Физика твёрдого тела 1 (1182142), страница 7

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 7)

Попавшие в трубуодновременно нейтроны пролетят ее за разное время. И вылететь наружусмогут нейтроны, сделавшие это за время τ , то есть нейтроны, которыедвигались со скоростью v  l /  (l – длина трубы). Все прошедшиенейтроны имеют близкие импульсы, а, следовательно, и близкие значениядлин волн де-Бройля (2.3).Как же получить главные дифракционные максимумы? Прификсированном положении кристалла (фиксированном  ) условие40Вульфа-Брэгга (2.1) может и не выполняться.

То есть мы вообще неувидим никаких максимумов кроме нулевого. Поэтому кристаллустанавливают на медленно поворачивающемся (качающемся) столике.При таких качаниях угол скольжения θ непрерывно изменяется. И средивсех возможных положений кристалла относительно луча находятся такие,для которых условие Вульфа-Брэгга выполняются. Зная эти положения(углы  ),  и m , можно рассчитать межплоскостное расстояние d .Конечно, чтобы восстановить строение кристалла, необходимаинформация не об одном, а о многих дифракционных максимумах.

Ноидея измерений качественно ясна. Далее необходимо решить обратнуюзадачу: подобрать такую кристаллическую структуру, у которой главныммаксимумам соответствовали бы такие же расчетные углы и такие жеотносительные интенсивности. Существуют специальные компьютерныепрограммы, восстанавливающие кристаллическую структуру подифракционной картине.в) Метод Дебая-ХюккеляВ данном методе также используется монохроматический падающийпучок, но объектом исследования является не монокристалл, а порошок,состоящий из маленьких кристалликов, которые развернуты впространстве случайным образом. Конечно, при этом часть информациитеряется по сравнению с методом вращающегося кристалла.

Но не всегдаможно получить монокристаллы достаточных размеров (~1 см), чтобыпровести измерения последним методом.Поскольку кристаллические решетки порошинок развернуты впространстве под всевозможными углами, среди них находятся такие, длякоторых условие Вульфа-Брэгга будет выполнено. Но вместо отдельныхзасвеченных пятен в методе порошка будут наблюдаться концентрическиекольца (в идеале - бесконечно тонкие).

Дело в том, что если естьпорошинки, для которых атомные плоскости ориентированы так, как этоизображено на рис.2.1, то существуют и порошинки, ориентацияплоскостей в которых может быть получена из изображенной на рисункеповоротом на произвольный угол относительно оси падающего пучка.Естественно, что при таком повороте условие главного максимума ненарушится, а сам максимум будет наблюдаться в точке, которую можнополучить, повернув первоначальную дифракционную картину на тот жеугол. Поскольку этот угол произволен, то из точки мы получимокружность (рис.2.5). Радиус каждой окружности R задает нам угол  .Действительно sin 2  R / l , где l - расстояние от мишени (порошка) дофотобумаги.

Конечно, экономя расходные материалы, никто не использует41в данном методе квадратную фотобумагу, вырезают тонкую полоску,располагая ее перпендикулярно пучку.Рис.2.5. Дебаеграмма.423. Обратная решеткаПрежде всего, введем понятие обратного пространства. Обычно подэтим термином имеют ввиду пространство, которое получается из данногов результате преобразования Фурье.

Мы имели дело с реальнымпространством – трехмерным пространством координат атомов. Врезультате преобразования Фурье мы получаем трехмерное пространствоволновых векторов. Его мы и будем называть в курсе физики твердого телаобратным пространством.Обратная решетка Бравэ (часто используют просто термин «обратнаярешетка») – это решетка в пространстве волновых векторов. Множество G векторов g ( g  G ), удовлетворяющих условиюВульфа-Брэгга (3.1)ai g  2hi ,где hi  Z , образует обратную решетку Бравэ.Для выполнения условия (3.1) необходимо и достаточно, чтобыg  ha1  la2  ma3 ,(3.2)   2  [a 2 , a3 ],a1 Vяч   2  [a3 , a1 ],a 2 Vяч   2  [a1 , a 2 ],a 3 Vяч(3.3)гдеV яч - объем элементарной ячейки в прямом координатном пространстве.Векторы ai (i=1, 2, 3) представляют собой примитивные векторытрансляции в обратном пространстве.

Вектор g является аналогом векторатрансляции в прямом пространстве (сравните (3.2) и (1.1)). Легко показать,что (ai , ak )  2 ik ,(3.4)где  ik - символ Кронекера:  ik =1, если i  k , и нулю в противном случае.43Представляем читателю, пользуясь соотношением (3.4), доказатьнеобходимость и достаточность соотношения (3.2) для выполненияусловий Вульфа-Брэгга (3.1).Таким образом, чтобы выполнялось условие Вульфа-Брэгга     необходимо и достаточно, чтобы k  k 'k  g . Отсюда k '  k  g .Отметим, что вектор g перпендикулярен системе атомных плоскостей, накоторых происходит дифракция (рис.2.1).Найдем условие для волнового вектора k падающей волны, воспользовавшись соотношением (k ' ) 2  (k ) 2 или (k  g ) 2  k 2 .Окончательно получаем  (3.5)2(k , g )  g 2  0 .Это есть эквивалентная (2.14) запись условия Вульфа-Брэгга.Для каких точек в пространстве волновых векторов выполнено условие (3.5)? Скалярное произведение ( k , g ) можно записать как k g g ,где k g - проекция вектора k на направление g .

