Физика твёрдого тела 1 (1182142), страница 13

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 13)

В этомслучае u11  u22  0 , а, следовательно, 11   22  0 (см. закон Гука (6.84)).1 u 2Оставшаяся компонента тензора деформации u12 . С учетом2 xтретьего уравнения системы (6.84) уравнение динамикипринимает вид 2u2  21 2 xt 2u2E 2u2.t 2 2  (1   ) x 2(6.89)(6.90)Легко убедиться, что скорость поперечной волны в пластине совпадает соскоростью поперечной объемной волны.3) Крутильные колебания стержняДеформация кручения возникает в стержне, к концам которогоприложены противоположные моменты внешних сил, стремящиесяповернуть стержень относительно его оси по и против часовой стрелкисоответственно.Проведем на поверхности недеформированного стержня прямуюпунктирную линию, параллельную его оси, то есть образующую цилиндра(рис.6.10). В результате деформации кручения точки этой линии сместятся,так как в результате деформации кручения каждое поперечное сечениестержня повернется на угол    ( z ) (рис.6.11) относительно центраинерции этого сечения, и прямая линия превратится в длинном стрежне ввинтовую (вспомните свой опыт по выжиманию выстиранных вещей).87zdzРис.6.10.Вырежем мысленно из стержня «ломтик», расположенный междудвумя близкими поперечными сечениями (рис.6.10), соответствующимикоординатам z и z  dz .

Со стороны соседних участков стержня на нашвыделенный участок стержня действуют моменты сил упругостиотносительно оси стержня, направленные в противоположные стороны.Величина такого момента M равна,(6.91)M Czгде C - крутильная жесткость стержня.Рис.6.11.Уравнение динамики вращательного движения для выделенногоучастка стержня имеет вид 2(6.92)dI 2  M ( z  dz )  M ( z ) ,t88где dI - момент инерции выделенного участка стержня относительно осиz , проходящей через центры инерции поперечных сечений стержня:dI  dz   ( x 2  y 2 )dS   Bdz ,(6.93)Sинтегрирование ведется по площади поперечного сечения стержня.Представляя правую часть уравнения (6.92) в виде дифференциала, 2получаем dM  C 2 dz , и уравнение (6.92) приобретает видz 2 C  2.(6.94)t 2  B z 2Решением этого волнового уравнения являются крутильные колебаниястержня, которые распространяются по стержню со скоростьюs крут С.B(6.95)В бегущей гармонической волне величина  меняется по закону ( z, t )  0 cos(kz   крут (k )t ) ,(6.96) крут (k )  s крутk .(6.97)где4) Изгибные колебания стержняИзгибом называется смещения частиц стержня в направлении,перпендикулярном его оси (рис.6.12).xzyРис.6.12.89Возможны два взаимно перпендикулярных независимых направленияизгиба (вдоль осей x и y соответственно).

Смещения точек стержня вдольэтих осей u1 и u2 зависят от координаты z , задающей положение точки внедеформированном стержне. В силу малости поперечных размеровстержня по сравнению с длиной волны можно считать, что все точкипоперечного сечения стержня смещаются одинаково.Мы приводим уравнения динамики для изгибных колебаний стержнябез вывода в силу его громоздкости:S 2ui 4ui 2ui,EGTit 2z 4z 2(6.98)где i =1, 2; S - площадь поперечного сечения стержня,Gi   xi2 ds ,(6.99)Sа T - величина сил натяжения, приложенных к торцам стержня.Заметим, что уравнение (6.98) переходит в знакомое нам волновоеуравнение только в том случае, когда второе слагаемое в правой частинамного превосходит первое.

Такой стержень называют струной.Характерная скорость распространения упругой волны в струне s струнравнаT,(6.100)s струн Sа закон дисперсии, как и в случае продольной волны в стержне, линеен иимеет вид(6.101) струн (k )  s струнk .Граничные условия для струны имеют вид u1(0)  u2 (0)  u1(l )  u2 (l ) ,где z =0 и z  l соответствуют концамстержня.Если же волновой вектор k таков, чтоk 2  T / EGi ,(6.102)то можно пренебречь вторым слагаемым в уравнении (6.98).

