Лекции по СТО и классической термодинамике (1183864), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Òàêèì îáðàçîì, ëåãêî ïîëó÷èòü ÿâíûå âûðàæåíèÿ äëÿRe è Im ÷àñòåé ýòîé îðìóëû, ò.å. äëÿ êîìïîíåíò ñêîðîñòè. Ïðîèíòåãðèðîâàâ ïîëó÷åííûåçíà÷åíèÿ êîìïîíåíò ñêîðîñòè, ïîëó÷èì ñëåäóþùåå âûðàæåíèå äëÿ òðàåêòîðèè ÷àñòèöû:x(t) = x0 + R sin (ω t + α) ,y(t) = y0 + R cos (ω t + α) ,z(t) = z0 + v|| t.R = v⊥ /ω = v⊥ Ekin /e c B , v|| êîìïîíåíòà ñêîðîñòè ÷àñòèöû âäîëüìàãíèòíîãî ïîëÿ, à (x0 , y0 , z0 ) íà÷àëüíîå ïîëîæåíèå ÷àñòèöû. Òàêèì îáðàçîì, â ïîñòîÿííîì ìàãíèòíîì ïîëå ÷àñòèöà äâèæåòñÿ ïî ñïèðàëè ðàäèóñà R. Åñëè ïåðåéòè â èñõîäíóþ ýòèõ óðàâíåíèÿõÈÑÎ, ãäå ýëåêòðè÷åñêîå ïîëå íå ðàâíîh íóëþ,iòî ìû ïîëó÷èì, ÷òî âåäóùèé öåíòð îðáèòûáóäåò äðåéîâàòü ñî ñêîðîñòüþ~ ×B~ c/B 2~vdr = Eïåðïåíäèêóëÿðíîé~Eè~.B(Ñìîòðèòåðàññóæäåíèÿ ïîñëå îðìóëû (60).) Êîíå÷íî æå ïðè ýòîì ñëåäóåò àêêóðàòíî ïðåîáðàçîâàòüâñå âåêòîðû ïðè ïåðåõîäå èç îäíîé ÈÑÎ â äðóãóþ.Ïîä÷åðêíó, ÷òî ÷àñòèöà, ñîâåðøàþùàÿ óñêîðåííîå (â íàøåì ñëó÷àå âðàùàòåëüíîå äâèæåíèå), èçëó÷àåò ÝÌ âîëíû, êàê ìû óâèäèì â ñëåäóþùèõ ëåêöèÿõ.
Íî ïðè ðåøåíèè âûøåóêàçàííîé çàäà÷è ìû ïðåíåáðåãëè ýòèì àêòîì. Ìû âîîáùå ïðåíåáðåãëè ïîëÿìè, ñîçäàâåìûìè ñàìîé ÷àñòèöåé, ñ÷èòàÿ èõ íàìíîãî ìåíüøèìè, ÷åì âíåøíèå~Eè~ . È âîîáùå, äëÿBâñåîáùíîñòè ñëåäóåò îñîçíàâàòü, ÷òî â ýòîé ëåêöèè ìû âåçäå äåëàåì òàêîå ïðåíåáðåæåíèå.49~ > |B|~ .  ýòîì4. Àíàëîãè÷íî ìîæíî ðàññìîòðåòü ñëó÷àé, êîãäà I2 = 0, à I1 < 0, ò.å. |E|ñëó÷àå ìîæíî âûáðàòü òàêóþ ÈÑÎ, ãäå~ ′ = 0, à ìîäóëü ýëåêòðè÷åñêîãîBïîëÿ âûðàæàåòñÿ÷åðåç âåëè÷èíó ïåðâîãî èíâàðèàíòà. Ò.å.
