Физика твёрдого тела 1 (1182142), страница 18

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 18)

Эйнштейн123предложил модель, согласно которой  p (k )   p  const , то есть независит от волнового вектора. Такая модель качественно описываетоптические ветви, для которых реально  p (k ) изменяется в интервале(  min ,  max ), причем  min и  max - одного порядка величина. Дляакустических ветвей модель Эйнштейна в области низких температур неприменима.Поскольку  p не зависит от k , то интегрирование по k в (9.4) даетдля теплоемкости одной ветви с номером рCVpexp( p / T )  pN2  T[exp( p / T )  1] 2 .(9.7)Для  p  TCVp  N ( p / T ) 2 exp( p / T ) .(9.8)Таким образом, вклад в теплоемкость оптических мод в областинизких температур экспоненциально мал.

Этот вывод кардинальнорасходится с предсказанием классической статистики (9.6), посколькуквазиклассическое приближение хорошо работает, когда характернаятепловая энергия Т намного превосходит энергию кванта  p . Впротивном случае классический результат не применим.Вобластиоптическиефононы"вымерзают". p >>TСоответствующее им среднее значение числа фононов <np>экспоненциально мало, и поэтому вклада в теплоемкость они практическине вносят.

Теплоемкость кристаллической решетки в этом случаеопределяется акустическими ветвями, к рассмотрению которых мы ипереходим.9.4. Модель ДебаяВ основе модели Дебая лежат следующие два предположения:1. Закон дисперсии фононов предполагается изотропным и линейным, тоесть p (k )  s p k ,где s p  const .1242.

Первая зона Бриллюэна, которая представляет собой многогранник впространстве волновых векторов, заменяется на шар с тем же объемом.Радиус этого шара qD (дебаевский волновой вектор) находится из условияравенства объемов:3VЗБ  8 3 / v яч  4q D/ 3,(9.10)где vЯЧ - объем элементарной ячейки в координатном пространстве. Отсюдаq D  (6 2 / v яч )1/ 3 .(9.11)В области низких температур, когда max  T , где  max максимальная частота акустической ветви, акустические фононы сбольшими волновыми векторами выморожены,а присутствующие вкристалле фононы с энергиями  p (k )  T обладают волновымивекторами k  q D , для которых линейный закон дисперсии являетсяхорошим приближением.Найдем, используя выражение (9.3) и закон дисперсии (9.9), энергиюакустических фононов. Переходя к сферическим координатам и выполняяинтегрирование по углам в (9.3), получимEакE0ак3 qDV  p 1 0s p kk 2 dk2 2 exp(s p k / T )  1.(9.12)Сделаем замену переменныхz p  s p k / T .(9.13)ТогдаEакE0ак3V p 12T42(s p ) 3s p qD / T0z 3 dz.exp( z )  1(9.14)В области низких температур, когда s p q D  T , верхний пределинтегрирования в (9.14) можно заменить на бесконечность, так какосновной вклад в значение интеграла в этом случае дает область значенийпеременной z~l, а при z»l подинтегральное выражение экспоненциальномало.

После этого получившийся интеграл представляет собой число125z 3 dz4,0 exp( z )  1 15аEакE0ак 2VT 430 33 s p3 .(9.15)p 1Введем усредненную скорость звука s для акустических ветвейs 3 1 3 3sp .3 p 1(9.16)После этого <Eак> примет видEакE0ак 2VT 410(s) 3.(9.17)Величину  D  sq D называют температурой Дебая кристалла.Характерные значения  D ~ опт . Вклад акустических ветвей внизкотемпературную теплоемкость кристаллической решетки равен3СVак23 34   E ак     2 VqDT  12 N  T   T 3 .  T55  D3 DV(9.18)Поскольку он намного превосходит вклад оптических ветвей, томожно считать, что при T   DCV  T 3 .

Вид зависимости CV(T)приведен на рис.9.1.При T   D , как легко убедиться, мы получаем из (9.14) законДюлонга и Пти.Отметим, что основной вклад в низкотемпературную ( T   D )теплоемкость кристаллической решетки вносят акустические фононы с"тепловыми" волновыми векторами kT, равнымиkT ~ q DT /  D .(9.19)126CVT3DTРис.9.1. Зависимость теплоемкости кристаллической решетки оттемпературы.12710.

СПЕКТРАЛЬНАЯ ПЛОТНОСТЬ КОЛЕБАНИЙРЕШЕТКИ (ПЛОТНОСТЬ ФОНОННЫХ СОСТОЯНИЙ).ЛОКАЛЬНЫЕ КОЛЕБАНИЯ10.1. Спектральная плотность состоянийПусть dN - число фононных мод с частотами, лежащими в узкоминтервале частот от  до +d. Введем величину (), называемуюспектральной плотностью колебаний решетки или плотностью фононныхсостояний:1 dN.(10.1) ( ) V dОтметим, что () не зависит от V.

