Лекции по СТО и классической термодинамике (1183864), страница 12
Текст из файла (страница 12)
 èòîãå ïîëó÷àåì:v||2 ~bρ= ω ~v⊥ −Ïîäñòàâëÿÿ ñþäà âûøåóêàçàííûå çíà÷åíèÿµèµB ~b.mγ ρp⊥ , íàõîäèì,÷òî:~b u2⊥2v|| +~v⊥ =ωρ2(63)äðåéîâàÿ ñêîðîñòü âåäóùåãî öåíòðà íàïðàâëåíà ïî áèíîðìàëè ê ñèëîâîé ëèíèè ìàãíèòíîãî ïîëÿ.~h, íàõîäèì:µ ~ ~ h, ∇ B.v̇|| = −mγÓìíîæàÿ îáå ñòîðîíû (62) ñêàëÿðíî íàÂñïîìèíàÿ, ÷òî ïðîèçâîäíàÿ ïîëÿ ïî âðåìåíè îïðåäåëÿåòñÿ äâèæåíèåì ÷àñòèöû âäîëüñèëîâîé ëèíèè, ò.å.~ BḂ = v|| ~h, ∇v|| · v̇|| = −Âåëè÷èíàu2⊥ /Bè ïîäñòàâëÿÿ ÿâíîå âûðàæåíèå äëÿµ,íàõîäèì, ÷òîu2u2⊥Ḃ ⇒ v|| · dv|| = − ⊥ dB.2B2Bÿâëÿåòñÿ àäèàáàòè÷åñêèì èíâàðèàíòîì: â îäíîé èç çàäà÷ â çàäàíèè òðåáó-åòñÿ ýòî ïîêàçàòü. Ïîýòîìó èç ïîëó÷åííîãî óðàâíåíèÿ ñëåäóåò, ÷òî ïðè äâèæåíèè ÷àñòèöûâ îáëàñòü, ãäå ìàãíèòíîå ïîëå âîçðàñòàåò, åå ïðîäîëüíàÿ ñêîðîñòü ìîíîòîííî óìåíüøàåòñÿâïëîòü äî íóëÿ.
Óñêîðåíèå íàïðàâëåíî â ñòîðîíó óìåíüøåíèÿ ïîëÿ, ïîýòîìó ïîñëå ýòîãî÷àñòèöà ïðèîáðåòåò ñêîðîñòü â îáðàòíîì íàïðàâëåíèè. Ò.å. ÷àñòèöà îòðàæàåòñÿ îò îáëàñòèñ áîëüøèì çíà÷åíèåì ìàãíèòíîãî ïîëÿ. Ýòî ÿâëåíèå íàçûâàåòñÿ ìàãíèòíûì çåðêàëîì.7.Äëÿ áîëåå ãëóáîêîãî ïîíèìàíèÿ ïîâåäåíèÿ ÷àñòèö â ñëàáîíåîäíîðîäíûõ âíåøíèõïîëÿõ íåîáõîäèìî çíàòü, ÷òî âåëè÷èíàHp~ d~q, ãäå p~ è ~q îáîáùåííûå èìïóëüñ è êîîðäèíàòà÷àñòèöû, ÿâëÿåòñÿ àäèàáàòè÷åñêèì èíâàðèàíòîì. Äîêàçàòåëüñòâî ýòîãî àêòà ïðîõîäÿò âêóðñå òåîðåòè÷åñêîé ìåõàíèêè.
Îíî, â ÷àñòíîñòè, ñîäåðæèòñÿ â ïåðâîì òîìå êóðñà Ëàíäàóè Ëèøèöà. Ìû ïðèâåäåì äîêàçàòåëüñòâî ïî ýòîé êíèãå.54Ïóñòü ìû èìååì äåëî ñ ÷àñòèöåé, ñîâåðøàþùåé ïåðèîäè÷åñêîå äâèæåíèå ñ ïåðèîäîìTâðîäå òîãî, ÷òî ïðîèñõîäèò â ïîñòîÿííîì ìàãíèòíîì ïîëå. Ïóñòü ýòî äâèæåíèå õàðàêòå-ðèçóåòñÿ íåêîòîðûì ïàðàìåòðîìλ, îïðåäåëÿþùèìñâîéñòâà ëèáî ñàìîé ñèñòåìû, ëèáî æåâíåøíåãî ïîëÿ.
