Физика твёрдого тела 1 (1182142), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Эту неизменность (инвариантность) физических свойств8кристалла по отношению к операциям трансляции формулируют краткотак: «кристалл обладает трансляционной инвариантностью».Поскольку в бесконечном кристалле бесчисленное множествоэквивалентных точек (в каждой элементарной ячейке – одна), в немсуществует бесчисленное множество векторов трансляции. Их можновыразить через 3 примитивных (элементарных) вектора трансляции.

Числопримитивных векторов трансляции равно размерности пространства.Дадим их определение: Если любой вектор трансляции кристаллической решетки T представимв виде(1.1)T  ha1  la2  ma3 ,где h , l и m - целые числа ( h , l , m  Z , Z - множество целых чисел), то a1 , a 2 и a3 - примитивные векторы трансляции данной кристаллическойрешетки. Выбор примитивных векторов трансляции неоднозначен, как ивыбор элементарной ячейки (рис.1.3).a1a2a1a1a2a2Рис.1.3. Неоднозначный выбор примитивных векторовтрансляции для квадратной решетки.Однако при любом выборе примитивных векторов трансляциинеизменным должен оставаться модуль их смешанного произведения,определяющий объем элементарной ячейки V яч , имеющей формупараллелепипеда, задаваемого этими векторами (рис.1.4)  V яч  (a1 , [a 2, a3 ]) ,(1.2)где круглые скобки обозначают скалярное произведение векторов, аквадратные – векторное. Модуль смешанного произведения мы взяли потому, что оно положительно в случае, если тройка векторов a1 , a 2 и a3 правая, и отрицательно, если левая.Легко убедиться, что если мы выберем примитивные векторытрансляции неверно, например, возьмем a1 в два раза больше, чем9необходимо, то из данной точки мы попадем не во все эквивалентные ейточки, часть их останется недоступными при использовании векторовтрансляции, задаваемых формулой (1.1).a1a3a2Рис.1.4.

Элементарная ячейка. Решетка Бравэ – это решетка, образованная множеством эквивалентныхточек кристалла, которые являются узлами решетки Бравэ. Вектортрансляции соединяет два узла решетки Бравэ. Для наглядностиближайшие узлы можно соединить друг с другом, чтобы увидетьрешетку в привычном значении этого слова. Базисом кристаллической решетки называют совокупность атомов илимолекул, находящихся в элементарной ячейке кристалла, другимисловами, материальное наполнение этой элементарной ячейки.Часто говорят, что кристалл – это решетка Бравэ плюс базис. Этовысказывание надо понимать в том смысле, что, имея содержимоеэлементарной ячейки и периодически продолжая его путем параллельногопереноса на все векторы трансляции, которые задаются решеткой Бравэ,мы получим весь бесконечный кристалл.1.3. Кристаллические системы и типы решеток БравэПри огромном многообразии кристаллических твердых телсуществует всего 14 решеток Бравэ.

Каждая решетка Бравэхарактеризуется шестью параметрами: длинами векторов трансляции, невсегда примитивных, (их обозначают a , b и c ) и углами  ,  и  ,которые они образуют друг с другом (рис.1.5).10αγ βacbРис.1.5. Параметры элементарной ячейки.В трехмерном пространстве 3 вектора трансляции задаются 9 скалярнымипараметрами – координатами. А мы использовали только 6. Не потерялили мы существенную информацию? Оказывается, нет. Три оставшихсяпараметра задают положение решетки Бравэ в пространстве, то есть,эквивалентны трем углам Эйлера, которые описывают повороты твердоготела.Таблица 1.1.Виды решетки Бравэ№п/п1.НазваниеТриклиннаяЧисло СимволыРешеток1П2Моноклинная2П, ОЦ3Ромбическая(орторомбическая)4П, БЦ,ОЦ, ГЦ4Тетрагональная2П, ОЦ5Кубическая3П, ОЦ,ГЦ6Тригональная(ромбоэдрическая)1Р7Гексагональная1ППараметрыa  b  c,      90 a  b  c,    90   a  b  c,      90 a  b  c,      90 a  b  c,      90 a  b  c,120         90 a  b  c ,     90  ,  120 11Отметим те признаки, по которым можно отличить одну решетку отдругой.

Это равенство каких-либо из трех длин a , b и c или наличиепрямых углов среди  ,  и  , приводящее к появлению новых элементовсимметрии, обсуждению которых будет посвящен следующий параграф.Рассмотрим подробнее приведенные в таблице типы решеток.Триклинная решетка Бравэ является самой несимметричной: ееэлементарная ячейка представляет собой параллелепипед с разными,вообще говоря, длинами сторон и произвольными непрямыми углами(рис.1.6).Рис.1.6.

Элементарная ячейка триклинной решетки Бравэ.Узлы примитивной (П) решетки Бравэ расположены только ввершинах параллелепипеда. На элементарную ячейку, как мы знаем,приходится один узел решетки Бравэ. Выполнено ли это условие в данномслучае? Чтобы понять это, представим узел не в виде точки, а в видешарика с центром в прежней точке.

