kµG̃(k) ei kµ (x−y) .4(2 π)δ óíêöèèÄàëåå âñïîìíèì, ÷òî Ôóðüå ïðåäñòàâëåíèå(4)δ (x − y) =Zèìååò âèä:d4 k i kµ (x−y)µe.(2 π)4Òîãäà óðàâíåíèå (151) ïðèíèìàåò âèä:ZÂñïîìèíàÿ, ÷òî÷åñêîìó:µid4 k hµG̃(k)−1ei kµ (x−y) = 0.x4(2 π)µx ei kµ (x−y) = −kα k α ei kµ (x−y), ñâîäèì ïîñëåäíåå óðàâíåíèå ê àëãåáðàè-kα k α G̃(k) = −1,îáùèì ðåøåíèåì êîòîðîãî ÿâëÿåòñÿ:1+ C(k) δ(k 2 ),k2k 2 ≡ kα k α = 0 óíêöèÿ.G̃(k) = −ãäåC(k)ïðîèçâîëüíàÿ ðåãóëÿðíàÿ ïðèG(x − y) = −RZÒîãäàµd4 k ei kµ (x−y)+ G0 (x − y),(2 π)4k2µd4 kei kµ (x−y) C(k) δ(k 2 ) è ñëåäîâàòåëüíî x G0 (x − y) = 0.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
