Лекции по СТО и классической термодинамике (1183864), страница 17
Текст из файла (страница 17)
àññìîòðèì òåïåðü äâå ñèñòåìû çàðÿäîâ ñ îáùèìè çàðÿäàìè ðàâíûìè íóëþ Q1,2 = 0,íî ñ íåíóëåâûìè äèïîëüíûìè ìîìåíòàìèd~1,2 6= 0.Ïóñòü ðàññòîÿíèå ìåæäó ýòèìè ñèñòå-ìàìè âåëèêî ïî ñðàâíåíèþ ñ èõ ðàçìåðàìè. Íàñ èíòåðåñóåò ëèäèðóþùèé âêëàä â ïîòåíöèàëüíóþ ýíåðãèþ èõ âçàèìîäåéñòâèÿ. Ìîæíî ðàññìîòðåòü ñèòóàöèþ ñ òàêîé òî÷êè çðåíèÿ,÷òî îäíà èç ñèñòåì çàðÿäîâ íàõîäèòñÿ â ïîëå ñîçäàííîì äðóãîé:ñîçäàííîåd~1 .Ò.å. îòâåò ñëåäóþùèé:U≈~ 1,U = −d~2 E~~d~1 , d~2 R2 − 3 d~1 , Rd~2 , RR5ãäå~1Eïîëå,(126) ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ âçàèìîäåéñòâèÿ äâóõ äèïîëåé.
Àíàëîãè÷íî ìîæíî ïîëó÷èòüïîòåíöèàëüíóþ ýíåðãèþ âçàèìîäåéñòâèÿ ìåæäó äâóìÿ ëþáûìè ìóëüòèïîëüíûìè ìîìåíòàìè.6.Ïåðåéäåì òåïåðü ê îáñóæäåíèþ ñòàòè÷åñêèõ ìàãíèòíûõ ïîëåé. Íàéäåì ìàãíèòíîåïîëå, ñîçäàâàåìîå çàðÿäàìè, ñîâåðøàþùèìè èíèòíîå äâèæåíèå. Òàêîå äâèæåíèå èìååò ñòàöèîíàðíûé Dõàðàêòåðè ïîýòîìó ìîæíî ðàññìîòðåòü ñðåäíåå ïî âðåìåíè çíà÷åíèåEìàãíèòíîãî ïîëÿ~B. Òîêè, ñîçäàþùèå òàêîå íå çàâèñÿùåå îò âðåìåíè ïîëå, áóäóò óíê-öèÿìè òîëüêî êîîðäèíàò, íî íå âðåìåíè.Ìàãíèòíîå ïîëå, ñîçäàâàåìîå òîêàìè, ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì óðàâíåíèé:~ = rot A,~B~~ = 1 ∂ E + 4 π ~j.rot Bc ∂tcÓñðåäíÿÿ èõ ïî âðåìåíè, ïîëó÷àåì:D ED E~~ ,B = rot AD E 4π D E~ =~j ,rot Bcò.ê. ñðåäíåå Dïî âðåìåíèïðîèçâîäíîé îò âåëè÷èíû, ìåíÿþùåéñÿ â êîíå÷íûõ ïðåäåëàõ,E~∂Eðàâíî íóëþ:= 0.∂tÒîãäà óðàâíåíèå íà ñðåäíåå îò âåêòîð ïîòåíöèàëà èìååò âèä:~ − ∆A~ = 4 π ~j.grad div AcÄëÿ óïðîùåíèÿ îðìóë, ìû íå âûïèñûâàåì äàëåå çíàê óñðåäíåíèÿ, èìåÿ åãî ââèäó.
