Лекции по СТО и классической термодинамике (1183864), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Òàêàÿ âîëíà íàçûâàåòñÿïëîñêîé ìîíîõðîìàòè÷åñêîé âîëíîé. Íàéäåì òåïåðü óñëîâèÿ, êîòîðûì äîëæíû óäîâëåòâîðÿòü âåêòîðûξµkµ ,è÷òîáû ðàññìàòðèâàåìàÿ óíêöèÿ ðåøàëà ñèñòåìó óðàâíåíèé(137). Ò.ê.ννν∂α ξ µ e−i kν x = ξ µ ∂α e−i kν x = −i kα ξ µ e−i kν x ,èνν ξ µ e−i kν x = −kα k α ξ µ e−i kν x ,òî, ïîäñòàâèâ âûðàæåíèå (138) â (137), ìû íàéäåì, ÷òî îíî ðåøàåò ýòó ñèñòåìó óðàâíåíèé, åñëè åå âîëíîâîé 4âåêòîð è ïîëÿðèçàöèîííûé 4âåêòîð óäîâëåòâîðÿþò ñèñòåìåóðàâíåíèé:Èç ïåðâîãî óðàâíåíèÿkµ k µ = 0.ξµ k µ = 0kµ k µ = k02 − ~k 2 = 0ñëåäóåò, ÷òî(139)kµ íóëåâîé (ñâåòîïîäîáíûé)4âåêòîð.
 ñèëó òîãî, ÷òî ìû èìååì äåëî ñ ïðîñòðàíñòâîì ñ ñèãíàòóðîé Ìèíêîâñêîãî, àk02 − ~k 2 = 0, à íå k02 + ~k 2 = 0), ýòî óðàâíåíèå èìååò íåíóëåâîåðåøåíèå. Ïîýòîìó óðàâíåíèÿ Ìàêñâåëëà áåç èñòî÷íèêîâ èìåþò íåòðèâèàëüíûå ðåøåíèÿ.íå Åâêëèäà (ò.å. èìååì äåëî ñÇàìåòèì, ÷òî ñèñòåìà óðàâíåíèé (139) íå ìåíÿåòñÿ ïðè çàìåíåαξµíàξ¯µ = ξµ + α kµ ,ãäå ïðîèçâîëüíàÿ êîìïëåêñíàÿ êîíñòàíòà. Äåéñòâèòåëüíî,kµ ξ¯µ = kµ ξ µ + α kµ k µ = kµ ξ µ .Ïîñëåäíåå ðàâåíñòâî ïîëó÷åíî ñ èñïîëüçîâàíèåì ïåðâîãî óðàâíåíèÿ ñèñòåìû (139).
Ýòàèíâàðèàíòíîñòü óðàâíåíèÿ (139) ÿâëÿåòñÿ îòðàæåíèåì òîãî àêòà, ÷òî ñèñòåìà óðàâíåíèéAµ → Aµ − ∂µ α, åñëè α = 0.µÒåïåðü ìû õîòèì ÿâíî çàïàðàìåðèçîâàòü ðåøåíèÿ ñèñòåìû óðàâíåíèé (139). Ò.ê. k kµ =k02 − ~k 2 = 0, òî k0 = |~k| ≡ k . Ïîýòîìó k µ = (k, ~k). Ïîâîðîòîì ÑÊ â ïðîñòðàíñòâå âñåãäàµk íàïðàâëåíìîæíî ïîëîæèòü k = (k, k, 0, 0), ÷òî îòâå÷àåò 3ìåðíîìó âîëíîâîìó âåêòîðó ~−i kν xν−i k c t+i k x−i k (c t−x)íîìó âäîëü îñè x. Òîãäà Aµ = ξµ e= ξµ e= ξµ e, ÷òî, êàê ìû çíàåì(137) íå ìåíÿåòñÿ ïðè ïðåîáðàçîâàíèÿõèç ïåðâîé ëåêöèè, îïèñûâàåò âîëíó ðàñïðîñòðàíÿþùóþñÿ â ïîëîæèòåëüíîì íàïðàâëåíèèîñèxñî ñêîðîñòüþ ñâåòà: Óðîâíè ïîñòîÿííîé àçû ýòîé âîëíû ëåæàò íà ïëîñêîñòÿõyzïåðïåíäèêóëÿðíûõ íàïðàâëåíèþ ðàñïðîñòðàíåíèÿ âîëíû x. Ïîýòîìó òàêóþ âîëíó íàçûωâàþò ïëîñêîé.
