Лекции по СТО и классической термодинамике (1183864), страница 20
Текст из файла (страница 20)
Ò.ê. ðåøåíèå(2 π)4óðàâíåíèÿ (151), òàê æå êàê è ðåøåíèå óðàâíåíèé Ìàêñâåëëà (150), â ëþáîì ñëó÷àå îïðå-ãäåG0 (x − y) ≡äåëåíî ñ òî÷íîñòüþ äî ðåøåíèÿ îäíîðîäíîãî óðàâíåíèÿ, òî ìû âñåãäà ìîæåì îòáðîñèòüG0 (x − y) â îðìóëå äëÿ G(x − y).Èíòåãðàëüíîå ïðåäñòàâëåíèå äëÿ óíêöèè ðèíà101G(x − y) = −Zµd4 k ei kµ (x−y)=−(2 π)4 kα k αZd3 k(2 π)3Z+∞−∞~dk0 ei k0 (x−y)0 −i k (~x−~y)2πk02 − ~k 2ÿâëÿåòñÿ îðìàëüíûì, à èìåííî ðàñõîäèòñÿ, ò.ê.
íà îñè èíòåãðèðîâàíèÿ ïîäâà ïîëþñàk0k0 = ±|~k| = ±k .k0(153)ìû èìååìÍàì íåîáõîäèìî îïðåäåëèòüñÿ ñ ïðàâèëîì èíòåãðèðîâàíèÿ ïî(ò.å. ñ ïðàâèëîì îáõîäà ïîëþñîâ), ÷òîáû ïðèäàòü ñìûñë ðàññìàòðèâàåìîìó èíòåãðàëó îïðåäåëèòü åãî â ñìûñëå ãëàâíîãî çíà÷åíèÿ.×òîáû èêñèðîâàòü ïðàâèëî îáõîäà ïîëþñîâ íàäî íàëîæèòü îïðåäåëåííûå ãðàíè÷íûåóñëîâèÿ íà óíêöèþ ðèíà èç îáùèõ èçè÷åñêèõ ñîîáðàæåíèé. Ìû ïîòðåáóåì, ÷òîáûGR (x − y) = 0,ify 0 > x0 .(154)Ýòèì óñëîâèåì îïðåäåëÿåòñÿ òàê íàçûâàåìàÿ çàïàçäûâàþùàÿ óíêöèÿ ðèíà.
Èç-çà ýòîãî è âîçíèêàåò èíäåêñR îò àíãëèéñêîãî ñëîâà retarded (çàïàçäûâàþùèé) ó óíêöèèðèíà. Çàïàçäûâàþùàÿ óíêöèÿ ðèíà óäîâëåòâîðÿåò ïðèíöèïó ïðè÷èííîñòè âîçìóµ0ùåíèå ïîëÿ äîëæíî ïðèõîäèòü â ìèðîâóþ òî÷êó x = (x , ~x) (òî÷êó ãäå ïîëå èçìåðÿåòñÿ)µ0y ), ò.å.òîëüêî ïîñëå òîãî êàê îíî áûëî ñîçäàíî èñòî÷íèêîì â ìèðîâîé òî÷êå y = (y , ~µ00GR (x − y) 6= 0, à ñëåäîâàòåëüíî è A 6= 0, òîëüêî åñëè x ≥ y .Òàêèì îáðàçîì:0GR (x − y) ≡ −Θ x − yãäå0Zµd4 k ei kµ (x−y)=−(2 π)4 kα k α0Θ x −yà êîíòóðC0â êîìïëåêñíîé ïëîñêîñòè≡k0Zd3 k −i ~k (~x−~y)e(2 π)3ZCdk0 ei k0 (x−y)0,(155)2 π k02 − ~k 21, x0 ≥ y 0,0, x0 < y 0(156)ïðîõîäèò âäîëü äåéñòâèòåëüíîé îñè Imk0ñëåâà íàïðàâî è îáõîäèò ïîëþñà ïîäèíòåãðàëüíîãî âûðàæåíèÿ,k0 = ±k ,= 0ñíèçó ïî íåáîëü-øèì ïîëóîêðóæíîñòÿì (ñì. ðèñóíîê (9)).