Íàïðàâîé ñòîðîíå ïîñëåäíåé îðìóëû òîê~jíå çàâèñèò îò âðåìåíè.Äëÿ óïðîùåíèÿ ïîñëåäíåé îðìóëû, èñïîëüçóåì ïðîèçâîë, ñâÿçàííûé ñ êàëèáðîâî÷íîéèíâàðèàíòíîñòüþ, ÷òîáû çàèêñèðîâàòü Êóëîíîâñêóþ êàëèáðîâêó:~ = 0.div AÒîãäà óðàâíåíèå íà~Aóïðîùàåòñÿ äî:85(127)~=−∆A4π~j.cÌû çíàåì, ÷òî ðåøåíèå óðàâíåíèÿ Ïóàññîíà∆Ëàïëàñàäåéñòâóåò òîëüêî íà~x,~ràèãðàåò(128)∆ϕ (~x − ~r) = −4 π δ (3) (~x − ~r), ãäå îïåðàòîð1ðîëü ïàðàìåòðà, èìååò âèä ϕ (~x − ~r) = |~x−~.r|Ýòî çíàíèå ïîìîãàåò íàì íàéòè ÷àñòíîå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (128):1~A(x)=cZ~j(r) 3d r.|~x − ~r|(129)Äåéñòâèòåëüíî:1∆xcZZZ~j(r) 3114π3~~j(r) δ (3) (~x − ~r) d3 r = − 4 π ~j(x),d r=j(r) ∆xd r=−|~x − ~r|c|~x − ~r|ccãäå ó÷òåíî, ÷òîïîr.∆xäåéñòâóåò òîëüêî íàÇíàÿ âåêòîðíûé ïîòåíöèàë~ = rot A~ = rot 1Bc~ ,A(x)Z~x è ïîýòîìóåãî ìîæíî âíåñòè ïîä çíàê èíòåãðàëàìû ìîæåì íàéòè ìàãíèòíîå ïîëå~j(r) 31d r=|~x − ~r|c çàêîí ÁèîÑàâàðà.7.
Åñëè ìû èìååì Nòî÷å÷íûõ çàðÿäîâ,hi~j × (~x − ~r)Zj(x) =òî ~|~x − ~r|3DPN~:Bd3 r(130)E(3)˙rq (t) δ [~x − ~rq (t)] ,q=1 eq ~ãäå ìûïîäðàçóìåâàåì óñðåäíåíèå ïî âðåìåíè. Ñëåäîâàòåëüíî ñîçäàâàåìîå èìè ïîëå ðàâíî:DE1~A(x)=cZd3 r|~x − ~r|* NXq=1eq ~r˙q (t) δ (3) [~r − ~rq (t)]+N1 X=c q=1*eq ~r˙q (t)|~x − ~rq (t)|+.àññìîòðèì ñðåäíåå ïîëå, ñîçäàâàåìîå ñèñòåìîé ñòàöèîíàðíî äâèæóùèõñÿ çàðÿäîâ, íàáîëüøèõ ðàññòîÿíèÿõ îò ýòîé ñèñòåìû:DE1~A(R)=c*Xqe ~r˙ q q ~R − ~rq +.Âûáåðåì íà÷àëî ÑÊ âíóòðè ñèñòåìû òîêîâ. Òîãäà âûðàæåíèå ïîä ñóììîé ìîæíî ðàçëîæèòü ïî ñòåïåíÿì~rq .D ëèäèðóþùåì ïîðÿäêå èìååì:E1~A(R)≈cR*Xqeq ~r˙q+1−c*XÏåðâûé èç ýòèõ âêëàäîâ ìîæíî ïåðåïèñàòü êàê+ 1~.eq ~r˙q ~rq , ∇RqDPEED Pd˙rq = dt q eq ~rq .q eq ~Íî ñðåäíååïî âðåìåíè çíà÷åíèå ïðîèçâîäíîé îò âåëè÷èíû, êîòîðàÿ ìåíÿåòñÿ â êîíå÷íîì èíòåðâàëå,ðàâíî íóëþ. Ñëåäîâàòåëüíî:86DÒ.ê.~RE1~A(R)≈−c*Xq~ 1eq ~r˙q ~rq , ∇R+1=c R3*Xq+~eq ~r˙q ~rq , R.íå çàâèñèò îò âðåìåíè, òîXqiXX h ~ +1~ − ~rq ~r˙q , R~ .~ ~rq d~rq = 1 deq ~rq ~rq , Req ~r˙q ~rq , Req R,dt2 dt q2 qÑëåäîâàòåëüíî, ïîëîæèâDhd/dt .
