Физика твёрдого тела 1 (1182142), страница 10

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 10)

Как мы увидим позже, ситуацияосложняется с учетом принципа запрета Паули, но качественноприведенная картина верна. Ниже даны характерные температурыплавления и кипения металлов.ЭлементHgNaWТпл, К2343713690Табл.5.4Ткип, К63011605950616.Теория упругости6.1. ВведениеПри рассмотрении механического движения твердого тела частоиспользуют модель абсолютно твердого тела, то есть такого тела, котороене меняет своей формы в результате действия на него внешних сил.Конечно, это абстракция, реальные тела, пусть не очень сильно, изменяютсвою форму. Это изменение может быть упругим или пластичным.

Впервом случае тело восстанавливает свою первоначальную форму послепрекращения действия на него внешних сил. Во втором случаевосстановление первоначальной формы не происходит (вспомнимпластилин). Реальная деформация содержит и упругую, и пластическуюсоставляющие. Но если внешние воздействия достаточно слабы,пластической составляющей можно пренебречь. Именно такую ситуациюмы будем исследовать в данном курсе.В случае сильного воздействия изменения формы тела становятсянеобратимыми (вспомним, как ломаются игрушки). Процессы разрушенияописывает теория разрушения, которой мы не будем касаться.При изложении теории упругости мы будем исходить изприближения сплошной среды, то есть пренебрегать дискретностьюатомной структуры твердого тела.

Такое приближение хорошо работает вмакроскопической физике, когда все характерные размеры задачи намногопревосходят атомный масштаб.6.2. Вектор смещения и тензор деформацииНачнем изучение теории упругости со знакомства с еетерминологией. Рассмотрим тело, на которое не действуют другие тела.Выделим в нем материальную точку (т.

А). Её положение в декартовойортогональной системе координат задается радиус-вектором r (рис.6.1).Под воздействием внешних сил тело деформируется, и выделеннаянами материальная точка займет положение А' , задаваемое радиусвектором r ' .Величина  (6.1а)u  r 'rпредставляет собой вектор смещения точки А вследствие деформации. Втензорных обозначениях (смотри Приложение 1) выражение 6.1апринимает видui  x'i  xi ,(6.1б)62 где ui , x'i и xi (i=1, 2, 3) – компоненты векторов u , r ' и r соответственно.zr'А' uAry0хРис.6.1.Поскольку различные материальные точки тела, вообще говоря,смещаются по-разному, то ui есть функция первоначального положенияточки ui  ui (r )  ui ( x j ) .

Именно положение материальной точки внедеформированном теле является ее «паспортом», по которому мыотличаем одну материальную точку от другой.Чтобы ввести понятие тензора деформации, рассмотрим две близкие( 2)материальные точки с координатами xi(1) и xi. Величина dxi равнаdxi  xi( 2)  xi(1) .(6.2)Расстояние dl , разделяющее эти точки, равноdl 2  dxi  dxi  (dx1 ) 2  (dx2 ) 2  (dx3 ) 2 ,(6.3)формула (6.3) записана с учетом соглашения о суммировании.В деформированном теле координаты этих же материальных точекравны, соответственно, xi(1) и xi(2) ,dxi  xi(2)  xi(1) ,а расстояние dl ' между точками равно(6.4)63(dl ')2  dxi  dxi .(6.5)Смещения точек равныui(1)  xi(1)  xi(1) , ui(2)  xi(2)  xi(2) .(6.6)Введем величину разности векторов смещений двух близких точекdui  ui( 2)  ui(1) .(6.7)Вспоминая, что величины ui являются функциями переменных x j ,выразим дифференциал dui какdui uidx j .x j(6.8)Напоминаем, что по j ведется суммирование.Находя xi(1) и xi(2) из уравнений (6.6) и подставляя их в формулу(6.4), получаемudxi '  dxi  dui  dxi  i dx j .(6.9)x jТеперь подставим получившееся выражение в формулу (6.5):uu(dl ' ) 2   dxi  i dx j  dxi  i dxk  x jxkuuu u dxi  dxi  i dxi dx j  i dxi dxk  i i dx j dxk .x jxkx j xk(6.10)Заменяя немой индекс i во втором слагаемом в правой частиуравнения (6.10) на индекс k , а в третьем слагаемом – на индекс j (немыминдексом может быть любая не использованная в данном одночленебуква), получаем с учетом соотношения (6.3)(dl ' ) 2  (dl ) 2  2u jk dx j dxk ,где тензор второго ранга u jk , по определению равный(6.11)64u jk 1  uk u j ui ui ,2  x j xk x j xk (6.12)есть тензор деформации.

Легко видеть, что компоненты этого тензораявляются безразмерными величинами, а сам тензор симметричен по своиминдексам, то есть(6.13)u jk  ukj .В дальнейшем мы ограничимся случаем uik <<1, когда последнимслагаемым в правой части (6.12) можно пренебречь.Остановимся теперь на физическом смысле тензора деформации. Онхарактеризует относительное изменение размеров тела вследствиедеформации и является ее мерой. Действительно, пусть величинасмещения ui велика, но одинакова для всех точек тела. Это соответствуетпараллельному переносу тела на вектор u без какой-либо деформации. Такчто величина вектора смещения не может характеризовать величинудеформации.Деформация возникает, если разные точки тела смещаются поразному. Мы характеризуем деформацию разностью смещений точек,разделенных единичным отрезком, который параллелен одной из осейкоординат.Выделим вблизи некоторой точки тела бесконечно малыйпараллелепипед с ребрами, параллельными осям системы координат.Диагональные компоненты тензора uik u11 , u22 и u33 характеризуютотносительное растяжение или сжатие параллелепипеда вдоль осей 1, 2 и 3соответственно, причем при растяжении диагональная компонентапринимает положительное значение, а при сжатии - отрицательное.Недиагональные компоненты тензора uik описывают сдвиговыедеформации (рис.6.2).