çàäà÷à ñâîäèòñÿ ê ïîèñêó òðàåêòîðèè ÷àñòèöû âîâíåøíåì ïîñòîÿííîì ýëåêòðè÷åñêîì ïîëå. Âûáåðåì êîîðäèíàòíóþ ñåòêó â ïðîñòðàíñòâåòàê, ÷òîáû äâèæåíèå ïðîèñõîäèëî â ïëîñêîñèxy .Òîãäà óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ ÷àñòèöûáóäóò èìåòü âèä:ṗx = e E,ãäåEkinṗy = 0,dEkin= e E vx ,dt íóëåâàÿ êîìïîíåíòà êèíåìàòè÷åñêîãî 4èìïóëüñà.åøàÿ ïåðâûå äâà èç âûïèñàííûõ óðàâíåíèé, ïîëó÷àåì:px = e E t,ïðè íóëåâîì íà÷àëüíîì èìïóëüñå âäîëü îñèpy = p0x. Òîãäà èç ñâîéñòâ êèíåìàòè÷åñêîãî 4èìïóëüñàïîëó÷àåì:Ekin =ãäåE0qqpm2 c4 + p~2 c2 = m2 c4 + c2 p20 + (c e E t)2 = E02 + (c e E t)2 , ýíåðãèÿ ÷àñòèöû â íà÷àëüíûé ìîìåíò âðåìåíèîïðåäåëåíèþ ðàâíà ~v = ~p c2 /Ekin, òît = 0.Ò.ê.
ñêîðîñòü ÷àñòèöû ïîp x c2c2 e E tdx==p 2.dtEkinE0 + (c e E t)2vx = dx/dt âñåãäà ìåíüøå, ÷åìñêîðîñòü ñâåòà êàê äîëãî áû ìû íå óñêîðÿëè åå. Äåéñòâèòåëüíî dx/dt ≈ c òîëüêî àññèìïòîòè÷åñêè ïðè t → ∞ áåñêîíå÷íî äîëãîì óñêîðåíèè. Ïðè ýòîì, åñëè p0 ≪ m c, â ñàìîìíà÷àëå ïðîöåññà óñêîðåíèÿ, êîãäà e E t ≪ m c, êâàäðàòíûé êîðåíü â çíàìåíàòåëå îðìóëûäëÿ vx ìîæíî ðàçëîæèòü.
Òîãäà ìû ïîëó÷àåì îðìóëó äëÿ îáû÷íîãî íåðåëÿòèâèñòñêîãîeE tóñêîðåíèÿ vx =.mÈíòåãðèðóÿ âûðàæåíèå äëÿ vx (t) ïî t, ïîëó÷àåì:pE02 + (c e E t)2E0x(t) =−eEeEïðè íóëåâîì íà÷àëüíîì çíà÷åíèè x(t). Äëÿ y(t) èìååì:Çàìå÷ó, ÷òî èç ýòîé îðìóëû ñëåäóåò, ÷òî ñêîðîñòü ÷àñòèöûÈíòåãðèðóÿ ïît,ïîëó÷àåì:dyp y c2p 0 c2==p 2.dtEkinE0 + (c e E t)2p0 carcshy(t) =eEÑëó÷àé êîãäàI2 = I1 = 0 ìîæíî íàéòèceEtE0.â çàäà÷àõ ê ñîîòâåòñòâóþùèì ïàðàãðààì â êíèãåËàíäàó è Ëèøèöà.~B5.Òåïåðü ðàññìîòðèì ñëó÷àé ïîñòîÿííûõ è îäíîðîäíûõ ñêðåùåííûõ ÝÌ ïîëåé~Eèïðîèçâîëüíîé îðèåíòàöèè, ò.å. íå îáÿçàòåëüíî ïåðïåíäèêóëÿðíûõ äðóã äðóãó.