Ñåé÷àñ ìû óâèäèì, ÷òî ïðè òàêîì îïðåäåëåíèèêîíòóðà, ðàññìàòðèâàåìûé èíòåãðàë ïðèâîäèò ê óíêöèè ðèíà, óäîâëåòâîðÿþùåé ïðèíöèïó ïðè÷èííîñòè. Äðóãèå âîçìîæíîñòè â âûáîðå êîíòóðà ïðèâîäÿò ê äðóãèì óíêöèÿìðèíà îòëè÷àþùèìñÿ äðóã îò äðóãà è îò ðàññìàòðèâàåìîé çäåñü óíêöèè íà ïðèáàâëåíèåðåøåíèÿ îäíîðîäíîãî óðàâíåíèÿ.×òîáû âû÷èñëèòü èíòåãðàë ïîk0ñ èñïîëüçîâàíèåì îðìóëû Êîøè (ñì. àïïåíäèêñ âêîíöå ýòîé ëåêöèè), íåîáõîäèìî êàêèì-òî îáðàçîì çàìêíóòü îïðåäåëåííûé âûøå êîíòóð00â êîìïëåêñíîé ïëîñêîñòè k0 . Åñëè (x −y ) < 0, òî êîíòóð C ñëåäóåò çàìêíóòü áåñêîíå÷-Cíîé ïîëóîêðóæíîñòüþ, èäóùåé ïî ÷àñîâîé ñòðåëêå â íèæíåé ïîëóïëîñêîñòè êîìïëåêñíîéR dk0 ei k0 (x−y)0ïëîñêîñòè k0 . Äåéñòâèòåëüíî èíòåãðàëâäîëü ýòîé ïîëóîêðóæíîñòè ðàâåí2πk02 −~k 2íóëþ, ò.ê.
íà íåé ìíèìàÿ ÷àñòü k0 ðàâíà ìèíóñ áåñêîíå÷íîñòè (íà ýòîé ïîëóêîðóæíîi k (x−y)0ñòè e 0= 0). Ïîýòîìó äîáàâëåíèå ê (155) èíòåãðàëà âäîëü òàêîé ïîëóîêðóæíîñòèíå ìåíÿåò åãî çíà÷åíèÿ. Íî ðàññìàòðèâàåìûé çàìêíóòûé êîíòóð íå îõâàòûâàåò íèêàêèõ102èñ. 9:ïîëþñîâ, ò.ê.k0 = ±kíàõîäÿòñÿ âíå åãî â ñèëó ïðèâåäåííîãî âûøå ñîãëàøåíèÿ. Ïîýòî-ìó ïî òåîðåìå Êîøè ìû ïîëó÷àåì, ÷òî òàê îïðåäåëåííàÿ óíêöèÿ ðèíà óäîâëåòâîðÿåò00ïðèíöèïó ïðè÷èííîñòè: GR (x − y) = 0, åñëè x < y .00Äàëåå, åñëè (x − y ) > 0, òî, ïî òîé æå ïðè÷èíå, êîíòóð C ñëåäóåò çàìêíóòü áåñêîíå÷íîé ïîëóîêðóæíîñòüþ, èäóùåé ïðîòèâ ÷àñîâîé ñòðåëêè â âåðõíåé ïîëóïëîñêîñòèêîìïëåêñíîé ïëîñêîñòèk0 .k0 = ±k , à ïîòî00çíà÷åíèå ïðè x − y > 0Òàêîé êîíòóð îõâàòûâàåò èìåííî äâà ïîëþñàìó ðàññìàòðèâàåìûé èíòåãðàë ïîk0íå ðàâåí íóëþ.