При такой деформации смещение точек телапроисходит вдоль одной оси (например, x ), а величина смещения зависитот другой координаты (например, y ).Симметричный тензор второго ранга может быть приведен кдиагональному виду выбором ортогональной системы координат. В такойсистеме координат деформацию вблизи выбранной точки тела можнопредставить в виде суперпозиции растяжений (сжатий) вдоль трех осейкоординат. Поскольку в общем случае тензор деформации меняется отточки к точке, будет меняться от точки к точке и выделенная системакоординат, то есть нельзя указать такую систему координат, в которой65тензор деформации будет диагонален во всех точках деформируемого тела.В частном случае такая ситуация возможна.yxРис.6.2.След uii тензора uik представляет собой скалярную величину( uii  u11  u22  u33 ), которая характеризует изменение бесконечно малогообъема dV , выбранного вблизи некоторой точки тела, вследствиедеформации:(6.14)dV '  dV (1  uii (r )) ,где r -радиус-вектор точки.

Слагаемыми, содержащими компонентытензора деформации во второй и более высоких степенях, мыпренебрегаем в силу их малости ( uik <<1).6.3. Тензор упругих напряженийВнешние силы, действующие на деформируемое тело со стороныдругих тел, можно разделить на поверхностные - приложенные кповерхности деформируемого тела, и объемные - действующие на каждыйэлемент деформируемого тела.К первому типу относится большинство короткодействующих силэлектромагнитной природы (силы реакции опоры или подвеса, силытрения, силы давления газа и жидкости), которые возникают приперекрытии электронных оболочек атомов взаимодействующих тел (илитела и среды), что возможно только на поверхности деформируемого тела.К объемным силам относится сила тяжести: гравитационное полеЗемли действует на каждый элемент деформируемого тела. Объемная силадействует со стороны внешнего электрического поля на тело, обладающеененулевой объемной плотностью электрического заряда.66Выберем бесконечно малый объем внутри деформируемого тела.

Наэтот объем действуют объемные внешние силы, а также внутренние силысо стороны соседних элементов тела. Эти короткодействующиевнутренние силы, приложенные к поверхности выделенного объема, иназывают силами упругости.Рассмотрим бесконечно малый участок поверхности выделенногонами объема (рис.6.3)dSndfРис.6.3.Вектор dSi равен по модулю площади участка поверхности инаправлен параллельно вектору внешней (направленной из объема наружу)нормали к этому участку поверхности.На выделенный участок поверхности со стороны соседнего элементатела действует бесконечно малая сила упругости df i . Её величинапропорциональна площади участка поверхности, к которому онаприложена, и зависит от его ориентации.

Прямо пропорциональнаязависимость вектора df i от вектора dSi описывается тензором второгоранга  ji :df j   ji dSi .(6.15)Тензор  ji есть тензор упругих напряжений. Компоненты тензора  jk вСИ измеряются в паскалях [Па], то есть в единицах измерения давления.Суммарная сила упругости, приложенная к некоторому объему,расположенному внутри деформируемого тела, равнаf i   dfi    ik dSk ,S(6.16)Sгде интеграл берется по замкнутой поверхности выбранного объема.Используя обобщенную теорему Остроградского-Гаусса, получаем67 ikdV ,V xkfi  (6.17)где интеграл берется по выбранному объему.В случае бесконечно малого объема dV интегрирование можноопустить.

Тогда(6.18)df i  ik dV .xkПолучим теперь уравнение динамики для бесконечно малого объемаdV , выделенного вблизи точки тела с координатами x j . Его масса dmравна dV , где  - плотность тела. Поскольку мы исследуем динамикувыделенной частицы тела, а одна частица отличается от другойкоординатами в недеформированном теле, то вектор смещения ui (t , x j )следует дифференцировать по времени t (для нахождения скорости иускорения частицы) при неизменных координатах x j :ai (t , x j )  2ui (t , x j )t 2 ui (t , x j ) .(6.19)При записи уравнения динамики учтем только одну объемную силу – силутяжести dfi тяж  dmgi  gi dV , где g i - ускорение свободного падения.Окончательно уравнение динамики примет видdm ui  ikdV   gi dV ,xkили после сокращения на dVui  ikxk g i .(6.20)При ui =0 оно переходит в уравнение статики ik g i  0 .xk(6.21)68Можно рассмотреть момент сил упругости, действующий навыделенный объем.

Поскольку силы упругости приложены к поверхностиэтого объема, момент сил должен выражаться через интеграл по замкнутойповерхности выделенного объема. Это требование выполняется, еслитензор  ik симметричен, то есть(6.22) ik   ki .Чтобы с помощью уравнения (6.21) найти статические упругиенапряжения в деформированном теле, нам необходимы граничныеусловия, связывающие значения компонент тензора упругих напряженийна поверхности тел с внешними силами, действующими на тело.С этой целью рассмотрим бесконечно малый цилиндр, граничащий споверхностью тела.

Характеристики

Список файлов книги