Îáû÷íî k0 îáîçíà÷àþò êàê k0 =, ãäå ω ÷àñòîòà âîëíû. Ïðè ýòîìc~ω2π~nk~k = ~n =, ãäå ~n = k åäèíè÷íûé âåêòîð âäîëü íàïðàâëåíèÿ ðàñïðîñòðàíåíèÿ âîëcλíû, à λ åå äëèíà. Ò.å. äàííàÿ ÝÌ âîëíà îòâå÷àåò îäíîé îïðåäåëåííîé ÷àñòîòå. Ïîýòîìóîíà è íàçûâàåòñÿ ìîíîõðîìàòè÷åñêîé. Îáû÷íûå âîëíû, íàáëþäàåìûå â ïðèðîäå, ÿâëÿþòñÿ ñóïåðïîçèöèåé íåêîòîðîãî êîëè÷åñòâà ïëîñêèõ ìîíîõðîìàòè÷åñêèõ âîëí ñ ðàçíûìèïîëÿðèçàöèÿìè è ÷àñòîòàìè, à ïîòîìó ñàìè íå ÿâëÿþòñÿ ìîíîõðîìàòè÷åñêèìè.ξµ , ÷òîáû ðåøàòü óðàâíåíèå kµ ξ µ = 0.µ010Ïðè íàøåì âûáîðå ÑÊ ýòî óðàâíåíèå ñâîäèòñÿ ê kµ ξ = k ξ −k ξ = 0. Ñëåäîâàòåëüíî ξ =Íàéäåì òåïåðü êàêîé âèä äîëæåí èìåòü âåêòîð92ξ 1,µ0 0 2 3ìîãóò èìåòü ïðîèçâîëüíûå çíà÷åíèÿ, ò.å. ξ = (ξ , ξ , ξ , ξ ).
Âîñïîëüçóåìñÿµ2 3µµµ0òåïåðü ïðîèçâîëîì ξ → ξ + α k è ïîäáåðåì α = −ξ /k . Òîãäà ξ¯ = (0, 0, ξ , ξ ). Ò.å.àξ2èξ34âåêòîð ïîëÿðèçàöèè èìååò òîëüêî äâå íåçàâèñèìûõ êîìïîíåíòû èç ÷åòûðåõ è òîëüêîâäîëü ïðîñòðàíñòâåííûõ íàïðàâëåíèé ïåðïåíäèêóëÿðíûõ íàïðàâëåíèþ ðàñïðîñòðàíåíèÿâîëíû.3.Íàéäåì~Eè~Bäëÿ ýëåêòðîìàãíèòíîé âîëíû. Ìû ïðîäåëàåì ýòî äëÿ áîëåå îáùåãîAµ (x), ÷åì ïëîñêàÿ ìîíîõðîìàòè÷åñêàÿ âîëíà, êîòîðûé ðåøàåò óðàâíåíèå Ìàêñâåëëà.0Êàê ìû òîëüêî ÷òî âèäåëè â ðàññìàòðèâàåìîé ñèòóàöèè âñåãäà ìîæíî ïîëîæèòü A = ϕ =~ ìîæíî ñäåëàòü óíêöèåé òîëüêî êîìáèíàöèè t − x/c è íå çàâèñÿùåé îò y è z (â0, à A~ íåñëó÷àå âîëíû ðàñïðîñòðàíÿþùåéñÿ âäîëü îñè x). Äåéñòâèòåëüíî, åñëè ðàññìîòðåòü Açàâèñÿùèé îò y è z êîîðäèíàò, òî óðàâíåíèå Ìàêñâåëëà ñâåäåòñÿ ê óðàâíåíèþ1 ∂2∂2~ x) = 0,−A(t,c2 ∂t2 ∂x2âèäàîáùèì ðåøåíèåì êîòîðîãî ÿâëÿåòñÿ (â ñëó÷àå, îòâå÷àþùåì âîëíå, ðàñïðîñòðàíÿþùåéñÿâäîëü îñèx)~ − x/c).
