Физика твёрдого тела 1 (1182142), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

Но если посмотреть на совокупность15таких ячеек сверху, то мы увидим, что эта совокупность ромбов можнопредставить как набор правильных шестиугольников (и треугольников)(рис.1.12б). Совокупность любых других ромбов или параллелограммов,не имеющих прямых углов, невозможно представить в виде набораправильных многоугольников.абРис.1.12.

Элементарная ячейка гексагональной решетки Бравэ.Упражнение: найти примитивные векторы трансляции для всехрешеток Бравэ.1.4. Элементы симметрии кристаллической решеткиДадим вначале определение преобразования симметрии для любогообъекта: это такое преобразование, в результате которого объектоказывается тождественным самому себе. Простейшее, тождественноепреобразование, которое существует для всех объектов, это когда надобъектом не совершают вообще никаких операций. Говоря окристаллической решетке, мы будем рассматривать геометрическиепреобразования в пространстве.

Если в результате некоторогопреобразованиябесконечныйидеальныйкристаллоказалсятождественным самому себе, то говорят, что он обладаетсоответствующим элементом симметрии. Наличие симметрии сильноупрощает описание свойств кристалла. Поэтому полный набор элементовсимметрии является важнейшей характеристикой кристалла.Преобразования симметрии кристалла делятся на точечные ипространственные. К первым относят такое преобразование, в результатекоторого хотя бы одна точка кристалла осталась на месте. В противномслучае преобразование симметрии пространственное. Простейший примерпространственного преобразования – операция (преобразование)трансляции.Познакомимся с точечными элементами симметрии кристалла.16 Ось вращения n-го порядка:Если в результате поворота вокруг некоторой оси на угол 360 0/n (nцелое число, превосходящее единицу) кристалл оказался в состоянии,тождественном первоначальному, то говорят, что он обладает осьюсимметрии n-го порядка.В кристаллах существуют оси симметрии второго, третьего,четвертого и шестого порядков.

Ось первого порядка (поворот на 3600)эквивалентна тождественному преобразованию.Для того, чтобы продемонстрировать отсутствие осей симметриидругих порядков, докажем вспомогательную теорему.Теорема: нельзя полностью заполнить плоскость правильнымивыпуклыми многогранниками с числом сторон n=5 и n  7.Доказывать эту теорему будем от противного. Пусть плоскостьполностью заполнена правильными n-угольниками. При этом вершинамногоугольника является местом стыковки k многогранников (k –натуральное число большее двух). Например, в случае заполненияплоскости правильными шестиугольниками (n=6) k=3 (рис.1.11б).Поскольку внутренний угол правильного выпуклого многогранника  n180 0 (n  2)равен  n (доказательство этого предоставляем читателю), тоn n  k  360 0 .Подставляя значение  n , получаем условиеk (n  2)  2n ,(1.3)где k и n – натуральные числа, превосходящие 2.

Из условия k  3 находим2n 3  n  6.n2Перебирая n=3;4;5;6, находим из формулы (1.3) соответствующие значенияk (смотри таблицу 1.2.).При n=5 мы получаем дробное значение k. Это значит, что решениеуравнения (1.3) в целых числах отсутствует. Только правильнымипятиугольниками нельзя заполнить плоскость, останутся пустыепромежутки в виде ромбов. Используя эти два элемента (ромб иправильный пятиугольник), можно полностью заполнить плоскость.Соответствующая картина (паркет Серпинского) приведена на рис.1.13.17Таблица 1.2.nk3644563133Рис.1.13.

Паркет Серпинского.Какое отношение она имеет к физике твердого тела? Представьтесебе, что в каждой вершине на рис.1.13 находится атом. Мы получимструктуру, которую физики называют двухмерным квазикристаллом. В нейесть дальний порядок. Действительно, задав центральный пятиугольник,мы можем предсказать положение любой, сколь угодно далекой вершины.Однако, в отличие от кристаллов, в данной структуре отсутствуетпериодичность. Нельзя указать такой конечный вектор трансляции, припараллельном переносе на который приведенная картина совпадет сама ссобой.Именно отсутствие трансляционной инвариантности при наличиидальнего порядка и заставляет нас называть подобные структурыквазикристаллами.Существуютдвухмерныеитрехмерные18квазикристаллы, в которых существуют оси симметрии пятого и седьмогопорядков.Как теперь от доказанной теоремы перейти к невозможностисуществования осей симметрии с n=5 и n  7? Строгое доказательствоэтого занимает слишком много места.

Обоснуем наше утверждениекачественно, рассуждая от противного. Если в кристалле такая осьсуществовала бы, мы могли бы выбрать элементарную ячейку такогокристалла в виде прямой призмы, основанием которой являлся быправильный n-угольник. Поскольку при периодическом продолженииэлементарные ячейки заполняют весь кристалл без пустот, мы полностьюзаполнили бы правильными n-угольниками кристаллическую плоскость,что противоречит доказанной нами теореме.

