Физика твёрдого тела 1 (1182142), страница 21

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 21)

Дляобратного процесса, при котором родившиеся фононы сливаются впервоначально существовавший фонон, матричный элемент являетсякомплексно сопряженной величиной. В (11.15) уже учтен законсохранения квазиимпульса:  k   g  k   k  ,  где k , k , k  - волновые векторы первичного фонона и вторичныхфононов, соответственно. Здесь и в дальнейшем мы используем вместо k  p/.импульсапеременнуюПриправильномнаписаниигамильтониана во вторично квантованном виде операторы рождениячастиц должны стоять левее операторов уничтожения (так называемоенормальное произведение операторов).Вычислим теперь матричный элемент одного слагаемого Ĥ 3(1)  гамильтониана (11.15) (не путать с C ( p1 , p2 , p3 , g , k , k ) ) междусобственными функциями гармонического приближения.

Он отличен от145нуля, если число фононов ветви р1 с волновым вектором k  в конечномсостоянии на единицу меньше,а число фононов ветвей р2 и р3, сволновыми векторами k  и k  - на единицу больше, чем в исходном.Пусть n p1 (k ) , n p2 (k ) , n p3 (k ) - число соответствующих фононов висходном состоянии. Тогда матричный элемент одного слагаемого ĥ3(1) вĤ 3(1) между исходным состоянием n p1 (k ), n p2 (k ), n p3 (k ),...  иконечным состоянием n p1 (k )  1, n p2 (k )  1, n p3 (k )  1,...  равен сучетом (8.17) n p1 (k )  1, n p2 (k )  1, n p3 (k )  1,... hˆ3(1) n p1 (k ), n p2 (k ), n p3 (k ),...

    C ( p1 , p2 , p3 , g , k , k ){n p1 (k )[1  n p2 (k )][1  n p3 (k )]}1/ 2 .(11.17)На самом деле, любое собственное состояние гармоническогоприближения характеризуется числом фононов на каждой из мод. Нопоскольку изменяются числа фононов только для трех из них, мы не сталиуказывать числа фононов для остальных мод, обозначив их многоточием.Запишем теперь, пользуясь формулами (11.10), (11.12), вклад винтеграл столкновений, предполагая, что левая часть кинетическогоуравнения написана для n p1 (k ) , а аргументы r и t опустим для краткости.(1)I ст2Vd 3 k    2C(p,p,p,g, k , k )  123 p2, p3 g (2 ) 3    [ p1 (k )   p2 (k )   p3 (k   g  k )]    n p1 (k )[1  n p2 (k )][1  n p3 (k   g  k )] ,(11.18)интегрирование по k  происходит по первой зоне Бриллиэна.Основываясь на полученном выражении (11.18), попытаемсясформулировать общие правила для записи вклада какого-либо процесса винтеграл столкновений:1.

Сначала выбираем знак. Если частица в том состоянии, котороеописывается функцией распределения, стоящей в левой частикинетического уравнения, исчезает в этом процессе, то передвкладом стоит знак "минус", а если возникает, то знак "плюс";1462. Записываем сомножитель 2 /  ;3. Умножаем его на квадрат модуля матричного элемента, которыйстоит в гамильтониане, отвечающем этому процессу, передоператорами рождения и уничтожения частиц;4.

Домножаем наше выражение на дельта-функцию Дирака, в качествеаргумента которой выступает разность энергий рождающихся иисчезающих частиц;5. Каждой частице, которая исчезает в результате процесса,сопоставляем в качестве сомножителя соответствующую функциюраспределения;6. Каждой вновь рождающейся частице сопоставляем сомножитель(1+n), если эта частица бозон, и сомножитель (1-F), если эта частицафермион (F - функция распределения ферми-частиц);7. Производим суммирование (интегрирование) по всем квантовымчислам, кроме тех, что отвечают той частице, функцияраспределения которой входит в левую часть уравнения Больцмана.Заменяя суммирование по волновому вектору на интегрирование, мыдомножаем выражение на Vd 3 ki /(2 ) 3 , где V - объем кристалла, иинтегрируем по первой зоне Бриллюэна.8. Интеграл столкновений представляет собой сумму вкладов всехвозможных процессов.Запишем, пользуясь этими правилами, все вклады трехфононныхпроцессов в интеграл столкновений.

Первые два из них обусловлены темислагаемыми в H 3(1) и H 3( 2) , которые соответствуют фиксированнымзначениям р1=р и k   k , определяемым левой частью кинетическогоуравнения.Наряду с ними существуют еще два вклада,связанные с процессами,в которых фонон ветви р с волновым вектором k возникает в результатераспада другого фонона или, наоборот, сливается с другим фононом,порождая новый фонон. Им отвечают слагаемые в H 3(1) и H 3( 2) , в которыхp2=p и k   k .Аналогичные вклады процессов, в которых p3=p и k   k , в силуполной аналогичности фононов ветвей р2 и р3, можно учесть, удвоиввклады процессов с p2=p и k   k .Окончательно интеграл столкновений принимает вид1473Vdk2   21 I ст C(p,p,p,g, k , k1 )   12 p1, p2 g (2 ) 3     [ p (k )   p1 (k1 )   p2 (k  g  k1 )]    [n p (k )(1  n p1 (k1 ))(1  n p2 (k  g  k1 ))  ,   (1  n p (k ))n p1 (k1 )n p2 (k  g  k1 )] (11.19)22 C ( p1, p, p2 , g , k1, k )  [  p1 (k1)   p (k )   p2 (k1  g  k )]    [n p1 (k1 )(1  n p (k ))(1  n p2 (k1  g  k ))  ,   (1  n p1 (k1 ))n p (k )n p2 (k1  g  k )] .11.5.