Áóäåì50v(t) ≪ c, ∀t. Òîãäà p~ ≈ m ~v .~ èB~ , ñîâïàäàåò ñïðîõîäÿùàÿ ÷åðåç Eðåøàòü ýòó çàäà÷ó â íåðåëÿòèâèñòñêîì ïðåäåëå, ò.å. êîãäàÏóñòü ïîëåyz .~Bíàïðàâëåíî âäîëü îñèz,à ïëîñêîñòü,Òîãäà óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ ÷àñòèöû~+m ~v˙ = e Eçàïèøóòñÿ â âèäåie h~~v × Bceẏ B,cem ÿ = e Ey − ẋ B,cm z̈ = e Ez .m ẍ =e Ez t2+ v0z t îáû÷íîå ðàâíîóñêîðåííîå2mäâèæåíèå. Ïåðâûå äâà óðàâíåíèÿ â ýòîé ñèñòåìå ìîæíî çàïèñàòü êàê îäíî êîìïëåêñíîå:Èç ïîñëåäíåãî óðàâíåíèÿ î÷åâèäíî ñëåäóåòz(t) =de(ẋ + i ẏ) + i ω (ẋ + i ẏ) = i Ey ,dtmãäåω = e B/m c ÷àñòîòà Ëàðìîðà. åøåíèå ïîëó÷åííîãî óðàâíåíèÿ åñòü ñóììà îáùåãîa e−i ω t , ñ àìïëèòóäîé a ñëåäóþùåé èç íà÷àëüíûõ óñëî-ðåøåíèÿ îäíîðîäíîãî óðàâíåíèÿâèé, è ÷àñòíîãî ðåøåíèÿ íåîäíîðîäíîãî óðàâíåíèÿ.
 êà÷åñòâå ïîñëåäíåãî ìû âûáåðåì(ẋ + i ẏ)par = e Ey /m ω = c Ey /B .Ò.å. îáùåå ðåøåíèå ðàññìàòðèâàåìîãî êîìïëåêñíîãîóðàâíåíèÿ åñòü:ẋ + i ẏ = a e−i ω t +Âûáåðåì íà÷àëüíûå óñëîâèÿ òàêèìè, ÷òîáûẋ = a cos ω t +ac Ey,Bc Ey.Báûëà äåéñòâèòåëüíîé. Òîãäà:ẏ = −a sin ω t.Ïîëó÷åííûå êîìïîíåíòû ñêîðîñòè ÷àñòèöû ÿâëÿþòñÿ ïåðèîäè÷åñêèìè óíêöèÿìè.
Èõñðåäíèå ïî âðåìåíè çíà÷åíèÿ ðàâíû:ẋ =c Ey,Bẏ = 0,è îïðåäåëÿþò ñðåäíþþ ñêîðîñòü äâèæåíèÿ çàðÿäà â ñêðåùåííûõ ÝÌ ïîëÿõ ñêîðîñòüýëåêòðè÷åñêîãî äðåéà. Åå íàïðàâëåíèå ïåðïåíäèêóëÿðíî îáîèì ïîëÿì è íå çàâèñèò îòçíàêà çàðÿäà.  âåêòîðíîì âèäå åå ìîæíî çàïèñàòü êàêhi~ ×B~ /B 2 .~vdr = c EÂñå òðè ðàññìîòðåííûå â ýòîé ëåêöèè çàäà÷è áîëåå ïîäðîáíî îáñóæäàþòñÿ â êíèãåËàíäàó è Ëèøèöà.6. àññìîòðèì òåïåðü äâèæåíèå ÷àñòèöû â ñëàáîíåîäíîðîäíîì ïîñòîÿííîì ìàãíèòíîìïîëå. Ò.å. â òàêîì ïîëå, êîòîðîå íå ìåíÿåòñÿ âî âðåìåíè, à õàðàêòåðíîå ðàññòîÿíèåêîòîðîì ïîëåBL,íàìåíÿåòñÿ â ïðîñòðàíñòâå ñóùåñòâåííûì îáðàçîì, íàìíîãî áîëüøå, ÷åìõàðàêòåðíûé ðàäèóñ âðàùåíèÿ ÷àñòèöû, êîòîðûé áûë áû, åñëè íåîäíîðîäíîñòüþ ïîëÿìîæíî áûëî ïðåíåáðå÷ü:51L≫ãäåω = c e B/E ,àu⊥u⊥,ω ñêîðîñòü âðàùåíèÿ ÷àñòèöû â ïëîñêîñòè, ïåðïåíäèêóëÿðíîé~,Bâïèáëèæåíèè, êîãäà íåîäíîðîäíîñòüþ ïîëÿ ìîæíî ïðåíåáðå÷ü.~~ + ~r⊥ (t), ãäå R(t)~r(t) = R(t) ðàäèóñâåêòîðóíêöèÿ), à ~r⊥ (t) ðàäèóñ âðàùåíèÿ âîêðóãÏðåäñòàâèì ðàäèóñâåêòîð ÷àñòèöû êàêâåäóùåãî öåíòðà (ìåäëåííî ìåíÿþùàÿñÿâåäóùåãî öåíòðà (áûñòðî ìåíÿþùàÿñÿ âåëè÷èíà).