Ò.å. ýòà âåëè÷èíà ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé íå÷òî âðîäå ÝÌ ïîëåé â ïðåäûäóùèõ çàäà÷àõ. Ïóñòüλ ìåäëåííî (àäèàáàòè÷åñêè) ìåíÿåòñÿ ïîä âëèÿíèåì êàêèõ-òî âíåøíèõóñëîâèé. (Íàïðèìåð, ÷àñòèöà äâèæåòñÿ â ñëàáîíåîäíîðîäíîì ïîëå.) Òàêèì îáðàçîì,T èçìåíåíèåλçà ïåðèîäTdλ≪λdtìíîãî ìåíüøå ñàìîãîλ.ÏóñòüH(p, q; λ) àìèëüòîíèàí÷àñòèöû. ÒîãäàdE∂H dq ∂H dp ∂H∂H ∂λ=++=,dt∂q dt∂p dt∂t∂λ ∂tq̇ = ∂H/∂p, ṗ = −∂H/∂q è ïðîäèåðåíöèðîâàëè ∂H/∂t êàê ñëîæíóþ óíêöèþ îò λ(t). Âûðàæåíèå, ñòîÿùåå ñïðàâà â ïîëó÷åííîé îðìóëå äëÿ dE/dt, çàâèñèò îò ìåäëåííî ìåíÿþùåéñÿ λ è áûñòðûõ p è q .
Äëÿãäå ìû âîñïîëüçîâàëèñü óðàâíåíèÿìè àìèëüòîíàâûäåëåíèÿ èíòåðåñóþùåãî íàñ ñèñòåìàòè÷åñêîãî õîäà èçìåíåíèÿ ýíåðãèè ñëåäóåò óñðåäíèòü ýòî ðàâåíñòâî ïî ïåðèîäó äâèæåíèÿ. À èìåííî, ñâåñòè åãî ê óðàâíåíèþ:dE∂H= λ̇.dt∂λÂñëåäñòâèå ìåäëåííîñòèλìû ìîæåì âûíåñòè åå ïðîèçâîäíóþ çà çíàê óñðåäíåíèÿ.
Äàëåå∂H1≡∂λTè ò.ê.q̇ =∂H, òî∂pdt =dq.∂H/∂pT∂Hdt∂λ0RTHÑëåäîâàòåëüíî T =dt =0H ∂H/∂λdEdλ ∂H/∂p dqH dq.=dtdt∂H/∂pÏðè ïåðèîäè÷åñêîì äâèæåíèèp = p(q; E, λ).ZH(p, q; λ) = E = const.Èç ýòîãî óðàâíåíèÿ ìîæíî íàéòèÑëåäîâàòåëüíî, äèåðåíöèðóÿ ðàâåíñòâî∂H ∂H ∂p+= 0.∂λ∂p ∂λÎòêóäà ñëåäóåò, ÷òî−∂H/∂λ∂p=.∂λ∂H/∂pÒîãäàÑëåäîâàòåëüíîHdEdλH=−dtdt55∂p∂λ∂p∂Edqdq.dq. Ò.å.∂H/∂pH =Eïîλ,ïîëó÷àåì:I ∂p ∂λ∂p ∂E+∂E ∂t∂λ ∂tddq =dtIp dq = 0.Èç ïîñëåäíåãî ðàâåíñòâà ìû ïîëó÷àåì, ÷òî ñëåäóþùàÿ âåëè÷èíà8. Àïïåíäèêñ ïðî óñðåäíåíèå ïî óãëàì.Äîïóñòèì, åäèíè÷íûé âåêòîðI=Hp dqñîõðàíÿåòñÿ.~n = (sin θ cos ϕ, sin θ sin ϕ, cos θ) ñîâåðøàåò áûñòðûå âðà-ùåíèÿ. Äîïóñòèì, äëÿ ðåøåíèÿ íåêîòîðîé çàäà÷è íàì òðåáóåòñÿ ïðîâåñòè óñðåäíåíèå âòå÷åíèè íåêîòîðîãî ïðîäîëæèòåëüíîãî ïðîìåæóòêà âðåìåíè1h~n(t)i ≡TZT:Tdt ~n(t).(64)0Ïðåäïîëîæèì, ÷òî âñå íàïðàâëåíèÿ èãðàþò îäèíàêîâóþ ðîëü ïðè òàêîì óñðåäíåíèè. Òîãäà, ïî àíàëîãèè ñ òåðìîäèíàìèêîé, ìû ìîæåì çàìåíèòü óñðåäíåíèå ïî âðåìåíè, óñðåäíåíèåì ïî óãëàì.