Следовательно, подобные осисимметрии в кристалле отсутствуют. Плоскость симметрии – плоскость зеркального отраженияГоворят, что кристалл обладает плоскостью симметрии, если призеркальном отражении бесконечного идеального кристалла относительноданной плоскости кристалл оказывается в состоянии, тождественномпервоначальному. Напомним правило, по которому находится зеркальноеотражение объекта. Для этого достаточно указать правило, по которомунаходится зеркальное отражение любой его точки:из исходной точки опускаем перпендикуляр на плоскостьсимметрии. Изображение данной точки лежит на этомперпендикуляре по другую сторону от плоскости симметрии ирасположено на таком же расстоянии от плоскости, что и исходнаяточка. Центр инверсииКристалл обладает центром инверсии, если после операции инверсиион переходит в состояние, тожественное первоначальному.

Расположимначало координат в центре инверсии. Операция инверсии сопоставляетточке с радиус-вектором r точку с радиус-вектором  r .Все вышеописанные операции принадлежат к точечным элементамсимметрии. При повороте относительно некоторой оси на месте остаютсяточки кристалла, лежащие на оси симметрии, при отражении – точки,лежащие на плоскости симметрии, а при инверсии остается на месте точка,совпадающая с центром инверсии.А бывают ли пространственные элементы симметрии заисключением операций трансляции? Да бывают. Это винтовые оси иплоскости скольжения.Говорят, что кристалл обладает винтовой осью n-го порядка, если0при повороте на угол 360 /n и смещении на вектор b , параллельный оси ине равный ни одному из векторов трансляции, кристалл переходит в19состояние, тождественное исходному. Ось называют винтовой, так как придвижении по винтовой резьбе поворот также сопровождается смещениемвдоль оси винтовой резьбы.Говорят, что кристалл обладает плоскостью скольжения, если призеркальном отражении относительноэтой плоскости и последующемперемещении на вектор b , параллельный плоскости отражения и неравный ни одному из векторов трансляции, кристалл переходит всостояние, тождественное первоначальному.Упражнение.

Найдите элементы симметрии различных решетокБравэ.1.5. Группы и классы симметрииЛемма 1. Совокупность всех элементов симметрии кристалла образуетпространственную группу симметрии кристалла.Лемма 2. Совокупность точечных элементов симметрии кристаллаобразует точечную группу симметрии кристалла.Прежде, чем приступить к доказательству этих утвержденийпознакомимся с определением группы.Совокупность элементов g i , принадлежащих множеству G ( g i  G ),образует группу, если она удовлетворяет следующим четыремтребованиям:1. Определена бинарная операция для любых двух элементов g i  G(условно «произведение» элементов), причем результат этогопроизведения также принадлежит к множеству G : gi  g j  G .Заметим, что «произведение», вообще говоря, не обладает свойствомкоммутативности, то есть g i  g j  g j  g i .

Если коммутативность имеетместо, то говорят, что группа абелева.2. Существует единичный элемент Е , такой, что для любого g i  GE  gi  gi  E  gi .3. Произведение обладает свойством ассоциативности, то есть длялюбых g1 , g 2 , g 3  G g1  ( g 2  g 3 )  ( g1  g 2 )  g 3 .4. Для любого g i  G имеется обратный элемент g i1 , принадлежащийк множеству G ( g i1  G ), такой, что20g i  g i1  g i1  g i  E .Упражнение: показать, что множество целых чисел образует группу поотношению к бинарной операции сложения, а множество рациональныхчисел – группы по отношению к бинарным операциям сложения иумножения.Вернемсятеперькэлементамсимметриикристалла.«Произведением» для преобразований симметрии является ихпоследовательное применение к бесконечному идеальному кристаллу.Поскольку каждое преобразование переводит кристалл в состояние,тождественное первоначальному, то их последовательное применениетакже переведет кристалл в состояние, тождественное первоначальному.То есть требования 1 и 3 выполнены.Единичным преобразованием является отсутствие какого-либогеометрического преобразования.Несколько больше времени потребуется на доказательство того, чтотребование 4 также выполнено.

Легко указать рецепт построенияобратного преобразования: надо совершить все действия в обратном поотношению к прямому преобразованию порядке (то есть поменять местаминачальное и конечное состояния).Например, для поворота относительно оси на угол 3600/n обратнымпреобразованием будет поворот относительно той же оси на тот же угол,но в обратном направлении. Для зеркального отражения обратнойоперацией будет оно само, то есть повторное зеркальное отражение вернетвсе точки кристалла в исходное состояние. Это же относится и к операцииинверсии: она является обратным элементом для себя самой. Длятрансляции на вектор T обратным преобразованием будет трансляция навектор  T .

Нахождение элементов, обратных к другим пространственнымпреобразованиям симметрии предоставляем читателю.Посколькуначальноеиконечноесостояниякристалла,подвергшегося преобразованию симметрии, тождественны, то обратноепреобразование переводит кристалл в состояние, тождественноепервоначальному. Таким образом, мы показали, что требование 4 такжевыполнено. Лемма 1 доказана.Для доказательства Леммы 2 необходимо показать, что припоследовательном применении двух любых точечных преобразованийсимметрии хотя бы одна точка кристалла остается на месте, то есть что«произведение» двух точечных преобразований симметрии также являетсяточечным. Это может быть не так, если, к примеру, центр инверсии нележит на оси вращения. После последовательного проведения операций21вращения и инверсии ни одна точка кристалла не остается напервоначальном месте.Однако можно выбрать все точечные элементы симметрии так,чтобы все оси вращения пересекались в одной точке, принадлежащей всемплоскостям симметрии и совпадающей с центром инверсии (если онсуществует).

Характеристики

Список файлов книги