Тогда из (3.5) получаемggk g  или k  g  , где k  g - проекция вектора k на вектор - g .22Отметим, что в силу соотношения (3.2), вектор - g - тоже вектор обратнойрешетки. Как найти множество векторов, чьи проекции на данный векторравны заданной величине? Надо отложить вдоль вектора отрезок, равныйпо длине этой проекции, и через получившуюся точку провести плоскость,перпендикулярную данному вектору. Множество векторов, имеющихобщее начало с заданным вектором и заканчивающихся в любой из точекполученной плоскости, и есть искомое множество.Поэтому рецепт нахождения векторов k , удовлетворяющих условиюВульфа-Брэгга, таков: Помещаем начало системы координат в один из узлов обратнойрешетки, Соединяем его вектором обратной решетки g с другим узлом, Через середину вектора g перпендикулярно ему проводимплоскость.

Она носит название брэгговской, Искомый волновой вектор k соединяет начало координат с любойточкой брэгговской плоскости, Поскольку каждый вектор обратной решетки порождает брэгговскуюплоскость, число таких плоскостей бесконечно (но счетно).44Вернемся теперь к вопросу о типе обратной решетки Бравэ.

Посколькупримитивные векторы трансляции обратной решетки однозначнозадаются примитивными векторами трансляции прямой решетки(формула (3.3)), то тип обратной решетки однозначно определяетсятипом прямой решетки Бравэ. Ячейку Вигнера-Зейтца обратной решеткиназывают зоной Бриллюэна.Задачи:1.

Выразить объем зоны Бриллюэна через объем элементарной ячейкив прямом пространстве.2. Найти примитивные векторы трансляции обратной решетки и типыобратных решеток для ПК, ОЦК и ГЦК решеток Бравэ.454. Дефекты кристаллической решеткиДо сих пор мы рассматривали идеальную кристаллическую решетку.Но любой, даже самый совершенный кристалл, содержит дефекты,которые нарушают периодичность (трансляционную инвариантность)кристалла.По своим размерам дефекты делятся на нульмерные (точечные),одномерные (линейные), двухмерные (плоские) и трехмерные (объемные).4.1.

Точечные дефектыТакое название эти дефекты получили потому, что их положение впространстве можно задать точкой, и они изменяют свойства кристалла вограниченной области, окружающей дефект.Простейшим точечным дефектом является вакансия - отсутствиеатома в том месте, где он должен присутствовать в идеальном кристалле.Равновесная концентрация вакансий отлична от нуля в любомкристалле при температуре, отличной от абсолютного нуля. На местовакансии может перескочить атом, находящийся в соседнемэквивалентном узле. Это будет означать, что вакансия переместилась, тоесть вакансии могут диффундировать по кристаллу. Просто так исчезнутьвнутри кристалла вакансия не может. Она может пропасть, дойдя до егоповерхности.

Пустое место на поверхности означает просто углубление –ямку атомного размера.Наряду с вакансиями в равновесном кристалле существует другойтип дефектов – собственные межузельные атомы. Собственныймежузельный атом – это атом, который входит в состав идеальногокристалла, располагающийся в междоузлии. Междоузлие в идеальномкристалле – это свободное пространство между занятыми атомами узламикристаллической решетки (рис.4.1).MРис.4.1. Междоузлие.46Собственный межузельный атом тоже может диффундировать из одногомеждоузлия в другое.

Исчезнуть этот дефект может, либо выйдя наповерхность кристалла и достроив кристаллическую решетку, либовстретившись с вакансией. При встрече с вакансией межузельный атомможет встать на пустующее место в кристаллической решетке, которое ондолжен занимать в идеальном кристалле. В результате этого пара дефектоввакансия – межузельный атом исчезнет (аннигилирует). Возможен иобратный процесс. Под действием теплового возбуждения или вследствиеоблучения быстрыми частицами атом из узла кристаллической решеткиможет перейти в междоузлие, в результате чего родятся два дефекта:вакансия и межузельный атом.Другой тип точечных дефектов это примеси. Примесь – атомэлемента, не входящего в состав идеального кристалла.

Если онрасположен в узле кристаллической решетки на месте атома другогоэлемента, входившего в состав идеального кристалла, то примесьназывается примесью замещения. Если же примесь расположена вмеждоузлии, то она называется примесью внедрения. В реальныхкристаллах всегда существуют примеси, попавшие в него в процессе ростакристалла. Так, например, наиболее чистые монокристаллы металловсодержат концентрацию примесей кислорода и азота на уровне несколькихppm (part per million), то есть нескольких атомов на миллион атомовкристалла.Примеси могут вводиться в состав кристалла целенаправленно дляизменения его физических характеристик, например, легированиеполупроводников.4.2.

Характеристики

Список файлов книги