À èìåííî:hni i ≡ÇäåñüdΩ = sin θ dθ dϕZdΩni ,4πi = 1, 2, 3. ýòî ýëåìåíò òåëåñíîãî óãëà è(65)ϕ ∈ [0, 2π), θ ∈ [0, π].Íåòðóäíî ïðîâåðèòü ïðÿìûì âû÷èñëåíèåì äàííîãî èíòåãðàëà ïî òåëåñíîìó óãëó, ÷òîhni i = 0. Äðóãîé áîëååhni i íå ïîìåíÿåòñÿ ïðèóíèâåðñàëüíûé ñïîñîá ïîëó÷åíèÿ îòâåòà ñëåäóþùèé: ßñíî, ÷òîïîâîðîòå êîîðäèíàòíîé ñåòêè, òàê êàê â åãî îïðåäåëåíèè äàþòâêëàä âñå íàïðàâëåíèÿ. Ïîýòîìóhni i ÿâëÿåòñÿ òðåõìåðíûì åäèíè÷íûì âåêòîðîì, êîòîðûéèíâàðèàíòåí îòíîñèòåëüíî âðàùåíèé. Åäèíñòâåííûé òàêîé âåêòîð íóëåâîé.Äîïóñòèì òåïåðü, ÷òî íàì íåîáõîäèìî âû÷èñëèòü ñëåäóþùåå ñðåäíåå:hni nj i ≡ZdΩni nj .4π(66)Ìîæíî ïðîñòî âû÷èñëÿòü ýòîò èíòåãðàë, ïîäñòàâëÿÿ â íåãî ðàçëè÷íûå êîìïîíåíòûni =(sin θ cos ϕ, sin θ sin ϕ, cos θ). Íî åñòü äðóãîé, áîëåå óíèâåðñàëüíûé, ñïîñîá ïîëó÷åíèÿ îòâåòà. Äåéñòâèòåëüíî, hni nj i äîëæåí áûòü èíâàðèàíòíûì îòíîñèòåëüíî âðàùåíèé òåíçîðîìñ äâóìÿ èíäåêñàìè, êîòîðûé ñèììåòðè÷åí îòíîñèòåëüíî ïåðåñòàíîâêè åãî èíäåêñîâ.
Åäèí-ñòâåííûì òåíçîðîì â òðåõìåðíîì ïðîñòðàíñòâå, êîòîðûé óäîâëåòâîðÿåò ýòèì óñëîâèÿì,ÿâëÿåòñÿ ìåòðè÷åñêèé δij .Òî åñòü èìååì ñëåäóþùåå ñîîòíîøåíèå:hni nj i = c δij ,ãäåc(67) íåêîòîðàÿ êîíñòàíòà, êîòîðóþ íåâîçìîæíî çàèêñèðîâàòü èç ñèììåòðèéíûõ ñî-îáðàæåíèé. ×òîáû íàéòè ýòó êîíñòàíòó, ñâåðíåì èíäåêñûièj(ïîëîæèì èõ ðàâíûìèè ïðîñóììèðóåì ïî âñåì èõ çíà÷åíèÿì) ñëåâà è ñïðàâà â ïîëó÷åííîì âûðàæåíèè.