Внутрь параллелепипеда попадает невесь объем шарика, а только его часть. Если сложить доли объемов шаров,попавшие внутрь параллелепипеда, то получим единицу, то есть,действительно, нарисованный параллелепипед представляет собойэлементарную ячейку.В каждой последующей решетке (за исключением последних двух)появляется новое «достоинство»: либо равенство сторон, либо прямойугол.В моноклинной решетке два угла из трех прямые, её ячейкапредставляет собой прямую призму, в основании которой находитсяпараллелограмм (рис.1.7а).

В случае примитивной решетки Бравэ этапрямая призма является элементарной ячейкой.12абРис.1.7. Элементарная ячейка примитивной (а) и объемоцентрированной(б) моноклинной решетки Бравэ.В объемоцентрированной (ОЦ) решетке Бравэ еще один узелнаходится в центре параллелепипеда – в точке пересечения главныхдиагоналей (рис.1.7б).

При этом на параллелепипед (в данном случае – напрямую призму) приходится два узла решетки Бравэ, и его объем вдвоепревосходит объем элементарной ячейки. Мы рассмотрим процедурупостроения последней позже.В ромбических (иногда используют термин орторомбических)решетках Бравэ все углы прямые, но все стороны получившегосяпрямоугольного параллелепипеда разные (кирпич). С примитивной иобъемоцентрированной решетками мы уже познакомились (рис.1.8а,б).абвгРис.1.8. Элементарная ячейка примитивной (а), объемоцентрированной (б),базоцентрированной (в) и гранецентрированной (г) ромбической решеткиБравэ.Базоцентрированная (БЦ) решетка содержит по сравнению спримитивной два дополнительных узла в центрах двух противоположныхграней (рис.1.8в).

От каждого узла попадает внутрь половина (вспомнимшарик). В итоге на прямоугольный параллелепипед приходится 2 узла13решетки Бравэ, объем элементарной ячейки, следовательно, вдвое меньшеобъема параллелепипеда и равен abc / 2 .В случае гранецентрированной (ГЦ) решетки Бравэ дополнительныепо отношению к примитивной решетке узлы располагаются в центрах всехшести граней (рис.1.8г). В итоге, на параллелепипед приходится четыреузла решетки Бравэ, а объем элементарной ячейки равен abc / 4 .У любопытного читателя должен возникнуть вопрос: «Почемуромбических решеток четыре, а триклинная – только одна? Разве нельзясделать, например, триклинную объемоцентрированную решетку?»Сделать, конечно, можно.

Но, выбрав новую, действительно элементарнуюячейку, мы получим из объемоцентрированной примитивную триклиннуюрешетку Бравэ. А раз они эквивалентны, то зачем вводить новый тип?«А почему нельзя проделать то же самое с ромбической решеткойБравэ?» - спросит пытливый читатель. А потому, что при таком переходеновая, действительно элементарная ячейка будет лишена тех достоинств,которыми мы в процессе классификации никоим образом не хотимпожертвовать, а именно, она не будет иметь прямых углов и ее труднобудет по виду отличить от триклинной. На это мы пойти не можем.Поэтому ромбических решеток четыре. А триклинной решетке Бравэнечего терять.Предоставляем читателю, в качестве упражнения, найти, какойрешетке эквивалентны моноклинная базоцентрированная и моноклиннаягранецентрированная решетки Бравэ.Именно по изложенной выше причине, тетрагональных решетоктоже только две: примитивная и объемоцентрированная (рис.1.9).

Здесьпри переходе к меньшей ячейке наряду с прямыми углами мы ни в коемслучае не готовы пожертвовать равенством сторон а и b .абРис.1.9. Элементарная ячейка примитивной (а) и объемоцентрированной(б) тетрагональной решетки Бравэ.14Кубических решеток три: примитивная, объемоцентрированная игранецентрированная(рис.1.10).Еслитетрагональнаягранецентрированная решетка эквивалентна объемоцентрированной, тодля кубической решетки это не так: при переходе к меньшей ячейкепришлось бы пожертвовать равенством всех трех длин ( a  b  c ).абвРис.1.10. Элементарная ячейка примитивной (а), объемоцентрированной(б) и гранецентрированной (в) кубической решетки Бравэ.Итак, постепенно увеличивая симметрию, мы дошли до самойсимметричной кубической решетки Бравэ.

Но в стороне остались еще дватипа решеток. Одну из них, тригональную (ромбоэдрическую) можнопредставить как результат сжатия или растяжения простой кубическойрешетки Бравэ вдоль одной из главных диагоналей куба. При этомравенство всех сторон ( a  b  c ) и углов (      ) сохраняется, но углыперестают быть прямыми (рис.1.11).Рис.1.11. Элементарная ячейка тригональной решетки Бравэ.Последняя, гексагональная решетка Бравэ выделена в силу, как мыувидим ниже, наличия в ней оси симметрии 6-го порядка. На вид, казалосьбы, элементарная ячейка этой решетки представляет собой частный случайпримитивной моноклинной решетки Бравэ, в основании которой лежитромб с углом 600 или 1200 (рис.1.12а).

Характеристики

Список файлов книги