В отсутствиисил натяжения будем искать решение уравнения90 2uiEGi  4ui S z 4t 2(6.103)методом разделения переменных в видеui ( z, t )  ui ( z )cos(t   ) .(6.104)После подстановки выражения (6.104) в уравнение (6.103) получаемd 4ui  2  Sui .EGidz 4(6.105)i4   2  S / EGi ,(6.106)Вводя обозначениеполучаем общее решение линейного однородного уравнения (6.105) в видеui ( z)  a cos i z  b sin i z  cchi z  eshi z ,(6.107)где a , b , c , e - константы.Для дальнейшего продвижения необходимо задать граничныеусловия на концах стержня ( z =0 и z  l ).

Они бывают трех видов:а) заделанный конец (рис.6.13)0zРис.6.13.В случае, когда конецнеподвижную стену,стержняu~iz 0заделан0 иdudzв 0.z 0абсолютножесткую(6.108)91Значение z  0 указано условно, конец стержня может соответствовать идругой координате.б) свободный конецd 2u~id 3u~i(6.109) 0, 0.dz 2 z  0dz 3 z  0Эти два условия означают соответственно равенство нулю моментавнешних сил и самой внешней силы на свободном конце стержня.в) опертый конец (рис.6.14)0zРис.6.14.u~iz 0d 2u~i 0. 0,dz 2(6.110)Первое условие свидетельствует об отсутствии смещения на концестержня.Четыре граничных условия на концах стержня (по два на каждом)для выражения (6.107) приводят к системе четырех линейных однородныхуравнений относительно коэффициентов a , b , c , e .Условие существования нетривиального решения дает наборзначений  (j) , которые, в свою очередь, определяют частоты  ( j )собственных мод изгибных колебаний стержня.Продемонстрируем этот алгоритм на примере стержня с двумязаделанными концами.dui  (-a sin  i z  b cos  i z  csh i z  ech i z ) .dzГраничные условия на конце z  0 дают(6.111)92a  c  0.b  e  0(6.112)С учетом (6.112) граничные условия при z  l даютa(cos  il  ch il )  b(sin  il  sh il )  0.a(sinlshl)b(coslchl)0iiii(6.113)Условие существования нетривиального решения имеет видcos  il  ch ilsin  il  sh il(sin  il  sh il )cos  il  ch ilоткуда получаемcos il  chil  1 0,(6.114)(6.115)Легко видеть, что корни этого уравнения одинаковы для i =1 и i =2, азамена  l   приводит к уравнению, в которое не входит длина стержня.Решая численно получившееся уравнениеcos   ch  1,(6.116)мы получаем универсальный набор корней  ( j ) , j =1, 2…, описывающийизгибные колебания стрежней с заделанными концами.

Собственныечастоты колебаний получаются из соотношения (6.106)i( j ) ( j) l2EGi.S(6.117)При   1 , когда ch  1, решения уравнения (6.116) можноприближенно найти из условия cos  0 . Ограничение на величину сверху, как и для случая продольных колебаний стержня, следует изусловия, что длина упругой волны намного превосходит поперечныйразмер стержня.Задача. Найти собственные частоты изгибных колебаний стержня сопертыми концами.937. ДИНАМИКА КРИСТАЛЛИЧЕСКОЙ РЕШЕТКИВ предшествующей главе мы исследовали длинноволновыеакустические колебания в приближении сплошной среды, когда длинаупругой волны намного превосходила межатомные расстояния в твердомтеле.

Но данные колебания отнюдь не исчерпывают все возможныеколебания кристаллической решетки. Для их изучения необходимо вновьвернуться к рассмотрению кристаллической атомной решетки.7.1. Энергия кристаллаРасположим начало системы координат в центре одной изэлементарных ячеек кристалла. Тогда положение централюбой другойэлементарной ячейки задается вектором трансляции l .Пусть число атомов (ионов) в элементарной ячейке равно n, а вектор s , где s=1,2,...n, задает положение равновесия ядра атома с номером sотносительно центра элементарной ячейки (ядро с хорошей точностьюможно считать материальной точкой).