Ïðè ýòîì êàëèá(t − x/c), ò.å. èìåííî A(t~ = 0 =⇒ divA~ = 0, ò.ê. ϕ = 0.+ divA∂µ Aµ = 1c ∂ϕ∂tïðîèçâîëüíàÿ óíêöèÿ îòðîâî÷íîå óñëîâèå Ëîðåíöà ñâîäèòñÿ êÄàëåå, â ðàññìàòðèâàåìîì ñëó÷àå ÝÌ ïîëÿ âûðàæàþòñÿ ÷åðåç âåêòîð ïîòåíöèàëû~ = − 1 ∂ A~ , B~ = rotA~ . Ò.ê. âåêòîð ïîòåíöèàë ðåøàåò óðàâíåíèåñëåäóþùèì îáðàçîì: Ec ∂t~ = 0,Aòî ÝÌ ïîëÿ~Eè~Bòîæå ðåøàþò ýòî óðàâíåíèå, ò.å. èõ ìîæíî ïðåäñòàâèòü êàê:~ = Re E~ 0 e−i kν xν ,E~ = Re B~ 0 e−i kν xν ,Bäëÿ íåêîòîðûõ êîìïëåêñíûõ ïîñòîÿííûõ âåêòîðîâÒ.ê.~A~0Eè~ 0.Bÿâëÿåòñÿ óíêöèåé òîëüêî ëèíåéíîé êîìáèíàöèèt − x/c,òî~ t− x∂A11 ~′c~ =−E=− Ac∂tchihi1~′ ,~ = ∇~ ×A~ = − ~n × ABchi~′ =~′ = i k A~, à B~ = −1 A~ = − 1 ~n × A~n = ~k/k .( Äëÿ ïëîñêîé ìîíîõðîìàòè÷åñêîé âîëíû Echi chi~ = ~n × E~ è âåêòîðà ~k , B~ èE~ ÿâëÿþòñÿ~ .) Òàêèì îáðàçîì, äëÿ ÝÌ âîëíû Bi ~k × Aãäåâçàèìíî îðòîãîíàëüíûìè. Ñëåäîâàòåëüíî, ÝÌ âîëíà ÿâëÿåòñÿ âñåãäà ïîïåðå÷íî ïîëÿðèçîâàííîé (íåò êîëåáàíèé ïîëÿ âäîëü íàïðàâëåíèÿ ðàñïðîñòðàíåíèÿ âîëíû), ÷òî ÿâëÿåòñÿξ µ íå èìååò êîìïîíåíò âäîëü 4âåêòîðà k µ .ïðÿìûì ñëåäñòâèåì òîãî àêòà, ÷òî4.
Íàéäåì âåêòîð ÓìîâàÏîéíòèíãà äëÿ ñîáîäíîé ÝÌ âîëíû:hihhii~ ×B~ = c E~ × ~n × E~ = c E~ 2 ~n = c B~ 2 ~n,~= c ES4π4π4π4π~ = 0 è |E|~ = |B|~ â ðàññìàòðèâàåìîì ñëó÷àå. Ïëîòíîñòü ýíåðãèè ïðè ýòîì ðàâíàò.ê. (~n, E)E 2 +B 2E2~ = c W ~n è, ñëåäîâàòåëüíî, W è S~ ñâÿçàíû ñîîòíîøåíèåìW = 8 π = 4 π . Ïîýòîìó S~ 2 = 0. Ò.å. ïëîòíîñòü ýíåðãèè W è ïëîòíîñòü ïîòîêà ýíåðãèè S~ äëÿ ñâîáîäíîéc2 W 2 − S93ìîíîõðîìàòè÷åñêîé âîëíû óäîâëåòâîðÿþò òîìó æå ñîîòíîøåíèþ, ÷òî è 4èìïóëüñ áåçpµ pµ = p20 − p~2 = 0 èëè òîìó æå ñîîòíîøåíèþ, ÷òî è ñâåòîïîäîáíûéµ2k 2 = 0, ò.ê.