Íàéäåì åãîïî îðìóëå Êîøè, âû÷èñëèâ ñóììó âû÷åòîâ â ïîëþñàõk0 = ±k :Z11dk0 ei k0 (x−y)0dk0 ei k0 (x−y)0=−=22kk0 − k k0 + kk2C 2 π k0 − ~C 2π ei k (x−y)0sin [k (x0 − y 0)]e−i k (x−y)000= iΘ x − y=−−Θ x0 − y 0 .2k2kkZ ïîñëåäíåé îðìóëå äëÿ îïðåäåëåíèÿ çíàêà ðåçóëüòèðóþùåãî âûðàæåíèÿ ìû ó÷ëè, ÷òîêîíòóð ïðîõîäèò ïðîòèâ ÷àñîâîé ñòðåëêè â ïîëîæèòåëüíîì íàïðàâëåíèè.Òàêèì îáðàçîì:0GR (x − y) = −Θ ∆xZd3 k −i ~k ∆~x sin [k ∆x0 ]e,(2 π)3k∆x0 ≡ x0 −y 0 , à ∆~x ≡ ~x −~y .
Äëÿ âû÷èñëåíèÿ èíòåãðàëà ïî d3 k âûáåðåì â ïðîñòðàíñòâå~k ïîëÿðíûå êîîðäèíàòû ~k = (k, θk , ϕk ), à îñü kz â ýòîì ïðîñòðàíñòâå íàïðàâèì âäîëü ∆~x.ãäåÒîãäà:103ZZZπ2πsin (k ∆x0 )dθk sin θkdϕk e−i k |∆~x| cos θk=k000ZZ 1Θ (∆x0 ) +∞−i k |∆~x| cos θk0dkkdcosθesink∆x==−k(2 π)20−1Z i k ∆x0 − e−i k ∆x0Θ (∆x0 ) +∞ dk k−i k |∆~x|i k |∆~x| ee−e==−(2 π)2−i k |∆~x|2i0Z +∞Θ (∆x0 )−i k (∆x0 +|∆~x|)−i k (∆x0 −|∆~x| )i k (∆x0 −|∆~x|)i k (∆x0 +|∆~x|)=+e−e−e=dke2 (2 π)2 |∆~x| 0ZΘ (∆x0 ) +∞ dk i k (∆x0 +|∆~x|)i k (∆x0 −|∆~x|)==−ee4 π |∆~x| −∞ 2 πΘ (∆x0 ) =δ ∆x0 − |∆~x| − δ ∆x0 + |∆~x| (157).4 π |∆~x|Θ (∆x0 )G(∆x) = −(2 π)3+∞dk k20x|) 6= 0, åñëè ∆x0 = − |∆~x| < 0, íî Θ (∆x0 ) 6= 0, åñëè ïîñëåäíåì âûðàæåíèè δ (∆x + |∆~00∆x > 0. Ïîýòîìó δ (∆x + |∆~x|) â ýòîì âûðàæåíèè ìîæíî îòáðîñèòü, ïîëó÷èâ îêîí÷à-òåëüíûé îòâåò äëÿ çàïàçäûâàþùåé óíêöèè ðèíà:GR (x − y) =1δ ∆x0 − |∆~x| .4 π |∆~x|(158)Âûðàæåíèå (158) äëÿ óíêöèè ðèíà èìååò ïðîçðà÷íûé èçè÷åñêèé ñìûñë.
