Физика твёрдого тела 1 (1182142), страница 23

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 23)

Однакоколичество таких энергичных фононов экспоненциально мало при Т<<D.Поэтому(12.19) U  exp(E0/T),где величина E0 порядка D.Таким образом, длина свободного пробега между процессамипереброса l U  v~ U и коэффициент теплопроводности κ экспоненциальнорастут с понижением температуры при T<<D (смотри рис.12.1).В образцах с ограниченными размерами с понижением температурывеличина lN превзойдет характерный размер кристалла D.

В этом случаероль процессов переброса начнут играть процессы столкновения фононовс поверхностью образца. При этом существуют два диапазона температур,в которых поведение фононной подсистемы качественно различается.157κexp(E0/T)D2T 8DT 3T -1T1T*DTРис.12.1.

Температурная зависимость коэффициентатеплопроводности диэлектрика.В области самых низких температур, когда D«lN,lU ( l N  v~ N - длинасвободного пробега между нормальными процессами) фононы пролетаютот одной границы образца до другой практически без столкновений(баллистический режим). В этом случае lU  D (звезда означает, что это неистинные процессы переброса, а столкновения с поверхностью), авеличину κ можно оценить по формуле (12.15), учтя, что cV  T3 (формула(9.18)):κ  DT 3.(12.20)Эта зависимость имеет место при температурах Т, меньших некоторогохарактерного значения Т1, которое находится из условияlN(T1)=D.(12.21)В области более высоких температур Т>Т1 имеет место соотношениеl «D«lU.

В этом случае фонон на пути от одного столкновения споверхностью кристалла до другого участвует в большом количественормальных процессов взаимодействия, изменяя после каждого из нихсвою энергию и квазиимпульс. Его движение от одной границы кристаллак другой становится диффузионным, то есть его траектория похожа натраекторию частицы в процессе случайных блужданий (смотри рис.12.2).Длина участка траектории, лежащего между двумя столкновениями споверхностью, и составляет величину lU .

Но в силу сложного характераNдвижения lU »D.158Попытаемся оценить величину lU . Как известно из курса общейфизики, средний квадрат расстояния <r2>, проходимый частицей за время tв процессе диффузионного движения, равен<r2> ~ 6t,(12.22)где  - коэффициент диффузии.Рис.12.2.Характерную величину коэффициента диффузии  можно оценить1 ~ ~ v~ l ,(12.23)3где ~v - средняя скорость движения частицы, а l ее длина свободногопробега (в рассматриваемом случае это lN). Нас интересует характерноевремя  U , за которое фонон переместится на расстояние порядка D (отодной поверхности кристалла до другой) U ~ D 2 /  ~ D 2 / v~lN.(12.24)Численные множители порядка единицы мы опустили, так как оцениваем U по порядку величины.

ЗначениеlU ~ v~ U ~ D 2 / lN.(12.25)Поскольку lN убывает с повышением температуры, то lU* растет помере возрастания Т. Используя формулу (12.25), легко найти температуру159T*, ниже которой столкновения с поверхностью начинают игратьдоминирующую роль. Необходимо, чтобы выполнилось неравенствоlU  l Uилиl N lU  D2 .При температуре T , для которойl N (T  )l U (T  )  D 2 ,(12.26)произойдет переход от зависимости (12.19) к степенной зависимостиκ  T .

Таким образом, при T= T имеет место максимум коэффициентатеплопроводности (смотри рис.12.1).Для нахождения показателя α необходимо оценить величину (формула (11.23)) для тепловых фононов с k ~ Tq D /  D . Для них величина n p ( k )  ~ 1.  Найдем зависимость C ( p, p1 , p2 , g , k , k1 ) от волновых векторов,считая, что все они одного порядка. Матричный элемент  C ( p, p1 , p2 , g , k , k1 ) представляет собой результат Фурье-преобразованияNчетвертого слагаемого в (7.7) по трем координатам rlj, s , по которымпроисходит дифференцирование.

При вычислении интеграла Фурье егоможно взять по частям и перенести дифференцирование по rlj, s наэкспоненту exp(ik rl ,s ) . В результате каждого такого дифференцированиявозникает сомножитель kj. Отметим, что фурье-компонента потенциальнойэнергии взаимодействия не обладает какой-либо малостью при малых k .Кроме того, при выражении величин u lj,s в (7.7) через операторы рожденияи уничтожения фононов (формула (8.26)), мы получаем сомножители1/ 2    , которые также входят в C ( p, p1 , p2 , g , k , k1 ) . Поскольку 2 NM s  p (k )  p (k ) для длинноволновых акустических фононов пропорциональны k, то160каждый такой сомножитель дает величину k-1/2. В итоге матричный  элемент C ( p, p1 , p2 , g , k , k1 ) оказывается пропорциональным k3/2.Элемент объема в обратном пространстве d 3 k при переходе ксферическим координатам преобразуется в 4k 2 dk .

Интегрирование по kснимается дельта-функцией в (11.23). В итоге  N1 оказываетсяпропорциональным характерному значению k~TqD/D в пятой степени, тоестьN  T -5.(12.27)Величина lN ~ s N также ведет себя, как T -5.Следовательно, lU  T 5 (смотри формулу (12.25)). Подставляя lU ввыражение (12.15) для коэффициента теплопроводности κ, получаемκ  D2T 8.Такимобразом,вобласти(12.28)температурT~T1зависимостьκ  T сменяется на зависимость κ  T . При дальнейшем ростетемпературы значение κ достигает максимума при T  T  , а потом падает сувеличением температуры как exp( E0 / T ) .

