Физика твёрдого тела 1 (1182142), страница 22

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 22)

Для фононов, функция распределения которых зависит такжеот индекса р - номера ветви, необходимо провести еще и суммирование поэтому индексу. Например, результирующая плотность потока энергииравна    d 3k.(12.7)Q(r , t )     p (k )v p (k )n p (r , k , t )(2 ) 3p12.2. Коэффициент теплопроводностиРассмотрим стационарный процесс теплопроводности, при которомна границах диэлектрика поддерживается постоянная во времени разностьтемператур. Тогда в некоторой произвольной точке диэлектрикасуществует неизменный градиент температуры T . При этом возникаетпоток тепла от более горячего края тела к более холодному.В диэлектриках основными переносчиками тепловой энергииявляются фононы (при температурах, много больших комнатной,существенный вклад в процесс теплопереноса дают фотоны).

В металлах,как мы увидим позднее, основной вклад в перенос энергии вносятэлектроны.Для рассмотрения процесса переноса тепла фононами запишемкинетическое уравнение Больцмана в -приближении. Поскольку встационарном случае зависимость функции распределения от времениn 0 . В исследуемом случае на фононы не действуютотсутствует, тоtвнешние силы, поэтому кинетическое уравнение приобретает вид n p (r , k )r jvpj n 'p (r , k )  . p (r , k )(12.8)152  Пусть  n p (r , k )  >> np (r , k ) . В определенных условиях в этом случае влевой части уравнения (12.8) можно оставить только производную от   n p (r , k )  . Учтем также, что в формуле (9.1) для  n p (r , k )  откоординат зависит только температура Т. Поэтому   n p (r , k ) r j   n p (r , k )  T.Tr j(12.9)Подставляя (12.9) в (12.8), получаем неравновесную часть функциираспределения фононов n(rp ,k)  (12.10)np (r , k )   p (r , k )(v p , T ) .T Зависимость np (r , k ) от координат является неявной и возникаетвследствие зависимости температуры Т от r .  Условие  n p (r , k )  >> np (r , k ) приводит к ограничению навеличину созданного градиента температуры.

Он должен быть настолькослабым, чтобы изменение температуры на расстоянии порядка длинысвободного пробега фононов было много меньшим, чем сама температура.Найдем плотность потока энергии, подставляя полученное выражение для np (r , k ) в (12.7). Поскольку в равновесии какие-либопотоки (поток частиц, электрический ток, поток энергии) отсутствуют, товклад в плотность потока энергии Q дает только неравновесная частьфункции распределения:     d 3k(12.11)Q(r , t )     p (k )v p (k )np (r , k )(2 )3p       n p (r , k )  d 3k    p (k )v p (k ) p (r , k )(v p , T ).3T(2)pКак известно, в изотропном случае, рассмотрением которого мыограничимся, для слабого градиента температур Q(r , t )  - κ T ,(12.12)153где κ - коэффициент теплопроводности. Выберем ось z нашей декартовойсистемы координат в направлении T .

Тогда, учитывая тот факт, чтоотлична от нуля только одна z-компонента Q , получаем  2     n p (r , k )  d 3 kκ=    p (k )vp,z (k ) p (r , k ).T(2 ) 3p(12.13)В модельном случае изотропных законов дисперсии фононов, когда p (k ) зависит только от модуля волнового вектора, можно перейти ксферическим координатам и выполнить интегрирование по угловымпеременным. Учитывая, что усредненное по полному телесному углузначение v 2p, z (k ) равно v 2p (k ) / 3 , получаемκ=    p (k )vp2 (k ) p (k )p n p (k )  k 2 dkT6 2.(12.14)из формулы (9.4) следует, что величина   n p (k )  d 3 k   p (k )T(2 ) 3pпредставляет собой теплоемкость 1м3 кристалла при постоянном объеме,которая равна  сV , где  - плотность кристалла, а сV - его удельнаятеплоемкость при постоянном объеме. Учитывая этот факт, можно сделатьследующую оценку для величины коэффициента теплопроводности:κ~~1 сV v~ l ,3(12.15)~где v~ и l - характерные скорость и длина свободного пробега фононов;~ ~~ ~l  v  , а  - характерное время релаксации.Обсудим подробнее, какими же процессами обусловлена релаксациятеплового потока.

Пусть в неподвижном кристалле был создан потокфононов, а затем причина, вызвавшая его появление - градиенттемпературы - внезапно исчезла. Вследствие наличия теплосопротивления(сопротивления потоку тепла) поток должен со временем исчезнуть.Выясним, благодаря каким процессам это произойдет.154Основными процессами взаимодействия в фононной подсистемеявляются трехфононные процессы. Их можно подразделить на нормальныепроцессы и процессы переброса (смотри параграф 11.4).При нормальных процессах остаются неизменными как энергияфононной подсистемы, так и ее импульс.

