Физика твёрдого тела 1 (1182142), страница 17

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 17)

По аналогии с фотонами - квантами электромагнитных волн,можно ввести квазичастицу - квант упругой волны. Она и называетсяочень похоже - фонон.Энергия фонона данной нормальной моды колебанийи его импульс p (k )   p (k ) ,(8.22)p  k .(8.23)117Следуем отметить, что поскольку волновой вектор определен сточностью до вектора обратной решетки g , то и импульс квазичастицыопределен с точностью до вектора g . Чтобы подчеркнуть этот факт, егоназывают "квазиимпульсом".Операторы aˆ p (k ) , aˆ p (k ) - это операторы рождения и уничтоженияфонона, принадлежащего данной моде колебаний.В силу соотношения (8.20) фононы являются бозе-частицами(бозонами) и подчиняются статистике Бозе-Эйнштейна.

Действительно,спин фонона равен нулю. Число фононов в кристалле не сохраняется,поэтому их химический потенциал равен нулю.Энергию колебаний кристалла в гармоническом приближении можнозаписать в виде(8.24)E  (k)/2(k)n(k),pp pp kp kтоестькакэнергиюнулевыхколебанийплюсэнергияневзаимодействующих квазичастиц-фононов. Энергия нулевых колебанийE0  (k)/2pp kвместе с энергией Wпот ({rlj,s(0) }) в (7.7) составляют энергию основногосостояния.Поэтому мы можем представить энергию возбужденного состояниякристалла как сумму энергии его основного состояния и энергииневзаимодействующих в гармоническом приближении фононов.Такое представление, как отмечалось в разделе 8.2, существеннооблегчает описание поведения системы.8.4. АнгармонизмПоскольку оператор числа фононов (8.19) коммутирует сгамильтонианом (8.20), то без учета ангармонических членов и рядадругих взаимодействий (например, электрон-фононного) число фононовостается неизменным.Предположим, что внешнее периодическое воздействие возбудилоколебание на моде, частота которой совпадает с частотой внешнеговоздействия.

На квантовом языке это означает, что число фононов этоймоды намного превосходит равновесное значение. Устраним теперь118внешнее воздействие. Если число фононов остается неизменным, товозбужденные колебания никогда не затухнут. На самом деле, произойдетпереход энергии от данной моды к другим.

В результате колебаниязатухнут, а их энергия перейдет в тепловую, то есть установитсяравновесное распределение фононов при новой, более высокойтемпературе. Для того, чтобы этот процесс осуществлялся, необходимо,чтобы исчезали фононы, принадлежащие возбужденной моде, и возникалифононы других мод. Именно такие процессы, как будет показано ниже,описываются ангармоническими слагаемыми в операторе потенциальнойэнергии. Таким образом, для описания процессов релаксации фононнойподсистемы необходим учет ангармонизмов, то есть слагаемых,содержащих третью и более высокие степени смещений атомов ulj, s , в(7.7).Рассмотрим, к каким фононным процессам они приводят. Сравниваявыражения (8.9а) и (8.15), (8.16) легко увидеть, что оператор1/ 2    qˆ p (k )   2 p (k ) Операторы смещения атомовaˆ(8.25)выражаются черезqˆ p (k )ˆ(k)a(k).ppuˆlj, sформулой, которая отличается от выражения (8.2) заменой величин ulj, s иq p (k ) на их операторы.Таким образом, оператор смещения атома, является линейнойкомбинацией операторов рождения и уничтожения фононов:1/ 2uˆlj, s  esj ( p, k )    p k  2 NM s p (k )  [aˆ p (k )  aˆ p (k )] exp(ik l ) .(8.26)Квадратичное по смещениям слагаемое в операторе потенциальнойэнергии (смотри формулу (7.7)) вместе с оператором кинетической энергииприводятся к виду (8.20).

Кубическое по смещениям слагаемое в (7.7)после подстановки в него выражения (8.26) сведется к суперпозицииследующих комбинаций операторов â и â  с некоторымикоэффициентами (трехфононные процессы):119aˆ p3 (k3 )aˆ p2 (k 2 )aˆ p (k1 ), aˆ p1 (k1 )aˆ p (k 2 )aˆ p (k3 ) ,123aˆ p3 (k3 )aˆ p2 (k 2 )aˆ p1 (k1 ), aˆ p (k3 )aˆ p (k 2 )aˆ p (k1 ) .321Первое выражение отвечает уничтожению одного фонона ветви р1, сволновым вектором k1 , и возникновению двух фононов ветвей p2 и р3, сволновыми векторами k 2 и k 3 .

а второе - уничтожению двух фононовветвей p2 и р3, с волновыми векторами k 2 и k 3 и возникновению одногофонона ветви р1 с волновым вектором k1 . Первый процесс называютпроцессом распада фонона на два (рис. 8.1а), а второй - процессом слияниядвух фононов в один (рис. 8.1б).абРис.8.1. Трехфононные процессы.Последние два выражения олицетворяют нефизические процессыодновременного рождения "из ничего" и исчезновения "в никуда" трехфононов. Такие процессы невозможны, так как нарушают законсохранения энергии.Можно показать аналогично тому, как это было сделано дляквадратичного по ulj, s слагаемого, что сумма квазиимпульсов частиц впроцессах распада и слияния должна сохраняться (с точностью до вектораобратной решетки).