Òîãäà,n2 = 1 è h1i = 1, ìû ïîëó÷àåì ñëåäóþùåå ñîîòíîøåíèå: 1 = c · 3.ïîëüçóÿñü òåì, ÷òî ni ni ≡ ~Îòêóäà ñëåäóåò, ÷òî561δij .3hni nj i =Çàìåòèì, ÷òî åñëè áû1δ .D ij~náûë áûD ìåðíûì(68)åäèíè÷íûì âåêòîðîì, òî ìû ïîëó÷èëè áûhni nj i =Äîïóñòèì òåïåðü, ÷òî íàì íåîáõîäèìî âû÷èñëèòü ñëåäóþùåå ñðåäíåå:hni nj nk i ≡ZdΩni nj nk .4π(69)Êàê è âûøå, ìû èìååì äåëî ñ èíâàðèàíòíûì îòíîñèòåëüíî âðàùåíèé òåíçîðîì ñ òðåìÿèíäåêñàìè,êîòîðûé ñèììåòðè÷åí îòíîñèòåëüíî ïåðåñòàíîâêè ëþáîé ïàðû åãî èíäåêñîâ.Åäèíñòâåííûé òåíçîð, îáëàäàþùèé òàêèìè ñâîéñòâàìè, ýòî íóëåâîé òåíçîð.
Ïîýòîìóhni nj nk i = 0.(70)Àíàëîãè÷íî óñðåäíåíèå ëþáîãî íå÷åòíîãî ïðîèçâåäåíèÿÒåïåðü âû÷èñëèì ñðåäíååni1 ni2 . . . ni2k+1 = 0,hni nj nk nl i ≡Znðàâíî íóëþ:k ∈ Z+ .(71)dΩni nj nk nl .4π(72)Ýòî òåíçîð ñ ÷åòûðüìÿ èíäåêñàìè, êîòîðûé èíâàðèàíòåí îòíîñèòåëüíî âðàùåíèé è ëþáîéïåðåñòàíîâêè åãî èíäåêñîâ. Èç ýòèõ ñèììåòðèé ñëåäóåò, ÷òîhni nj nk nl i = c (δij δkl + δik δjl + δil δjk ) ,ãäå(73)c îïÿòü íåêîòîðàÿ êîíñòàíòà, êîòîðóþ íåâîçìîæíî çàèêñèðîâàòü èç ñèììåòðèéíûõk è l. Òîãäàñîîáðàæíèé. ×òîáû íàéòè åå, ñâåðíåì ñëåâà è ñïðàâà ýòîãî âûðàæåíèÿ èíäåêñûïîëó÷èì ñëåäóþùåå ñîîòíîøåíèå:hni nj i = c (δij 3 + δik δkl + δil δjl ) = c 5 δij .Çíàÿ âû÷èñëåííûé âûøå îòâåò äëÿhni nj nk nl i =hni nj i,(74)ïîëó÷àåì, ÷òî1(δij δkl + δik δjl + δil δjk ) .15Âîïðîñû è çàäà÷è57(75)•Ïîñòðîéòå äðóãèå èíâàðèàíòû ÝÌ ïîëÿ.
Êàê îíè âûðàæàþòñÿ ÷åðåçòå ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ||Fµν ||è âûðàçèòå èõ ÷åðåçñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé èìååò ìàòðèöàµâûðàæàåòñÿ ñëåäóþùàÿ âåëè÷èíà: Fµ12ãî n ïîñëåäíÿÿ âåëè÷èíà ðàâíà íóëþ.•Ïîëó÷èòå (55).•Âû÷èñëèòå ñëåäóþùèå ñðåäíèå:I1èI2 .~Eè~?BÍàéäè-Ñêîëüêî íåçàâèñèìûõ||Fµν ||? Êàê ÷åðåç ýòè ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿnFµµn1 ? Ïîêàæèòå, ÷òî äëÿ íå÷åòíîFµµ23 .