Поэтому вследствие нормальныхпроцессов возможно перераспределение энергии между различнымимодами колебаний, но они не могут привести к остановке потока фононов(импульс не может исчезнуть).В трехфононных процессах переброса импульс фононов передаетсякристаллу в целом.

Поэтому в результате этих процессов прекратитсядвижение фононов относительно кристалла. Если кристалл представляетсобой замкнутую систему, на которую не действуют другие тела, то онначнет двигаться как целое со скоростью, которую можно найти из законасохранения импульса. Однако если перейти в систему отсчета,движущуюся вместе с кристаллом, то распределение фононов в ней будетравновесным. При этом поток тепла относительно кристаллическойрешетки будет отсутствовать. Обычно же при проведении экспериментакристалл закреплен, и поэтому импульс фононов передается Земле.Таким образом, мы приходим к выводу, что за наличиетеплосопротивления и релаксацию теплового потока ответственныпроцессы переброса.

В приведенном обсуждении нигде не использоваласьспецифика трехфононных процессов. Те же выводы относятся и к любымдругим процессам в системе фононов.Пусть трехфононные процессы играют главную роль (ангармонизмыследующих порядков содержат дополнительный малый параметр). Тогда вформулы (12.8), (12.10) - (12.15) должно входить время трехфононных процессов переброса  Up (r , k ) .

Попытаемся оценить его величину, а такжевеличину коэффициента теплопроводности в различных температурныхдиапазонах.12.3. Область высоких температурВ области высоких температур T   p (k ) в кристаллевозбуждены все фононные моды, а характерный волновой вектор фононапорядка дебаевского волнового вектора q D . При этом процессы перебросапроисходят столь же часто, сколь и нормальные процессы. Действительно,если сумма волновых векторов двух сливающихся (или рождающихся)фононоввыходит за границу зоны Бриллюэна, то вектор обратной решеткиg в законе сохранения квазиимпульса не равен нулю.

А поскольку оба155волновых вектора фононов порядка q D , то их векторная сумма выходит заграницу зоны Бриллюэна, если угол между ними не очень велик.Так как в области высоких температур  n p (k )  n p (k )  T /  p (k )  1 ,(12.16)1 , и в выражении (12.13) для коэффициента p (k )теплопроводности единственной зависящей от температуры величиной является  p (r , k ) . Поскольку  Up (r , k ) имеет тот же порядок величины, что и характерное время нормальных трехфононных процессов  pN (r , k ) , то оценку для  Up (r , k ) можно получить из выражения (11.23). Так как  формула для 1/ содержит  n p1 (k )  и  n p2 (k  g  k1 )  в первойстепени (единицей можно пренебречь по сравнению с ними), а они пропорциональны температуре (формула (12.10)), то 1/ Up (r , k )  T .

Всеостальные величины в правой части (11.23) не зависят от Т. СледовательнотоT  T 1в области высоких температур. Оценим теперь  Up (r , k ) и κ по порядку величины. Матричный  элемент C ( p, p1 , p 2 , g , k , k1 ) может быть оценен как N 1/ 2 Eат (me / M ) 3 / 4 ,поскольку (смотри параграф 10.4) Ĥ 3 содержит малость u/d в третьейстепени. Дельта-функция дает вклад порядка 1 /  p (k ) , так как, чтобы ееснять при интегрировании по k , нужно перейти к переменной,3совпадающей с аргументом -функции. Интеграл по d k дает величинупорядка 1/vяч. Окончательно из (11.23) имеем2VEат1 me ~ Up (r , k ) Nv яч  M 3/ 2T D2.(12.17)156При этом считается, что характерное значение  p (k ) ~  D .

ПосколькуNv яч  V , а Eат (me / M )1/ 2 ~  D , то1/ 21T m  ~  eU  p (r , k )   M .Предполагая, что v p (k ) порядка скорости звука s, и учитывая, чтотеплоемкость cV практически не изменяется в области высокихтемператур, получаемκ ~  cV s 2 U ~  cV s 2 (M / me )1/ 2 / T .(12.18)12.4. Область низких температурВ диапазоне температур Т<<D, когда в кристалле существуюттолько длинноволновые акустические фононы, возникает существенноеразличие между временами  N и  U .

Поскольку характерные волновыевекторы фононов k  Tq D /  D  q D , то векторная сумма волновыхвекторов двух таких сливающихся фононов не выходит за границы первойзоны Бриллюэна. Другими словами, для тепловых фононов (с k  Tq D /  D )возможны только нормальные процессы.Для возникновения процесса переброса необходимо участие впроцессе фононов с суммарной энергией, превосходящей D.

Характеристики

Список файлов книги