Линеаризация интеграла столкновений, -приближениеЕсли подставить в интеграл столкновений равновесные функциираспределения, то он обратится в нуль, так как в равновесии не можетизмениться число изображающих точек в выбранном фазовом объеме. Вслучае слабой неравновесности величина интеграла столкновений можетбыть разложена в ряд по неравновесной части функции распределения. Мыограничимся первым неисчезающим членом такого разложения.Пусть np (k ) - неравновесная часть функции распределения фононов.Тогда(11.20)n p (k )  n p (k )  np (k ) ,где  n p (k )  - равновесная функция, задаваемая формулой (9.1).Подставляя (11.20) в (11.19), и удерживая только линейные по n'слагаемые, получаемVd 3 k1 2   2I ст C(p,p,p,g, k , k1 )  12 p1, p2 g (2 ) 3     [ p (k )   p1 (k1 )   p2 (k  g  k1 )]    [np (k )(1  n p1 (k1 )    n p2 (k  g  k1 ) )    np1 (k1 )( n p (k )    n p2 (k  g  k1 ) )    np2 (k  g  k1 )( n p (k )    n p1 (k1 ) )] 22 C ( p1, p, p2 , g , k1, k )  [  p1 (k1)   p (k )   p2 (k1  g  k )] (11.21)148   [np1 (k1 )(1  n p (k )    n p2 (k1  g  k ) )  ,   np (k )( n p2 (k1  g  k )    n p1 (k1 ) )    np2 (k1  g  k )( n p (k )    n p1 (k1 ) )].Из (11.21) следует, что в уравнение для числа фононов на какой-тоопределенной моде входят неравновесности всех остальных мод.Следовательно, необходимо решать систему из 3nN связанныхкинетических уравнений, либо после перехода к непрерывной зависимостиот волнового вектора, систему 3n интегро-дифференциальных уравненийдля неизвестных функций np (k ) .Следующий шаг для упрощения ситуации является не стольобоснованным, как предыдущие.

Будем считать, что неравновесность n'существует только в рассматриваемой моде, для которой записана леваячасть кинетического уравнения, а для остальных мод положимn p (k )  n p (k )  . Такой подход называется -приближением. Посколькумы пренебрегаем в (11.21) слагаемыми того же порядка величины, что иоставшееся, то получившееся выражение представляет собой лишь оценкудля интеграла столкновений по порядку величины.Величина np (k ) может быть вынесена за знаки суммирования иинтегрирования в (11.21), и в -приближении интеграл столкновенийприобретает вид(11.22)I ст  np (k ) /  p (k ) ,где3Vdk2   21 p1 (k ) C(p,p,p,g, k , k1 )  12 p1, p2 g (2 ) 3   (11.23)  [ p (k )   p1 (k1 )   p2 (k  g  k1 )]    (1  n p1 (k1 )    n p2 (k  g  k1 ) ) 22 C ( p1, p, p2 , g , k1, k )  [  p1 (k1)   p (k )   p2 (k1  g  k )]    ( n p2 (k1  g  k )    n p1 (k1 ) ) .Величина  p (k ) (от неe и пошло название приближения)представляет собой характерное время релаксации, обусловленное, вданном случае, трехфононными процессами.149Подчеркнем сразу, что процедуру линеаризации и -приближениеможно применять к любому интегралу столкновений.Убедимся на простом примере, что  действительно являетсявременем релаксации.

Пусть число фононов на данной моде в начальныймомент времени было неравновесным:np (k , t )t 0 n0  0 ,а какие либо внешние воздействия и неоднородности в системеотсутствовали. Тогда кинетическое уравнение (11.9) примет видnp (k , t )откудаtnp (k , t ),np (k , t )  n0 exp(t /  ) ,(11.24)(11.25)то есть  представляет собой характерное время, за которое указаннаянеравновесность уменьшается в е раз, - время релаксации.15012. ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ ДИЭЛЕКТРИКОВ12.1. Плотность потока энергииВведем понятие плотности потока частиц.В случае, когда все частицы одинаковы и имеют одну и ту жескорость, плотностью потока частиц называют векторную величину равную(12.1)  n~v ,где n~ - концентрация частиц, а v - их скорость.

Если частицы заряжены,то домножая  на величину заряда одной частицы q, получаем векторплотности электрического тока(12.2)j  qn~v .Плотностью потока энергии называют вектор Q , получающийсяпутем умножения  на величину энергии  одной частицы:~v .Q  n(12.3)Пусть теперь существует произвольное распределение частицпоразличным состояниям, характеризующимся волновым вектором k .Концентрация частиц данного сорта, изображающие точки которых в3пространстве волновых векторов расположены в малом объеме d k вокрестности вектора k , равна3dk,(12.4)dn~(r , t )  n(r , k , t )(2 ) 3 где n(r , k , t ) - функция распределения частиц в фазовом пространстве,задаваемая формулой (11.1) (напоминаем, что мы перешли от переменной p к переменной k ). Все эти частицы имеют одинаковую скорость v (k ) иэнергию  (k ) , поэтому создаваемые ими плотности потоков определяютсяформулами (12.1) – (12.3) после подстановки в них dn~(r , t ) вместо n~ .Полные плотности потоков, создаваемые частицами данного сорта,можно получить путем интегрирования полученных выражений поволновому вектору:151    d 3k, ( r , t )   v ( k ) n( r , k , t )(2 ) 3     d 3k,Q ( r , t )    ( k )v ( k ) n( r , k , t )(2 ) 3(12.5)(12.6)причем в кристалле интегрирование по d 3 k происходит по первой зонеБриллюэна.

Характеристики

Список файлов книги