Это есть выражение закона сохранения импульса. Вчастности, для процесса распадаk1  k 2  k3  g .(8.27)Если g  0 , то это обычный процесс с сохранением импульса. Егоназывают нормальным процессом (N-процессом). В нормальном процессеимпульс системы взаимодействующих в этом процессе квазичастиц (вданном случае фононов) сохраняется.

Если же g  0 , то импульс системы120квазичастиц не сохраняется, а часть его, равная g , передается кристаллу вцелом. Такие процессы называют процессами переброса или Uпроцессами.Кроме того, в указанных процессах должен выполняться законсохранения энергии. Для процесса распада фонона закон сохраненияэнергии имеет вид(8.28) p1 (k1 )   p2 (k 2 )   p3 (k3 ) .Отметим, что законы сохранения для прямого и обратного процессовтождественны.Изображенные на рис.8.1 процессы распада и слияния фононовизменяют число фононов данной моды колебаний и приводят к переходуэнергии от одной моды к другой. Благодаря им устанавливаетсяравновесие между модами в фононной подсистеме кристалла.Если учесть ангармонизм, содержащий четвертую степень ulj, s , топоявятся четырехфононные процессы слияния трех фононов в один(рис.8.2а) и распада фонона на три (рис.8.2б), а также рассеяния фононовдруг на друге (рис.8.2в).

Однако вероятности таких процессов содержат посравнению с вероятностями трехфононных процессов дополнительнуюмалость (ulj, s / d ) 2 .Ангармонизмом обусловлены процессы теплового расширениякристаллов - увеличения их линейных размеров с ростом температуры. Вгармоническом приближении положения равновесия атомов, а,cлeдовательно, и размеры кристалла остаются неизменными. Учетангармонизмов позволяет объяснить возрастание расстояний междуположениями равновесия с увеличением температуры.абРис.8.2. Четырехфононные процессы.в1219. ТЕПЛОЕМКОСТЬ КРИСТАЛЛИЧЕСКОЙ РЕШЕТКИ9.1. Энергия колебанийРассмотримтермодинамическиравновесныеколебаниякристаллической решетки в гармоническом приближении.Волновая функция системы в равновесном состоянии представляетсобой суперпозицию большого числа волновых функций состоянии сразличным числом фононов на каждой из мод.

Поэтому среднее числофононов на данной моде в этом равновесном состоянии может быть нетолько целым, но и любым неотрицательным числом.Формула для среднего числа фононов на данной моде  n p (k ) полностью аналогична формуле Планка для фотонов и выводитсясовершенно так же:(9.1) n p (k )  [exp( p (k ) / T )  1]1 .Она представляет собой частный случай распределения Бозе - Эйнштейнас химическим потенциалом, равным нулю.Согласно формуле (8.14), средняя энергия данного равновесногосостояния 1  1 E   p (k )    n p (k )    p (k ) 2 2 p ,kp ,k(9.2)  p (k )  n p (k )  .p ,kПервое слагаемое в правой части (9.2), представляющее собойэнергию нулевых колебаний кристалла Е0, отнюдь не являетсянесущественной постоянной. В гелии эта энергия превосходит энергиюплавления кристалла.

Поэтому при атмосферном давлении гелий остаетсяжидким вплоть до абсолютного нуля температуры.Переходя согласно (7.29), от суммирования по k к интегрированиюпо первой зоне Бриллюэна, находим p (k ). E  E0  V  3exp((k)/T)1p (2 )pd 3k(9.3)Полученное выражение для <Е> позволяет определить теплоемкостькристалла при постоянном объеме122  E CV    T V(9.4) 2exp( p (k ) / T )   p (k )  .V 32Tp (2 ) [exp( p (k ) / T )  1] d 3k9.2. Случай высоких температурВпределе p (k )  Tможнополучитьвыражениедлятеплоемкости кристалла, не конкретизируя вид законов дисперсии  p (k ) .Действительно, разложим exp( p (k ) / T ) в ряд по маломупараметру  p (k ) / T вплоть до линейных по этому параметру членов:exp( p (k ) / T )  1   p (k ) / T  ...(9.5)Подставляя (9.5) в формулу (9.4), с точностью до  p (k ) / T находимCV  V  pd 3k(2 ) 3pV(2 ) 3VЗБ   N  3nN ,(9.6)pгде VЗБ – объем зоны Бриллюэна.Таким образом, в области высоких температур вклад колебанийкристаллической решетки в теплоемкость кристалла, являющийсяопределяющим, не зависит от температуры.

Зависимость (9.6) носитназвание закона Дюлонга и Пти. Его также можно получить в рамкахклассической физики, основываясь на законе равнораспределения,согласно которому на каждую колебательную степень свободыприходится, в среднем, энергия, равная Т. Общее число степеней свободыв кристалле равно 3nN. Следовательно, <E>=3nNT, a CV =3nN.9.3. Модель ЭйнштейнаДля исследования теплоемкости в области температур  p (k )  Tнеобходимо задаться конкретным видом закона дисперсии.

Характеристики

Список файлов книги