. . i = 0,E~A(R)=èìååìE D Ei1 X hD ˙ ˙~~e~r~r,R−~r~r,R.qqqqq2 c R3 qÂâåäåì âåêòîð ìàãíèòíîãî ìîìåíòà ñèñòåìû:*+hiX1eq ~rq × ~r˙q.m~ =2cq(131)hi~DEm~ ×R1~ ×m~= ∇~ .A(R)=R3R(132)ÒîãäàÇíàÿD~A(R)E, íåòðóäíî íàéòè ìàãíèòíîå ïîëå:ãäå, êàê îáû÷íî,D~ .~n = R/RE 3 ~n (m,~ ~n) − m~~,B(R)=3R(133)Åñëè äëÿ âñåõ ÷àñòèö, âõîäÿùèõ â ñèñòåìó, îòíîøåíèå çàðÿäà ê ìàññåeq /mq = e/mîäèíàêîâî, òî1m~ ≡2c*Xq+hieq ~rq × ~r˙q=Òåïåðü, åñëè ñêîðîñòè âñåõ çàðÿäîâ ìàëûm~ =ãäå~,M~Me2mc~r˙q ≪ c,òî*Xq+himq ~rq × ~r˙q.mq ~r˙q = p~q .Ñëåäîâàòåëüíîe ~e Xh[~rq × p~q ]i =M,2mc q2mc ìåõàíè÷åñêèé ìîìåíò ñèñòåìû, à îòíîøåíèå ìîäóëÿ âåêòîðàò.å.e/2 m c(134)m~ ê ìîäóëþ âåêòîðàâ íàøåì ñëó÷àå, íàçûâàåòñÿ ãèðîìàãíèòíûì îòíîøåíèåì.878.
àññìîòðèì ñèñòåìó çàðÿäîâ âî âíåøíåì ïîñòîÿííîì ìàãíèòíîì ïîëå. Ñðåäíÿÿ ñèëà,äåéñòâóþùàÿ íà ñèñòåìó, ðàâíàiED E X e Dhq~~r˙q × B=F~ =cq*+id X eq h~~rq × B= 0.dt q cÏðè ýòîì ñðåäíåå çíà÷åíèå ìîìåíòà ñèë ðàâíî:hiiED E X e Dhq˙~~~rq × ~rq × B6= 0.K =cqÍî~ =Kïîýòîìóo X e 1X eq n d 2q˙~rq ~rq , B˙~~ −B~ ~r˙q , ~rq~=~rq ~rq , B − B ~rq ,cc2 dtqqEE D EoD E Xe D 1 X nD ˙ q~~~~ =eq ~rq ~rq , B~r˙q ~rq , B=− ~rq ~r˙q , B,Kc2c qqãäå âDïîñëåäíåìðàâåíñòâå ìû âîñïîëüçîâàëèñü òåì æå òðþêîì, ÷òî è ïðè âûâîäå îðìóëûE~Aäëÿâûøå. Òàêèì îáðàçîì:D E hi~~K = m~ ×B .(135)àññìîòðèì âðàùåíèå ìåõàíè÷åñêîãî ìîìåíòà ñèñòåìû ïîä äåéñòâèåì âíåøíåãî ìîìåíòàñèë:Ïóñòü òåïåðü îòíîøåíèå çàðÿäàD E hi~dM~ = m~ .≡ K~ ×Bdtê ìàññå, eq /mq , äëÿ âñåõ÷àñòèö ñèñòåìû èìååò îäíî è òîæå çíà÷åíèå.
Òîãäà~ ≡Ωhidm~~ ×m=− Ω~ ,dt(136)e~ ÷àñòîòà Ëàðìîðà. Ïîëó÷åííîå óðàâíåíèå îïðåäåëÿåòB2mcïðåöåññèþ ìàãíèòíîãî ìîìåíòà ñèñòåìû âî âíåøíåì ìàãíèòíîì ïîëå.ãäå9. Àïïåíäèêñ. Î ìàòåìàòè÷åñêîì ñìûñëå ïðåîáðàçîâàíèÿ Ôóðüå.Íå ïðåòåí-äóÿ íà ìàòåìàòè÷åñêóþ ñòðîãîñòü, ïîÿñíèì ñìûñë ðàçëîæåíèÿ Ôóðüå. Îíî ïðåäñòàâëÿåò3ñîáîé ðàçëîæåíèå óíêöèè ïî ïîëíîìó áàçèñó óêöèé íà ïðîñòðàíñòâå R (â ðàññìàòðèâàåìîì íàìè ñëó÷àå).