В силу трансляционнойинвариантности вектор  s одинаков для всех элементарных ячеек.Поэтому положение равновесия ядра s-го атома в элементарной ячейке,задаваемой вектором l , определяется вектором rl(,s0) : (7.1)rl(,0s )  l   s .В процессе колебаний атомы кристалла смещаются из своихположений равновесия. Вектор ul ,s смещения ядра атома сорта s в l -ойэлементарной ячейке, вообще говоря, зависит от l , то есть не одинаковдля разных элементарных ячеек. Текущее положение ядра атома сорта s вl -ой элементарной ячейке задается вектором rl , s :(7.2)rl , s  rl(,0s)  ul , s .В дальнейшем мы будем пользоваться проекциями rlj, s , rlj,s(0) , ulj,sвекторов rl , s , rl(,s0) , ul ,s на оси выбранной системы координат, введяиндекс j=1,2,3.Поскольку положения равновесия атомов не изменяются современем, то компоненты скорости атома vlj, s равныvlj, s  rlj, s  ulj, s .(7.3)94В (7.3) точка над буквой изображает дифференцирование по времени.Следовательно, кинетическая энергия атомов кристалла равнаWкин 1 n N  2 M s (ul ,s ) ,2 s 1 l(7.4)где N - число элементарных ячеек кристалла, a Ms- масса атома сорта s.Потенциальная энергия кристаллической решетки Wпот являетсяфункцией координат ядер всех атомов кристаллаWпот  Wпот ({rlj,s }) .(7.5)Фигурные скобки показывают, что имеется ввиду совокупность всех 3nNпеременных.

Вид функции (7.5) очень сложен. Только в случае ионныхкристаллов с "жесткими" ионами (поляризуемостью которых вэлектрическом поле соседних ионов можно пренебречь) функцияWпот ({rlj,s }) распадается на сумму потенциальных энергий взаимодействияпар ионов.Реально же все атомы (ионы) поляризуются, и состояние атомаопределяется не только положением его ядра, но и состояниемэлектронной оболочки. В металле, кроме того, существуют свободныеэлектроны, от распределения которых также зависит потенциальнаяэнергия кристалла. Поэтому Wпот является функцией координат не тольковсех ядер, но и всех электронов в кристалле.Но электроны обладают существенно меньшей, по сравнению сионами, массой.

Вследствие этого они значительно менее инерционны.Исходя из этого, предполагают, что электроны успевают подстроиться подизменение положений ядер атомов практически мгновенно, и реализуетсята электронная конфигурация, которая отвечает минимальной энергиикристалла при заданном положении ядер всех его атомов. Расчет динамикирешетки проводят при температуре Т=0, поэтому в равновесии должнадостигать минимума энергия кристалла.Данное приближение получило название "адиабатического".

Дляполучения в рамках этого приближения потенциальной энергии,зависящей только от координат ядер, мы должны взять потенциальнуюэнергию, зависящую от координат и ядер, и электронов, и решитьстационарное уравнение Шредингера для электронов при заданныхположениях ядер. Получившиеся значения энергии, зависят от координатядер, как от параметров. Энергия основного состояния и является искомой95потенциальной энергией кристалла, зависящей только от координат ядер.Конечно,выполнитьуказаннуюпрограммуаналитическинепредставляется возможным, и осуществить ее можно только численнымиметодами.Погрешность адиабатического приближения, то есть поправки,возникающие вследствие учета запаздывания (инерционности) электронов,составляют величину порядка (m/М)1/2 ~10-2, где m - масса электрона, а M масса иона.В дальнейшем будем предполагать, что функция Wпот ({rlj,s }) намизвестна, хотя при изучении конкретных твердых тел именно ее получениепредставляет наибольшую трудность.

Характеристики

Список файлов книги