При T~D эта зависимость38сменяется законом κ  T 1 . Общий вид зависимости коэффициентатеплопроводности диэлектрика от температуры приведен на рис.12.1.Мы не обсуждаем здесь роль примесей, которые также могутвносить свой вклад в рассеяние фононов при низких температурах.

Однакокачественно зависимость κ(T) не изменяется, хотя может произойтиизменение показателя степени T в формуле (12.28).161Приложение 1Понятия о физических тензорах в евклидовом трехмерномпространствеДо сих пор при описании физических явлений мы встречались сдвумя типами физических величин: скалярными (энергия, мощность,работа) и векторными (сила, импульс, момент импульса).

Однако дляописания свойств анизотропных кристаллических сред этих двух типовоказывается недостаточно. Продемонстрируем это на примере всемизвестного закона Ома в дифференциальной форме.В изотропной среде закон Ома имеет видj E,(П.1.1)где j - вектор плотности тока, E - вектор напряженности электрическогополя, а скалярная величина  - удельная электропроводность вещества.В анизотропном кристалле плотность тока по-прежнему линейнозависит от компонент вектора E , но эти векторы, в отличие от изотропнойсреды, вообще говоря, не параллельны друг другу.

Для записи такой связипотребуется не одна скалярная величина, а девять: j1  11E1  12 E2  13E3 , j2   21E1   22 E2   23E3 , j  E  E  E .31 132 233 3 3(П.1.2)Таким образом, можно представить удельную электропроводностькристалла в виде компонент матрицы  ik , где индексы i и k пробегаютзначения 1, 2, 3. Забегая вперед, можно сказать, что электропроводностькристалла является физическим тензором второго ранга.Можно записать три уравнения (П.1.2) в видеji   i1E1   i 2 E2   i3E3   ik Ek .k(П.1.3)Для сокращения записи введем соглашение о суммировании: если какойлибо индекс повторяется в одночлене два раза (больше двух раз онповторяться не может), то по нему проводится суммирование, но знаксуммы не ставится.

Такой индекс мы будем называть немым, вместо негоможно использовать любую неиспользуемую в данном выражении букву.162Индексы, по которым не ведется суммирование, называются значащими.Выражение (П.1.3) с учетом соглашения о суммировании можно записатькак(П.1.4)ji   ik Ek ,где i - значащий, а k - немой индекс.Тензором называется специальный математический объект,задаваемый в каждой точке пространства и меняющийся, вообще говоря,от точки к точке.

Тензор задается определенным числом скалярныхфункций – компонент тензора, зависящих от координат пространства.Компоненты тензора отличаются друг от друга численными значенияминекоторого количества значащих индексов, характеризующих компонентыданного тензора. Каждый из них пробегает значения 1, 2, …, n (n –размерность координатного пространства). Компоненты тензорапреобразуются по определенным законам при переходе от однойкоординатной системы к другой (эти законы приведены ниже).В данном курсе мы ограничимся рассмотрением физическихтензоров, то есть тензоров, описывающих физические характеристикисред, в трехмерном (n=3) евклидовом пространстве – пространстве снулевой кривизной.Рангом тензора называют число его значащих индексов.

Скаляр – этотензор нулевого ранга, вектор – тензор первого ранга. Мы ужепознакомились с тензором второго ранга. Тензор n -го ранга имеет 3nкомпонент. Действительно, каждый его индекс может приниматьнезависимо от других три значения (1, 2, 3). А число отличных друг отдруга реализаций ситуации, которая характеризуется несколькиминезависимыми величинами, равно произведению чисел различныхреализаций для каждой из этих величин.Сразу отметим, что приравнивать, складывать и вычитать можнотолько тензоры одинакового ранга с одним и тем же набором значащихиндексов.Тенор Ai, j ,k ...,l ,...m симметричен по индексам j и l , если компонентатензора с переставленными индексами совпадает с исходнойAi,..., j ,...,l ,...m  Ai,...,l ,..., j ,...m .(П.1.5)В частности, симметричный тензор второго ранга ( Aij  A ji ) можнопредставить в виде симметричной матрицы, которая имеет 6 независимыхкомпонент ( A11 , A12 , A13 , A22 , A23 , A 33).163Компонента антисимметричного по индексам j и lпротивоположна компоненте с переставленными индексамиAi,..., j ,...,l ,...m   Ai,...,l ,..., j ,...m .тензора(П.1.6.)Отсюда следует, что компоненты с одинаковыми индексами j и l равнынулю.В тензорных обозначениях скалярное произведение векторов ( a , b )записывается в виде aibi .

Векторное произведение векторов c   a , b представляется в тензорном виде через антисимметричный по любой пареиндексов тензор третьего ранга eijk ( e123 =1):ci  eijk a jbk .(П.1.7)Следом тензора второго ранга Aij называют скаляр, равный суммеего диагональных компонент:Aii  A11  A22  A33 .(П.1.8)Рассмотрим преобразование компонент тензора при переходе отодной декартовой ортонормированной системы координат к другой. Пустьei ( i =1, 2, 3) орты исходной системы координат, а ei ' - орты новойсистемы координат. Матрица перехода aij выражается через скалярноепроизведение ортов ei ' и ei aik  (ei ' , ek ) ,(П.1.9)ei '  aik ek ,(П.1.10)ek  aik e 'i .(П.1.11)Упражнение 1.

Характеристики

Список файлов книги