À èìåííî, ìû ñ÷èòàåì, ÷òî â ïðèáëèæå-~r(t) = ~r⊥ (t), ò.å. â ýòîì ïðèáëèæåíèè~u⊥ = ~r˙⊥ è íåò äâèæåíèÿ âäîëü ïîëÿ.íèè êîãäà ìîæíî ïðåíåáðå÷ü íåîäíîðîäíîñòüþ ïîëÿ,ïðîèñõîäèò òîëüêî áûñòðîå âðàùåíèå ñî ñêîðîñòüþ ïðîèçâîëüíîì íåîäíîðîäíîì ìàãíèòíîì ïîëå óðàâíåíèå äâèæåíèÿ ÷àñòèöû èìååòâèä:àçëîæèì ìàãíèòíîåid~pe h~ R~ + ~r⊥ .~v × B=dtcïîëå â ðÿä Òåéëîðà ïî ñòåïåíÿì ~r⊥ :~ R~ + ~r⊥ = B~ (R) + ~r⊥ , ∇~ B(R).~BÌû áóäåì ðàáîòàòü â ïåðâîì ïîðÿäêå ïî íåîäíîðîäíîñòè.
Òîãäàihid~pe h~ (R) + e ~v × ~r⊥ , ∇~ B(R)~~v × B.=dtccàçëîæèì ñêîðîñòü íàýòîì~,~v|| || Bà~~v⊥ ⊥ B~v = ~u⊥ + ~v|| + ~v⊥ ,ãäå êàê è âûøå~u⊥ = ~r˙⊥ ,à~˙ = ~v|| + ~v⊥ .RÏðè ñêîðîñòè äðåéà âåäóùåãî öåíòðà âäîëü ïîëÿ è â íàïðàâëåíèèïåðïåíäèêóëÿðíîì åìó, ñîîòâåòñòâåííî. Êàê ìû äîãîâîðèëèñü âûøå,~u⊥è~r⊥îïèñûâà-þò äâèæåíèå ÷àñòèöû â íóëåâîì ïðèáëèæåíèè, ò.å.