Îíî íå ðàâíîíóëþ òîëüêî ïðèc (tx − ty ) ≡ ∆x0 = |∆~x| > 0,ò.å. òîëüêî íà ñâåòîâîì êîíóñå è, áîëååòîãî, íà òîé åãî ÷àñòè, êîòîðàÿ èñõîäèò èç ìèðîâîé òî÷êèyâ áóäóùåå. Äåéñòâèòåëüíîðîæäåííàÿ ÝÌ âîëíà äîëæíà ðàñïðîñòðàíÿòüñÿ ïîñëå ðîæäåíèÿ â ìèðîâîé òî÷êåyñîñêîðîñòüþ ñâåòà âïåðåä â áóäóùåå.Èç ñâîéñòâàδ óíêöèèδ [g(x)] =NXδ (x − xq )q=1|g ′ (xq )|,g(xq ) = 0,∀q = 1, . . . , N(159)âèäíî, ÷òîãäå δ (∆x0 − |∆~x|) + δ (∆x0 + |∆~x|),δ (x − y)2 =2 |∆~x|(x − y)2 ≡ (x − y)µ (x − y)µ , è ìû ìîæåì ïðåäñòàâèòü çàïàçäûâàþùóþ óíêöèþ ðèíàâ áîëåå óäîáíîé äëÿ äàëüíåéøèõ âû÷èñëåíèé îðìå:GR (x − y) =3.Θ (x0 − y 0) δ (x − y)22π(160)Ïðèìåíèì òåïåðü íàéäåííóþ óíêöèþ ðèíà äëÿ âû÷èñëåíèÿ ïîëÿ, ñîçäàâàåìîãîòî÷å÷íîé çàðÿæåííîé ÷àñòèöåé, ñîâåðøàþùåé ïðîèçâîëüíîå çàäàííîå äâèæåíèå.
Ïóñòüzµ (s) ìèðîâàÿ ëèíèÿ ÷àñòèöû. Ñîîòâåòñòâóþùèé 4âåêòîð òîêà èìååò âèä:104µj (y) = e cZ+∞−∞ds uµ (s) δ (4) [y − z(s)] ,uµ (s) ≡dz µ (s).dsÏîäñòàâèâ ÿâíûé âèä çàïàçäûâàþùåé óíêöèè ðèíà è ýòî âûðàæåíèå äëÿ òîêà â îð4(4)ìóëó (152) è âçÿâ èíòåðãàë ïî d y ñ èñïîëüçîâàíèåì δ[y − z(s)], ìû ïîëó÷èì:µA (x) = 2 eZ ds Θ x0 − z 0 (s) δ [x − z(s)]2 uµ (s).(161)Äàëåå, èñïîëüçóÿ ñâîéñòâî (159), ïðåäñòàâèìδ(s − sr ),δ [x − z(s)]2 = d[x−z(s)]2 ds ãäåd[x − z(s)]2d[x − z(s)]µdz µ (s)= 2 [x − z(s)]µ= −2 [x − z(s)]µ=dsdsds= −2 [x − z(s)]µ uµ (s) ≡ −2 [x − z(s)] · u(s),àsrÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì óðàâíåíèÿ[x − z(sr )]2 = 0,x0 > z 0 (sr ). òðåõìåðíîé îðìå ýòî óðàâíåíèå èìååò âèä:t − tr =tr ≡ z 0 (sr )/cãäå|~x − ~z (tr )|,c êîîðäèíàòíîå âðåìÿ, ñîîòâåòñòâóþùåå ñîáñòâåííîìósr .Ïîêàæåì, ÷òî óðàâíåíèå íà sr èìååò åäèñòâåííîå ðåøåíèå.
Äåéñòâèòåëüíî, ðàññìîòðèì2óíêöèþ ϕ(s) ≡ [x − z(s)] . Åå ïðîèçâîäíàÿ ðàâíà:dϕ(s)(~v, [~x − ~z ])µ0 00< 0,= −2 [x − z(s)]µ u (s) = −2u [x − z ] 1 −dsc (x0 − z 0 )x0 > z 0 (~v = d~r/dt, u0 = c dt/ds). Ñëåäîâàòåëüíî ϕ(s) ÿâëÿåòñÿ ìîíîòîííîéóíêöèåé îò s. Ïîýòîìó ó óðàâíåíèÿ ϕ(sr ) = 0 ìîæåò áûòü òîëüêî îäèí êîðåíü.Ôèçè÷åñêèé ñìûñë tr è sr ýòî ìîìåíòû êîîðäèíàòíîãî è ñîáñòâåííîãî, ñîîòâåòñòâåí-ò.ê.|~v | < cèíî, âðåìåíè èçëó÷åíèÿ (radiation) òîé ÝÌ âîëíû, êîòîðàÿ íàáëþäàåòñÿ â ìèðîâîé òî÷êåx.Ýòà âîëíà ñîçäàåòñÿ â òî÷êåzµ (sr )íà ìèðîâîé ëèíèè ÷àñòèöû, êîòîðàÿ ñèäèò âxµ = (t, ~x).