pµ = ~ kµ .âîëíîâîé 4âåêòîð kµ k = k0 − ~ìàññîâîé ÷àñòèöû:5.àññìîòðèì áîëåå ïîäðîáíîâîïðîñî ïîëÿðèçàöèè ÝÌ âîëíû íà ïðèìåðå ïîâåäåhii (~k ~x−ω t)~~~ 0 òîæå ÿâëÿåò. Êâàäðàò êîìïëåêñíîãî âåêòîðà Eíèÿ âåêòîðà E(t, x) = Re E0 e~ 0 = ~b e−i αñÿ êîìïëåêñíûì ÷èñëîì. Ïîäáåðåì êîìïëåêñíûé âåêòîð ~b â ïðåäñòàâëåíèè E~ 0 |2 . Ò.å.
ìû õîòèì ïðåäñòàâèòü E~ =b2 = |Eòàê, ÷òîáû åãî êâàäðàò áûë äåéñòâèòåëüíûì ~hi~Re ~b ei (k ~x−ω t−α) , ãäå ~b = ~b1 + i ~b2 , à âåêòîðû ~b1 ~b2 ÿâëÿþòñÿ äåéñòâèòåëüíûìè. Ïðè÷åì,~b2 = ~b2 − ~b2 + 2 i (~b1 , ~b2 ) ÿâëÿåòñÿ äåéñòâèòåëüíûì ÷èñëîì, òî (~b1 , ~b2 ) = 0, ò.å. âåêòîðû12~b1 è ~b2 îðòîãîíàëüíû äðóã äðóãó.b1 íàïðàâëåíÏóñòü x îñü, âäîëü êîòîðîé ðàñïðîñòðàíÿåòñÿ ÝÌ âîëíà è ïóñòü âåêòîð ~â ïîëîæèòåëüíîì íàïðàâëåíèè îñè y .
Òîãäà êîìïîíåíòû ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ ÝÌ âîëíûò.ê.èìåþò âèä:ãäå çíàê± Ey = ~b1 cos ω t − ~k ~x + α Ez = ± ~b2 sin ω t − ~k ~x + α ,çàâèñèò îò òîãî âäîëü èëè ïðîòèâ îñèzíàïðàâëåí âåêòîð~b2 .Òàêèì îáðàçîì:Ey2 Ez2+ 2 =1b21b2(140)è ìû âèäèì, ÷òî â êàæäîé òî÷êå ïðîñòðàíñòâà âåêòîð~Eâðàùàåòñÿ â ïëîñêîñòè ïåð-ïåíäèêóëÿðíîé ê íàïðàâëåíèþ ðàñïðîñòðàíåíèÿ ÝÌ âîëíû.
Ïðè÷åì ïðè ïðîèçâîëüíûõ~b1è~b2 ,êîíåö âåêòîðà ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ îïèñûâàåò ýëëèïñ. Òàêàÿ âîëíà íàçûâàåòñÿýëëèïòè÷åñêè ïîëÿðèçîâàííîé. Åñëè æå|~b1 | = |~b2 |,òî êîíåö âåêòîðà ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿîïèñûâàåò îêðóæíîñòü, ÷òî îòâå÷àåò âîëíå ñ êðóãîâîé ïîëÿðèçàöèåé. Íàêîíåö, åñëè ñêàæåìb2 = 0,òî ýëåêòðè÷åñêîå ïîëå ÝÌ âîëíû âñåãäà è âåçäå íàïðàâëåííî âäîëü îñèy.Âýòîì ñëó÷àå âîëíó íàçûâàþò ëèíåéíî ïîëÿðèçîâàííîé.6.Êàê ìû âèäèì, ïëîñêàÿ ìîíîõðîìàòè÷åñêàÿ âîëíà èìååò îïðåäåëåííóþ ïîëÿðèçà-öèþ. Îäíàêî åñòåñòâåííûé ñâåò íå èìååò ïîëÿðèçàöèè, ò.ê.