êîãäà íåîäíîðîäíîñòüþ ïîëÿ ìîæíîïðåíåáðå÷ü:id~u⊥e h~mγ~u⊥ × B(R) .=dtc ïîñëåäíåé îðìóëå ìû âîñïîëüçîâàëèñü òåì àêòîì, ÷òî â ìàãíèòíîì ïîëåγ = const.Òàêèì îáðàçîì, âîñïîëüçîâàâøèñü ïîñëåäíèì óðàâíåíèåì è ðàçëîæåíèåì ñêîðîñòè íàñîñòàâëÿþùèå, ìû ïîëó÷àåì:ih i e h d~ + e ~u⊥ + ~v|| + ~v⊥ × ~r⊥ , ∇~ B~ ,~v|| + ~v⊥ =~v⊥ × Bdtcc~ = 0.èñïîëüçîâàí òîò àêò, ÷òî [~v|| × B]mγãäå òàêæå×òîáû íàéòè ñêîðîñòü äðåéà, óäîáíî óñðåäíèòü ïî áûñòðîìó âðàùåíèþ ïî ìàëåíüêèì êðóãîâûì îðáèòàì, îïðåäåëÿåìûì áîëüøîé ïîñòîÿííîé ñîñòàâëÿþùåé ïîëÿìû õîòèì óñðåäíèòü óíêöèè îòËèíåéíûå ïî~r⊥~r⊥ (t)~.BÒ.å.ïî ïåðèîäó âðàùåíèÿ ñ Ëàðìîðîâñêîé ÷àñòîòîé.÷ëåíû ïðè óñðåäíåíèè äàþò íîëü. Ïîýòîìó ìû ïîëó÷àåì: ii ehd ~v|| + ~v⊥e h˙~~ .~mγ~v⊥ × B + ~r⊥ × ~r⊥ , ∇ B=dtcc52Èñïîëüçóÿ óðàâíåíèå íà2(r⊥ )i (r⊥ )j = 12 ~r⊥δij ,~r⊥èhi~r˙⊥ , ~r˙⊥ = ω ~r⊥ × ~h ,ãäå~h = B/B~ ,5à òàê æå òîò àêò, ÷òîïîëó÷àåì:mγi e hd~ + ~µ, ∇~ B,~~v|| + ~v⊥ =~v⊥ × Bdtc(61)2ãäå ìû ââåëè îáîçíà÷åíèåp~µ = −~h 2 m⊥γ B .Ýòà âåëè÷èíà, êàê ìû óâèäèì èç ñëåäóþùèõëåêöèé, èìååò ñìûñë ìàãíèòíîãî ìîìåíòà, àp ⊥ = m u ⊥ γ , E = m c2 γ .Òàêèì îáðàçîì, ïîñëå ïðîâåäåííîãî óñðåäíåíèÿ ìû ïîëó÷àåì óðàâíåíèå (61), êîòîðîåîïðåäåëÿåò ìåäëåííîå äâèæåíèå âåäóùåãî öåíòðà.
Ýòî óðàâíåíèå îïèñûâàåò ýåêòèâíîå äâèæåíèå ÷àñòèöû, êîòîðàÿ òåïåðü ïîìèìî çàðÿäà èìååò åùå è ìàãíèòíûé ìîìåíò.Ïîñëåäíèé ïîÿâèëñÿ èççà áûñòðîãî âðàùåíèÿ èñõîäíîé ÷àñòèöû âîêðóã âåäóùåãî öåíòðà. ðàìêàõ ðàññìàòðèâàåìîãî ïðèáëèæåíèÿ ïðàâàÿ ñòîðîíà (61) èìååò ïîðÿäîê âåëèv⊥ ω ∼ v⊥ ur⊥⊥ . Ïðè ýòîì õàðàêòåðíîå âðåìÿ èçìåíåíèÿ v⊥ , îïðåäåëÿþùåå ïîðÿäîêâåëè÷èíû dv⊥ /dt, åñòü÷èíûτ∼dv⊥u⊥v⊥v⊥v⊥ r⊥v⊥L⇒≪ v⊥= v⊥ ω.∼∼ v⊥∼ v⊥≪ v⊥v⊥dtτLr⊥ Lr⊥r⊥d~v⊥ /dt.~v|| = v|| ~h. ÏîýòîìóÏîýòîìó ìû ïðåíåáðåæåì â ëåâîé ÷àñòè óðàâíåíèÿ (61) âåëè÷èíîéÒåïåðü ðàññìîòðèìÏðîèçâîäíàÿ ó~v˙ || .Òàê êàê~v||íàïðàâëåíî âäîëü~h,òîd~v||d~h ~d ~ ~ dv||˙v|| h = h=+ v||= h v̇|| + v|| ~h.dtdtdtdt~h ïîÿâëÿåòñÿ, íåñìîòðÿ íà òî, ÷òî ~h = B/Bâåëè÷èíû ~è~Bíå çàâèñèò îòâðåìåíè, ïîòîìó ÷òî ìû áåðåì ýòîò âåêòîð â òî÷êå òðàåêòîðèè ÷àñòèöû, êîòîðàÿ äâèæåòñÿâäîëü ñèëîâîé ëèíèè ïîëÿ~.BÒ.å.~~h˙ = ∂ h Ṙi ≈ v|| ~h, ∇~ ~h,∂RiṘi = v|| hi è ïðåíåáðåãëè äîáàâî÷íîé ñêîðîñòüþ ~v⊥ .