Ïðè ýòîì ðàçíîñòüâåðøèíå ñâåòîâîãî êîíóñà, ñîäåðæàùåãî ìèðîâóþ òî÷êót − tr = |~x − ~z(tr )| /c > 0 ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé âðåìÿ ðàñïðîñòðàíåíèÿ ÝÌ âîëíû èçz(tr ) â òî÷êó x, èçìåðåííîå â ëàáîðàòîðíîé ñèñòåìå îòñ÷åòà (ñìîòðèòå ðèñóíîê).òî÷êèÒàêèì îáðàçîì:Aµ (x) = 2 eZe uµ (sr )δ(s − sr ) µe uµ (s) u (s) =ds ,=d[x−z(s)]2 u(sr ) · [x − z(sr )]u(s) · X(s) s=sr ds 105(162)èñ. 10:ãäå ìû ââåëè îáîçíà÷åíèåX µ (s) = xµ − z µ (s).Ïðè ýòîìsrðåøàåò óðàâíåíèåX 2 (sr ) = 0.Ïðîñòîé ïîäñòàíîâêîé ïîëó÷àåì, ÷òî â 3ìåðíîé îðìå óðàâíåíèå (162) èìååò âèä:A0 (t, ~x) = ϕ (t, ~x) =~ (t, ~x) =Ae ,R 1 − (~vc,~n) tre ~v ,c R 1 − (~vc,~n) (163)tr~ ≡ ~x −~z (t) 3ìåðíûé ðàäèóñ âåêòîð âåäóùèé èç òî÷êè èçëó÷åíèÿ â òî÷êó íàáëþäåR ~˙~v = ~z(t), R ≡ R åäèíè÷íûé âåêòîð â íàïðàâëåíèè èçëó÷åíèÿíèÿ ÝÌ âîëíû, ~ è ~n = R/RãäåÝÌ âîëíû.
Ïîòåíöèàëû (162)-(163) íàçûâàþòñÿ ïîòåíöèàëàìè ËèåíàðàÂèõåðòà.4. Âû÷èñëèì òåïåðü òåíçîð ÝÌ ïîëÿ Fµν . Äëÿ ýòîãî óäîáíåå èñõîäèòü èç èíòåãðàëüíîãîïðåäñòàâëåíèÿ âåêòîð ïîòåíöèàëà (161). Òîãäà∂∂ A (x) = 2 e∂xννµZ ds u (s) Θ X 0 (s) δ X 2 (s) = 2 eµZ ∂ 2 ds uµ(s) Θ X 0 (s)δ X (s)∂xν êà÷åñòâå äîìàøíåãî çàäàíèÿ ïîêàæèòå, ÷òî ïðèìåíåíèå ïðîèçâîäíîé ∂/∂xν ê Θ [X 0 (s)]íå äàåò âêëàäà â ∂ ν Aµ . Ïðè ýòîì èìåéòå ââèäó, ÷òî dΘ(x)/dx = δ(x).Äàëåå 2 2 ∂ 2 dν dδ X (s) = 2 X ν (s)δX(s)=2XδX (s)∂xνdX 2dsÒàêèì îáðàçîì,1061dX 2 (s)ds=−Xν d 2 δ X (s) .u · X dsνZµ∂ A = −2 e uµ (s) X ν (s) d 2 δ X (s) .ds Θ X 0 (s)u(s) · X(s) dsÏðîèíòåãðèðîâàâ ïî ÷àñòÿì â ïîñëåäíåì èíòåãðàëå, ìû ïîëó÷àåìνµ∂ A = 2e 0 2 d uµ (s) X ν (s)ds Θ X (s) δ X (s).ds u(s) · X(s)ZÂû÷èñëèâ ïîëó÷åííûé èíòåãðàë ñ èñïîëüçîâàíèåìµñäåëàëè ïðè âû÷èñëåíèè A (x) âûøå, ìû ïîëó÷èìδ óíêöèè,òî÷íî òàêæå êàê ìû ýòîe d uµ X ν .