Äåëî â òîì, ÷òî ïðîñòðàíñòâî óíêöèé íà íåêîòîðîì ìíîãîîáðàçèèÿâëÿåòñÿ (áåñêîíå÷íîìåðíûì è äàæå êîíòèíóàëüíûì) âåêòîðíûì ïðîñòðàíñòâîì, â êîòî3ðîì ìîæíî ââåñòè áàçèñ. Óäîáíûì áàçèñîì â ïðîñòðàíñòâå óíêöèé íà R ÿâëÿåòñÿ íàáîði ~k ~xïëîñêèõ âîëí eäëÿ âñå âîçìîæíûõ ~k , êîòîðûå êàê áû íóìåðóþò âåêòîðà â áàçèñå.
àññìàòðèâàåìûé áàçèñ îðòîíîðìèðîâàí:88Zd3 x −i ~k ~x i ~k′ ~xee= δ (3) (~k − ~k ′ )(2 π)3Zd3 k −i ~k ~x i ~k ~x′ee= δ (3) (~x − ~x′ ).3(2 π)è óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ ïîëíîòû:Ïîÿñíèì âñå ýòî íà ïðèìåðå îáû÷íîãî âåêòîðíîãî ïðîñòðàíñòâà. Dìåðíûé Âåêòîðíî ðàçëîæèòü ïî ïîëíîìó îðòîíîðìèðîâàííîìó áàçèñó~v =P~v ìîæ-~ea , a = 1, . . . D î÷åâèäíûì îáðàçîìáàçèñ îðòîíîðìèðîâàí, òî (~ea , ~eb ) = δab , à â ñèëó ñâîåéP i jijïîëíîòû, îí óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ:a ea ea = δ .
Èç óñëîâèÿ ïîëíîòû ìû ìîæåì íàéòè êîìïîíåíòû âåêòîðà â äàííîì áàçèñå. Äåéñòâèòåëüíî, óìíîæèì îáå ñòîðîíû óñëîâèÿP i jijjïîëíîòûa ea ea = δ íà v è ïðîñóììèðóåì ïî j .  ðåçóëüòàòå ìû ïîëó÷èìea . Ò.ê. ðàññìàòðèâàåìûéa va ~Xajva eia = v i ⇐⇒Xva ~ea = ~v ,ajãäå va ≡ v ea ≡ (~v, ~ea ) ñëó÷àå ïðîñòðàíñòâà óíêöèé ìû èìååì äåëî ñ áåñêîíå÷íîé ðàçìåðíîñòüþ è âìåñòîâåêòîðíûõ èíäåêñîâ i, j ìû èìååì êîíòèíóàëüíûé èíäåêñ ~x, ~x′ , à âìåñòî èíäåêñîâ a, b,k, ~k ′ . Âìåñòî ñóìì íóìåðóþùèõ áàçèñíûå âåêòîðà, ìû èìååì ~èìååì èíòåãðàëû,à âìåñòîñèìâîëîâ Êðîíåêåðàïðîåêöèé âåêòîðà~vδ ijèδabδ óíêöèè, δ (3) (~x − ~x′ )èδ (3) ~k − ~k ′va ìû èìååì Ôóðüå ãàðìîíèêè ϕ̃(~k).va = (~v , ~ea ), îïðåäåëÿþùåãî ïðîåêöèþ âåêòîðà ~víà îñè êîîðäèíàò òàê æå, ÷òî âìåñòî óðàâíåíèÿ.