ÿâëÿåòñÿ ñóïåðïîçèöèåé ïëîñêèõ ìîíîõðîìàòè÷åñêèõ âîëí ñ ðàçíîé ÷àñòîòîé è ïîëÿðèçàöèåé.  ÷àñòíîñòè, ýëåêòðè÷å9 ~~ 0 (t) e−iω t , ãäå ω ñêîå ïîëå òàêîé âîëíû â çàäàííîé òî÷êå ïðîñòðàíñòâà èìååò âèä E=Eñðåäíÿÿ ÷àñòîòà âîëíû, à êîìïëåêñíàÿ àìïëèòóäà~ 0 (t)Eÿâëÿåòñÿ íåêîòîðîé ìåäëåííî ìå-íÿþùåéñÿ óíêöèåé. Äëÿ ïëîñêîé ìîíîõðîìàòè÷åñêîé âîëíû~ 0 = const. Ïîñêîëüêó E~ 0 (t)Eîïðåäåëÿåò ïîëÿðèçàöèþ âîëíû, òî ýòî çíà÷èò, ÷òî â êàæäîé òî÷êå âîëíû åå ïîëÿðèçàöèÿìåíÿåòñÿ ñî âðåìåíåì. Òàêóþ âîëíó íàçûâàþò ÷àñòè÷íî ïîëÿðèçîâàííîé.Ñâîéñòâà ïîëÿðèçàöèè ÝÌ âîëí íàáëþäàþòñÿ ýêñïåðèìåíòàëüíî ïîñðåäñòâîì ïðîïóñêàíèÿ èõ ÷åðåç ðàçëè÷íûå òåëà è èçìåðåíèÿ èíòåíñèâíîñòè ïðîøåäøåé âîëíû. Ñ ìàòåìàòè÷åñêîé òî÷êè çðåíèÿ ýòî îçíà÷àåò, ÷òî î ñâîéñòâàõ ïîëÿðèçàöèè ÝÌ âîëíû ñóäÿò, èñõîäÿ9 Äëÿïðîñòîòû îðìóë ìû îòáðîñèëè çíàê äåéñòâèòåëüíîé ÷àñòè â ýòîé îðìóëå.94èç çíà÷åíèé íåêîòîðûõ êâàäðàòè÷íûõ óíêöèé îò ïîëÿ.
Ïðè ýòîì, ðàçóìååòñÿ, ðå÷ü èäåòî ñðåäíèõ ïî âðåìåíè çíà÷åíèÿõ ýòèõ óíêöèé.Êâàäðàòè÷íàÿ óíêöèÿ ïîëÿ ñîñòîèò èç ÷ëåíîâ, ïðîïîðöèîíàëüíûõ ïðîèçâåäåíèÿìEi Ej , Ei∗ Ej∗ è Ei Ej∗ , i = 1, 2, 3. Ïðîèçâåäåíèÿ âèäà Ei Ej = E0i E0j e−2 i ω t è Ei∗ Ej∗ =∗∗ 2iωt±2 i ω tE0iE0jeñîäåðæàò áûñòðî îñöèëëèðóþùèå ìíîæèòåëè eè ïðè óñðåäíåíèè ïî âðå∗∗ìåíè äàþò íîëü. Ïðîèçâåäåíèÿ æå Ei Ej = E0i E0j òàêîãî ìíîæèòåëÿ íå ñîäåðæàò, è ïîòîìóèõ ñðåäíèå çíà÷åíèÿ îòëè÷íû îò íóëÿ. Òàêèì îáðàçîì, ìû âèäèì, ÷òî ñâîéñòâà ÷àñòè÷íîïîëÿðèçîâàííîãî ñâåòà âïîëíå õàðàêòåðèçóþòñÿ òåíçîðîì∗Jij = E0i E0j.Ïîñêîëüêó âåêòîð~0Eâñåãäà ëåæèò â ïëîñêîñòè ïåðïåíäèêóëÿðíîé ê íàïðàâëåíèþ ðàñ-ïðîñòðàíåíèÿ âîëíû, òî òåíçîðJijèìååò âñåãî ÷åòûðå êîìïîíåíòû.