∂ A (x) =u · X ds u · X srνµÑëåäîâàòåëüíî òåíçîð ÝÌ ïîëÿ ðàâåí:Fµνe d X µ uν − X ν uµ =u · X dsu·XsrÄàëåå, âû÷èñëèâ ïðîèçâîäíóþ d/ds, ïðè ýòîì âîñïîëüçîâàâøèñü ñâîéñòâàìèwµ uµ = 0, ãäå w µ ≡ duµ /ds 4óñêîðåíèå, ìû ïîëó÷àåìFµνew·X −1µ νν µ µ νν µ(Xu−Xu)=(Xw−Xw)− .u·X(u · X)2sr×òîáû âû÷èñëèòü êîìïîíåíòûwµ ≡1d d µqu =dsds1−~Eè~B~a ≡ ~x¨.~ (t, ~x) =E(164)1~vd = q1=q, qv2 dtv2v2v2c 1 − c21 − c2 c 1 − c2c2 ˙~v, ~v~v ~v , ~v˙~v˙1+= q3 , q3 =v2 2v2 2v2v223c 1 − c2c 1 − c2c 1 − c2c 1 − c2!(~v , ~a)~a~v (~v, ~a)=,,2 +2 22 2c2 1 − vc2c3 1 − v2c4 1 − v2~v, qv2c 1−c2Òîãäà ïîñëå ïîäñòàíîâêè êîìïîíåíò 4âåêòîðîâ~ (t, ~x) =Bèòåíçîðà ÝÌ ïîëÿ, íàéäåì êîìïîíåíòû 4óñêîðåíèÿ:cãäåuµ uµ = 1cX, uèwâ (164), ïîëó÷àåì:v2e 1 − c2 [~v × ~n] e (c [~a × ~n] + [~n × [[~v × ~a] × ~n]]) 3 +3(~v ,~n)(~v ,~n)23cR 1 − cc R 1− ctrtr2~n − ~vc e 1 − vc2e ~n × ~n − ~vc × ~a 3 +3 ,(~v ,~n)2R2 1 − (~vc,~n)cR1−ctr107tr(165)ãäå~n =~R åäèíè÷íûé âåêòîð âäîëü íàïðàâëåíèÿ ðàñïðîñòðàíåíèÿ ÝÌ âîëíû.
ËåãRêî âèäåòü, ÷òî ïîëó÷åííûå âûðàæåíèÿ äëÿ ÝÌ ïîëåé óäîâëåòâîðÿþò óñëîâèþhi~~n(tr ) × E(t)è âåêòîðà~~n, Bè~E~B(t)=îáðàçóþò îðòîãîíàëüíóþ òðîéêó.Ôèçè÷åñêèé ñìûñë ïîëó÷åííûõ âûðàæåíèé ìû îáñóäèì â ñëåäóþùåé ëåêöèè.6. Àïïåíäèêñ ñ íåêîòîðûìè ñâîéñòâàìè óíêöèè ðèíà.•Ïîìèìî çàïàçäûâàþùåé åñòü åùå è îïåðåæàþùàÿ (advaned) óíêöèÿ ðèíà :GA (x − y) =êîòîðàÿ îáëàäàåò ñâîéñòâîì• δ (∆x0 + |∆~x|)Θ (y 0 − x0 ) δ (x − y)2 =,2π4 π |∆~x|GA (x − y) = 0,åñëèx0 > y 0Ñóììà çàïàçäûâàþùåé è îïåðåæàþùåé óíêöèé ðèíàδ (x − y)2G(x − y) = GR (x − y) + GA (x − y) =2πòîæå ðåøàåò óðàâíåíèå (151).•Óðàâíåíèå íà óíêöèþ ðèíà èìååò òàê æå è ñëåäóþùåå ðåøåíèåG(x − y) = −2 π2i.