. . Fµµn−1à)hni1 ni2 . . . ni2k i =?,k ∈ Z+ .(76)á)h(~r, ~a) ~ri =?,ãäå âåêòîð~aïîñòîÿííûé, à óñðåäíåíèå âåäåòñÿ ïî âñåì íàïðàâëåíèÿì âåòîðàäóëü êîòîðîãî èêñèðîâàí:(77)~r,ìî-|~r| = r .â)ãäå âåêòîðà~aè~bDh iE[~r, ~a] , ~r, ~b=?,ïîñòîÿííû, à óñðåäíåíèå âåäåòñÿ ïî âñåì íàïðàâëåíèÿì âåòîðàìîäóëü êîòîðîãî èêñèðîâàí:•Ïîêàæèòå, ÷òî(78)u2⊥ /B|~r| = r .ÿâëÿåòñÿ àäèàáàòè÷åñêèì èíâàðèàíòîì.58~r,Óðàâíåíèÿ Ìàêñâåëëà â ðåëÿòèâèñòñêîé îðìå èèõ âûâîä èç ïðèíöèïà íàèìåíüøåãî äåéñòâèÿ äëÿ ïîëåé, 4âåêòîðòîêà, δ óíêöèÿ.Ëåêöèÿ VI;1.  4-é ëåêöèè ìû îáñóäèëè ïðîèñõîæäåíèå óðàâíåíèé Ìàêñâåëëà èç ñîâîêóïíîñòè îïûòíûõ äàííûõ:~ = 0,div B~~ + 1 ∂ B = 0,rot Ec ∂t~ = 4 π ρ,div E~~ − 1 ∂ E = 4 π ~j.rot Bc ∂tcÏåðâàÿ ïàðà ýòèõ óðàâíåíèé âûïîëíÿåòñÿ òîæäåñòâåííî, åñëè~ = rot A,~Bäëÿ íåêîòîðûõ ïîòåíöèàëîâ~.ϕ, A~~ = −grad ϕ − 1 ∂ AEc ∂tÇàâèñèìîñòü ÝÌ ïîëåé~Eè~Bîò ïîòåíöèàëîâ îïðåäå-ëÿåòñÿ ýòèìè îðìóëàìè ñ òî÷íîñòüþ äî çàìåíûϕ′ = ϕ −1 ∂α,c ∂t~′ = A~ + grad αAíàçûâàåìîé êàëèáðîâî÷íûìïðåîáðàçîâàíèåì.
Îêàçûâàåòñÿ, ÷òî åñëè ââåñòè 4âåêòîð ïîòåíöèàëAµ =~ϕ, Aìåðíûé 2òåíçîð ÝÌ~ è B~ îïðåäåëÿþòµ = 0, 1, 2, 3, òî êîìïîíåíòû 3âåêòîðîâ Eµïîëÿ Fµν = ∂µ Aν − ∂ν Aµ , ãäå ∂µ Aν ≡ ∂Aν /∂x . À èìåííî:,Ei = F0i ,Òàê æå êàê~Eè~ , òåíçîð FµνBBi = −ǫijk Fjk ,4i = 1, 2, 3.èíâàðèàíòåí îòíîñèòåëüíî êàëèáðîâî÷íûõ ïðåîáðàçîâàíèé,′êîòîðûå â 4ìåðíîé îðìå èìåþò âèä Aµ = Aµ − ∂µ α. ýòîé ëåêöèè ìû õîòèì çàïèñàòü óðàâíåíèÿ Ìàêñâåëëà â ÿâíîé Ëîðåíö êîâàðèàíòíîéîðìå ÷åðåç òåíçîðFµνè åãî ïðîèçâîäíûå. àññìîòðèì ñíà÷àëî ïåðâîå óðàâíåíèå:~ = ∂i Bi = −∂i ǫijk Fjk = −ǫ0ijk ∂i Fjk = ǫ0ναβ ∂ν Fαβ ,0 = div Bò.ê.ǫ0ijk = ǫijk = ǫijk ,ïîñëåäíåå ðàâåíñòâî âåðíî â ñèëó òîãî, ÷òî â ïðîñòðàíñòâå, â îòëè-÷èè îò ÏÂ, âåðõíèå èíäåêñû íå îòëè÷àþòñÿ îò íèæíèõ.