Ïîäóìàéòå, ïî÷åìó ìû ìîæåì ýòî ñäåëàòü.~ ~h. åîìåòðè÷åñêèé ñìûñë ïðèñóòñòâóþùåé çäåñüÒàêèì îáðàçîì, ~v˙ || = ~h v̇|| + v||2 ~h, ∇~~âåëè÷èíû h, ∇ ~h ñòàíîâèòñÿ ïîíÿòåí, åñëè ðàññìîòðåòü áåñêîíå÷íî ìàëûé ñäâèã âäîëüñèëîâîé ëèíèè íà dl :~h(~r0 + ~h dl) = ~h(r0 ) + ~h, ∇~ ~h dl.ãäå ìû èñïîëüçîâàëè ðàâåíñòâîÝòà âåëè÷èíà ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé èçìåíåíèå åäèíè÷íîãî âåêòîðà ñêîðîñòè~h = ~v|| /v||ïðèñäâèãå âäîëü òðàåêòîðèè, ò.å. ýòî öåíòðîñòðåìèòåëüíîåóñêîðåíèå åäèíè÷íîãî âåêòîðà ñêî-ðîñòè. Ïîýòîìó ìû ìîæåì ïðåäñòàâèòü åå êàê5 Ñìîòðè~h, ∇~ ~h =~n, ãäåρρ ðàäèóñ êðèâèçíûàïïåíäèêñ â êîíöå ýòîé ëåêöèè. Ïîä÷åðêíåì, ÷òî çäåñü ~r⊥ ñîâåðøàåò áûñòðûå âðàùåíèÿ~ . Ïîýòîìó (r⊥ )i (r⊥ )j ≡ h(r⊥ )i (r⊥ )j i = 1 ~r2 δij , à íåâ äâóìåðíîé ïëîñêîñòè ïåðïåíäèêóëÿðíîé ïîëþ B2 ⊥1 2r⊥ δij .3~53òðàåêòîðèè, à~n åäèíè÷íûé âåêòîð íîðìàëè ê òðàåêòîðèè,hi êîòîðûé íàïðàâëåí ê ååöåíòðó êðèâèçíû.
Ââåäåì òàê æå âåêòîð áèíîðìàëè~b = ~h × ~n.Òåïåðü ïðåîáðàçóåì â óðàâíåíèè (61) ñëåäóþùóþ âåëè÷èíó:~~~~~~~~~~~~~~~ , ∇ B = −µ h, ∇ B = −µ h, ∇ h B = −µ B h, ∇ h − µ h h, ∇ B.µÒîãäà, ñ ó÷åòîì âñåãî ñêàçàííîãî, óðàâíåíèå (61) ïðèíèìàåò ñëåäóþùèé âèä:hi~h v̇|| + v 2 ~h, ∇~ ~h − µ ~h ~h, ∇~ B.~ ~h = ω ~v⊥ × ~h − µ B ~h, ∇(62)||mγmγhhiih è ó÷òåì, ÷òî [~h×~h] = 0, ~h × ~v⊥ × ~h =Óìíîæèì âåêòîðíî îáå ñòîðîíû ýòîãî ðàâåíñòâà íà ~hhi i~1 ~~~~~~v⊥ , è h × h, ∇ h = ρ h × ~n = ρb .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