Ïðè ýòîì âìåñòîÇàìå÷óíàaþîñü, è ñëåäóþùåãî èç óðàâíåíèÿ, óòâåðæäàþùåãî ïîëíîòó áàçèñà, èû èìååì óðàâíåíèåR 3~~ϕ̃(~k) = (2d π)x3 e−i k ~x ϕ(~x), ñëåäóþùåå èç ïîëíîòû íàáîðà ãàðìîíèê ei k ~x .Âîïðîñû è çàäà÷è•åøèòå óðàíåíèå âãäålR3 :1∆ − 2 G (~x) = −4 π q δ (3) (~x) ,líåêîòîðàÿ ïîñòîÿííàÿ, èìåþùàÿ ðàçìåðíîñòü äëèíû, àq áåçðàçìåðíàÿ êîí-ñòàíòà.•åøèòå óðàâíåíèåâR2 ,∂12 + ∂22 G (x1 , x2 ) = −4 π q δ (x1 ) δ (x2 )â âåðõíåé ïîëóïëîñêîñòè è íà äèñêå ðàäèóñà 1 äëÿ ñëó÷àÿ ãðàíè÷íûõ óñëîâèé∂n~1 G(x1 , x2 )|boundary = 0, ãäå ∂~n1 x1 âäîëüâåêòîðà ïåðïåíäèêóëÿðíîãî ãðàíèöå. Óñëîâèå Äè∂t~1 G(x1 , x2 )boundary = 0, ãäå ∂~t1 äèåðåíöèðîâàíèå ïî x1 âäîëüͼéìàíà è Äèðèõëå. Óñëîâèå Íåéìàíà ãëàñèò, ÷òîäèåðåíöèðîâàíèå ïîðîõëå ãëàñèò, ÷òîâåêòîðà êàñàòåëüíîãî ê ãðàíèöå.
Èñïîëüçóÿ êîíîðìíûå ïðåîáðàçîâàíèÿ, íàéäèòåñâÿçü ìåæäó ðåøåíèÿìè â âåðõíåé ïîëóïëîñêîñòè è íà äèñêå.89•Íàéäèòå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ íàRD :∆ G (~x) = −4 π q δ (D) (~x) ,äëÿ ïðîèçâîëüíîãî ÷èñëà èçìåðåíèéâ ñîîòâåòñòâóþùåé ðàçìåðíîñòè.2D , ãäå ∆ = ∂12 +∂22 +· · ·+∂D90 îïåðàòîð ËàïëàñàÑâîáîäíûå ýëåêòðîìàãíèòíûå âîëíû, òåíçîð ïîëÿðèçàöèè, ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå è ñîáñòâåííûå êîëåáàíèÿ ïîëÿ,ïîëå êàê áåñêîíå÷íûé íàáîð îñöèëëÿòîðîâ.Ëåêöèÿ IX;1. Íà ýòîé ëåêöèèìû ðàññìîòðèì ðåøåíèå óðàâíåíèé Ìàêñâåëëà áåç çàðÿäîâ:∂µ F µν = 0.Îêàçûâàåòñÿ, ÷òî ó òàêîãî óðàâíåíèÿ åñòü íåòðèâèàëüíûå ðåøåíèÿ. Òàêèå ÝÌ ïîëÿ, êîòîðûå ñóùåñòâóþò â îòñóòñòâèè èñòî÷íèêîâ, íàçûâàþòñÿ ñâîáîäíûìè ÝÌ âîëíàìè.Çàèêèñèðóåì êàëèáðîâêó Ëîðåíöà.
Òîãäà ðàññìàòðèâàåìîå óðàâíåíèå ñâåäåòñÿ ê ñèñòåìå óðàâíåíèé: Aµ = 0,∂µ Aµ = 0(137)ãäå âòîðîå óðàâíåíèå ÿâëÿåòñÿïðîñòî êàëèáðîâî÷íûì óñëîâèåì. Ïåðâîå èç ýòèõ óðàâ-Aµ = ∂α ∂ α Aµ =1 ∂2c2 ∂t2− ∆ Aµ = 0 ÿâëÿåòñÿ 4ìåðíûì àíàëîãîì 2ìåðíîãî∂21 ∂2âîëíîâîãî óðàâíåíèÿ− ∂x2 φ = 0, îïèñûâàþùåãî çâóêîâûå âîëíû â îäíîìåðíîìc̄2 ∂t2µêðèñòàëëå, êîòîðîå ìû óæå âñòðå÷àëè â ïðåäûäóùèõ ëåêöèÿõ. Îòëè÷èå ñèòóàöèè äëÿ Aµçàêëþ÷àåòñÿ â òîì, ÷òî ÝÌ âîëíû èìåþò ïîëÿðèçàöèþ, ñâÿçàííóþ ñ òåì, ÷òî A ÿâëÿåòñÿíåíèé4âåêòîðíûì, à íå ñêàëÿðíûì (Ëîðåíö èíâàðèàíòíûì) ïîëåì.