Òàê æå ìû âîñïîëüçîâàëèñü òåì0ναβ0ijkàêòîì, ÷òî íåíóëåâûå êîìïîíåíòû ǫñîâïàäàþò ñ ǫ. Èòàê, ïîëó÷åííîå óðàâíåíèå0ναβǫ∂ν Fαβ = 0 âûãëÿäèò êàê íóëåâàÿ êîìïîíåíòà êàêîãîòî 4ìåðíîãî óðàâíåíèÿ.Âòîðîå èç óðàâíåíèé Ìàêñâåëëà ïåðåïèñûâàåòñÿ â ñëåäóþùåì âèäå:590=~~ + 1 ∂Brot Ec ∂t!= ǫijk ∂i Ek +i1 ∂Bi= ǫ0ijk ∂i F0k − ǫ0ijk ∂0 Fjk = ǫiναβ ∂ν Fαβ .c ∂tÒàêèì îáðàçîì, ïîëó÷åííîå óðàâíåíèå äîïîëíÿåò òî, ÷òî áûëî âûâåäåíî âûøå äî 4ìåðíîãî óðàâíåíèÿ:ǫµναβ ∂ν Fαβ = 0,(79)ïðåäñòàâëÿþùåãî ïåðâóþ ïàðó óðàâíåíèé Ìàêñâåëëà. Ëåãêî ïðîâåðèòü, ÷òî ýòî óðàâíåíèåâûïîëíÿåòñÿ òîæäåñòâåííî, åñëè â íåãî ïîäñòàâèòüFµν = ∂µ Aν − ∂ν Aµ :ǫµναβ ∂ν Fαβ = ǫµναβ ∂ν (∂α Aβ − ∂β Aα ) = 2 ǫµναβ ∂ν ∂α Aβ = ǫµναβ (∂ν ∂α − ∂α ∂ν ) Aβ = 0.àññìîòðèì òåïåðü òðåòüå èç óðàâíåíèé Ìàêñâåëëà:~ = ∂i Ei = ∂i F i0 = ∂µ F µ0 ,div Eò.ê.F 00 = 0.Äàëåå, ÷åòâåðòîå èç óðàâíåíèé Ìàêñâåëëà ïðèíèìàåò âèä:~~ − 1 ∂Erot Bc ∂t!i= ǫijk ∂j Bk + ∂0 F 0i = −∂j F ij + ∂0 F 0i = ∂j F ji + ∂0 F 0i = ∂µ F µiÒàêèì îáðàçîì, ïîñëåäíèå äâà óðàâíåíèÿ ïðåîáðàçóþòñÿ â∂µ F µ0 = 4 π ρ,4π i∂µ F µi =jcjÒåïåðü äîëæíî áûòü âèäíî, ÷òî åñëè îáúåäèíèòü ïëîòíîñòü çàðÿäà ρ è ïëîòíîñòü òîêà ~µ~â åäèíûé 4âåêòîð ïëîòíîñòè òîêà j = (ρ c, j), òî ïîëó÷åííûå äâà 3ìåðíûõ óðàâíåíèÿçàïèøóòñÿ êàê îäíî 4ìåðíîå óðàâíåíèå:∂µ F µν =4π νj ,c(80)ïðåäñòàâëÿþùåå âòîðóþ ïàðó óðàâíåíèé Ìàêñâåëëà.
Èòàê óðàâíåíèÿ Ìàêñâåëëà çàïèñûâàþòñÿ â óäèâèòåëüíî êîìïàêòíîé Ëîðåíö êîâàðèàíòíîé îðìå, õîòÿ Ìàêñâåëë íè÷åãî èíå çíàë î ÑÒÎ. Ïîä÷åðêíó, ÷òî ïîëó÷åííûå óðàâíåíèÿ òàêæå ÿâíî êàëèáðîâî÷íî èíâàðèàíòíû.2. Èç óðàâíåíèÿ (80), ïðèìåíÿÿ ê îáåèì åãî ñòîðîíàì4äèâåðãåíöèþ, ïîëó÷àåì:4π∂ν j ν = ∂ν ∂µ F µν = ∂ν ∂µ (∂ µ Aν − ∂ ν Aµ ) = ∂ν ∂ 2 Aν − ∂µ ∂ 2 Aµ = 0,c60ãäå ìû îáîçíà÷èëè∂ 2 = ∂α ∂ α . Òàêèì îáðàçîì, èç óðàâíåíèé Ìàêñâåëëà ñëåäóåò óðàâíåíèåíåïðåðûâíîñòè:∂µ j µ =∂ρ+ div ~j = 0.∂t(81)Èç ýòîãî óðàâíåíèÿ ñëåäóåò çàêîí ñîõðàíåíèÿ çàðÿäà.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