(x − y)2 ýòîì ìîæíî óáåäèòüñÿ, âîñïëüçîâàâøèñü îðìóëîé Ñîõîòñêîãî, êîòîðàÿ â ðàññìàòðèâàåìîì ñëó÷àå ïðèíèìàåò âèä:11= v.p.+ i π δ (x − y)2 .22ǫ→0 (x − y) + i ǫ(x − y)lim ýòîì âûðàæåíèè1v.p. (x−y)2íå èìååò îñîáåííîñòåé ïðè(x − y)2 = 0.Ïîýòîìó îíîδ[(x−y)2 ]0ðåøàåò îäíîðîäíîå óðàâíåíèå G (x − y) = 0, ïîýòîìó óíêöèè ðèíàè2πi− 2 π2 (x−y)ðàâíûäðóãäðóãóñòî÷íîñòüþäîïðèáàâëåíèÿðåøåíèÿîäíîðîäíîãîóðàâ2íåíèÿ, ò.å.
ðåøàþò îäíî è òîæå íåîäíîðîäíîå óðàâíåíèå (151).7. Àïïåíäèêñ î òåîðåìå Êîøè.àññìîòðèì èíòåãðàë âèäà:Im =ICz0 ,RÇäåñüCz0 ,Rdz (z − z0 )m ,R ýòî îêðóæíîñòü ðàäèóñàm ∈ Z.ñ öåíòðîì â òî÷êå(166)z0 .×òîáû âû÷èñëèòü ýòîòz , êîòîðûé ëåæèò íà ýòîé îêðóæíîñòè, âϕ ∈ [0, π). Òîãäà îáñóæäàåìûé èíòåãðàë ïðèíèìàåòèíòåãðàë, ïðåäñòàâèìñëåäóþùåì âèäå:z0 + R ei ϕ ,ñëåäóþùèé âèä:ãäåIm = Rm+1iZz =2πdϕ ei (m+1) ϕ .0108(167) ñèëó ïåðèîäè÷íîñòè ïîäèíòåãðàëüíîãî âûðàæåíèÿ, ïîëó÷åííûé èíòåãðàë ðàâåí íóëþïðè âñåõm,êðîìåm = −1.Òî åñòü:Im =0 m 6= −12 π i m = −1(168)I(169)àññìîòðèì òåïåðü èíòåãðàë âèäà:1I=2πiÇäåñüf (z)dzCz0 ,Rf (z).z − z0 àíàëèòè÷åñêàÿ óíêöèÿ âíóòðè îêðóæíîñòèCz0 ,R .Ýòî çíà÷èò, ÷òî â ðàç-ëîæåíèè ýòîé óíêöèè â ðÿä Ëîðàíà âíóòðè ýòîé îêðóæíîñòè âîêðóã ëþáîé òî÷êè íåPmïðèñóòñòâóþò ÷ëåíû îòðèöàòåëüíîé ñòåïåíè: íàïðèìåð, f (z) =m∈Z fm (z − z0 ) , ãäåfm = 0ïðèm < 0.Òîãäà, ðàçëàãàÿf (z)â ðàä Ëîðàíà âíóòðè îáñóæäàåìîé îáëàñòè èâîñïîëüçîâàâøèñü ðàññóæäåíèÿìè ïðèâåäåííûìè âûøå, ïîëó÷àåì:I = f0 ≡ f (z0 ).(170)×òîáû îáîáùèòü âñå ýòè âûêëàäêè íà ñëó÷àé êîíòóðîâ áîëåå îáùåãî âèäà, ÷åì îêðóæíîñòü, ðàññìîòðèì êîíòóðCR,ǫ ,êîòîðûé èçîáðàæåí íà ðèñóíêå (11).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