Ïðè ýòîì çâóêîâûå âîëíûâ îäíîìåðíîì êðèñòàëëå íå èìåþò ïîëÿðèçàöèè, ò.ê. ðåøåòêà ìîæåò êîëåáàòüñÿ òîëüêî âîäíîì íàïðàâëåíèè (âäîëü ñàìîé ñåáÿ), è îïèñûâàþòñÿ îäíèì ïîëåì2. Çàìåòèì, ÷òî â (137) ìû èìååì äåëî ñ ñèñòåìîéφ.ëèíåéíûõ äèåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé.µµµµÏîýòîìó åñëè ó íàñ åñòü äâà ðåøåíèÿ ýòîé ñèñòåìû óðàâíåíèé A1 è A2 , òî A1 + A2 òîæåÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì ýòîé ñèñòåìû óðàâíåíèé. Ýòîò àêò ÿâëÿåòñÿ îòðàæåíèåì ïðèíöèïàñóïåðïîçèöèè.Ïîä÷åðêíó, ÷òî ýòî ñîâåðøåííî íåòðèâèàëüíûé àêò.
Íàïðèìåð, åñëè áû âìåñòî âòîðîéµνïàðû óðàâíåíèé Ìàêñâåëëà ìû áû èìåëè äåëî, ñêàæåì, ñ óðàâíåíèåì ∂µ F+a ∂ α F νµ Fµα =0, ãäå a íåêîòîðàÿ ðàçìåðíàÿ êîíñòàíòà,òî ñóììà äâóõ ðåøåíèé ýòîãî óðàâíåíèÿ óæå íåÿâëÿëàñü áû åãî ðåøåíèåì â ñèëó íåëèíåéíîñòè ýòîãî óðàâíåíèÿ. Ïîäîáíûå íåëèíåéíûåóðàâíåíèÿ (íå èíâàðèàíòíûå îòíîñèòåëüíî ïðåîáðàçîâàíèé Ëîðåíöà) âîçíèêàþò â íåëèíåéíîé îïòèêå èççà ñïåöèàëüíûõ ñâîéñòâ ñðåäû, â êîòîðîé ðàñïðîñòðàíÿþòñÿ ÝÌ âîëíû.Ìû áóäåì èñêàòü ðåøåíèå ñèñòåìû óðàâíåíèé (137) â âèäå1 νννξµ e−i kν x + ξµ∗ ei kν x ,Aµ = Re ξµ e−i kν x =2(138)ãäå ξµ íåêîòîðûé ïîñòîÿííûé êîìïëåêñíûé 4âåêòîð, íàçûâàåìûé âåêòîðîì ïîëÿðèçàöèèÝÌ âîëíû, àkµ íåêîòîðûé ïîñòîÿííûé âåùåñòâåííûé 4âåêòîð, íàçûâàåìûé âîëíîâûì4âåêòîðîì ÝÌ âîëíû.91 ñèëó ïðèíöèïà ñóïåðïîçèöèè ìû ìîæåì îòáðîñèòü çíàê Re â ðàññìàòðèâàåìîì âûνAµ è èìåòü äåëî ïðÿìî ñ êîìïëåêñíîé âîëíîé ξµ e−i kν x , êîëü ñêîðî ìûðàæåíèè äëÿáóäåì âûïîëíÿòü èñêëþ÷èòåëüíî ëèíåéíûå îïåðàöèè íàä íåé.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