 ýòîé ëåêöèè ìûâðåìåííî ïîäðàçóìåâàåì, ÷òî èíäåêñûùèå îñÿìJijyèzi, jïðîáåãàþò âñåãî äâà çíà÷åíèÿi = 1, 2, îòâå÷àþ-x. Ñóììà äèàãîíàëüíûõ êîìïîíåíò òåíçîðà~~J ≡ Jii = E0 E0∗ . Ýòà âåëè÷èíà ÿâëÿåòñÿ èíòåíñèâíîñòüþâ ñëó÷àå âîëíû, áåãóùåé âäîëüåñòü âåëè÷èíà âåùåñòâåííàÿâîëíû è íå èìååò ïðÿìîãî îòíîøåíèÿ ê åå ïîëÿðèçàöèîííûì ñâîéñòâàì. ×òîáû èñêëþ÷èòüåå èç ðàññìîòðåíèÿ, ââåäåì ïîëÿðèçàöèîííûé òåíçîð:Jij.(141)J∗Èç åãî îïðåäåëåíèÿ âèäíî, ÷òî ρii = 1 è ρij = ρji .  ñèëó ýòèõ ñâîéñòâ äèàãîíàëüíûåêîìïîíåíòû ïîëÿðèçàöèîííîãî òåíçîðà ρ11 è ρ22 âåùåñòâåííû, ïðè÷åì ρ11 + ρ22 = 1, àρ12 = ρ∗21 .
Âñåãî, ñëåäîâàòåëüíî, ïîëÿðèçàöèîííûé òåíçîð õàðàêòåðèçóåòñÿ òðåìÿ âåùåρij ≡ñòâåííûìè ïàðàìåòðàìè.Âûÿñíèì óñëîâèÿ, êîòîðûì äîëæåí óäîâëåòâîðÿòü ïîëÿðèçàöèîííûé òåíçîð äëÿ~ 0 = const, è ïîýòîìó èìååì ïðîñòî áåç óñðåäíåïîëÿðèçîâàííîãî ñâåòà.  ýòîì ñëó÷àå E∗íèÿ ïî âðåìåíè ρij = E0i E0j /J .
Ò.å. êîìïîíåíòû ðàññìàòðèâàåìîãî òåíçîðà ìîãóò áûòü√ïðåäñòàâëåííû â âèäå ïðîèçâåäåíèé êîìïîíåíò ïîñòîÿííîãî âåêòîðàE0j / J .Íåîáõîäè-ìîå è äîñòàòî÷íîå óñëîâèå äëÿ ýòîãî âûðàæàåòñÿ ðàâåíñòâîì íóëþ îïðåäåëèòåëÿ òåíçîðàïîëÿðèçàöèé:|ρij | ≡ ρ11 ρ22 − ρ12 ρ21 = 0.Ïðîòèâîïîëîæíûì ñëó÷àåì ÿâëÿåòñÿ íåïîëÿðèçîâàííûé, èëè åñòåñòâåííûé, ñâåò. Ïîëíîåîòñóòñòâèå ïîëÿðèçàöèè îçíà÷àåò, ÷òî âñå íàïðàâëåíèÿ â ïëîñêîñòèyzâïîëíå ýêâèâàëåíò-íû. Ïîýòîìó âçÿòèå ñðåäíåãî ïðèâîäèò êρij =Ïðè ýòîì îïðåäåëèòåëü ðàâåí1δij .2|ρij | = 1/4. îáùåì ñëó÷àå ïðîèçâîëüíîé ïîëÿðèçàöèè ýòîò îïðåäåëèòåëü ïðèíèìàåò çíà÷åíèÿìåæäó0è1/4.Ñòåïåíüþ ïîëÿðèçàöèè íàçûâàåòñÿ ïîëîæèòåëüíàÿ âåëè÷èíàP,îïðåäå-ëåííàÿ ñîãëàñíî|ρij | ≡11 − P2 .495(142)Îíà ïðîáåãàåò çíà÷åíèÿ îò 0 äëÿ íåïîëÿðèçîâàííîãî äî 1 äëÿ ïîëÿðèçîâàííîãî ñâåòà,ò.ê. ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî òåíçîð îáëàäàþùèé òåìè ñâîéñòâàìè, ÷òî èρijèìååò âñåãäàïîëîæèòåëüíûé äåòåðìèíàíò.Ïðîèçâîëüíûé òåíçîðρijìîæåò áûòü ðàçëîæåí íà äâå ÷àñòè ñèììåòðè÷íóþ èSij ≡ 12 (ρij + ρji ) â ñèëó ρij = ρ∗ji ÿâëÿåòñÿ âåùåñòâåí-àíòèñèììåòðè÷íóþ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