Спектральная плотность удовлетворяетусловию нормировки ( )d  3n / v яч .(10.2)0Зная законы дисперсии фононных ветвей, можно определитьплотность фононных состояний как ( )   pd 3k(2 ) [   p (k )] ,3(10.3)где  ( ) - дельта-функция Дирака, а интеграл в (10.3) берется по первойзоне Бриллюэна.Определим плотность состояний фононов в модели Дебая.Аналогично (9.12)3 qD k 2 dk ( )    [  s p k ] .(10.4)2p 1 0 2Совершая замену переменных  p  s p k , получаем ( ) 3122p 1s p 3s pqD2  [   p ] p d p .0(10.5)128Для    D аргумент -функции обращается в ноль на интервалеинтегрирования.Согласно свойству -функции, f (a), если 1  a   2,f()(a)d.0,еслиaилиa1212Поэтому для    D ( ) 123 2  s p 3 2p 132 s2 32 .(10.6)Вид плотности фононных состояний для реального акустического иоптического законов дисперсии в трехмерном кристалле изображен нарис.10.1а,б соответственно.абРис.10.1.

Плотность фононных состояний в трехмерном кристалле в случаеакустической (а) и оптической (б) ветви колебаний.На нем видны изломы - особые точки. Они называютсяособенностями Ван-Хова и возникают при значениях , соответствующихособым точкам закона дисперсии  p (k ) - таким точкам, в которыхобращается в нуль групповая скорость фононов или, другими словами, p (k )  p (k )одновременно обращаются в нуль частные производные,,k yk x p (k ).k z129Пусть точка k0 - особая точка для закона дисперсии  p (k ) .Разложим функцию  p (k ) вблизи k0 с точностью до квадратичных по k  k0 членов. При этом разность  p (k )   p (k0 ) будет представлятьсобой квадратичную форму по переменным k x  k0 x , k y  k0 y , k z  k0 z .Выбором ориентации ортогональной системы координат приведем ее кдиагональному виду. Тогда p ( k )   p ( k 0 )  1 ( k x  k 0 x ) 2   2 (k y  k 0 y ) 2   3 (k z  k 0 z ) 2где ai 2(k)1p2ki2 k  k0,(10.7).Проклассифицируем эти особые точки в зависимости от знаковкоэффициентов  i . Случай положительных  i отвечает минимуму закона дисперсии дляоптических ветвей. Случай отрицательных  i соответствует максимуму законадисперсии. Если два коэффициента  i из трех отрицательны, а одинположителен, то это седловая точка первого типа, а если наоборот:один отрицателен, а два положительны - то седловая точка второготипа.Рассмотрим поведение функции  ( ) вблизи максимума законадисперсии одной из ветвей.

Подставляя (10.7) в (10.3), получаем p ( )  dq x dq y dq z(2 )3 [   p (k0 )  1q x2  2 q 2y   3q z2 ] ,  где q  k  k0 .(10.8)Если    p (k0 ) , то в силу неравенства  i <0 аргумент -функции вноль не обращается и  p ( )  0 .Если же    p (k0 ) , то сделав замену переменных1301/ 2q~i  i qi ,(10.9)находим p ( )  dq~x dq~y dq~z(2 )3 1 2 31(2 ) 1 2 32 [   p (k0 )  q~ 2 ] 1/ 2~dq~ 2 [   (k )  q~ 2 ] qp 01/ 2 [ p (k0 )   ]1 / 2(2 ) 1 2 321/ 2(10.10).Таким образом, вблизи максимума0, если    p (k0 ), p ( )   [ p (k0 )   ]1 / 2,если(kp 0 ).1/ 22 (2 ) 1 2 3(10.11)Функция  p ( ) имеет корневую особенность (см. рис.10.1).

Производнаяфункции  p ( ) слева при    p (k0 )  0 стремится к -, а справа при   p (k0 )  0 равна нулю.В точке минимума оптического закона дисперсии ситуацияполностью аналогична рассмотренной, и дли получения  p ( ) надоизменить знаки перед  и  p (k0 ) в правой части выражения (10.11).Исследуем теперь седловую точку первого типа.

Пусть дляопределенности  3 >0, а 1 ,  2 <0.После замены (10.9) приведем выражение (10.8) к виду p ( )  dq~x dq~y dq~z(2 ) 1 2 33 [   p (k0 )  q~x2  q~y2  q~z2 ] .1/ 2(10.12)Вводя новую переменную q~  (q~x2  q~y2 )1 / 2 и выражая d 3q~ вцилиндрических координатах, получаем131 p ( )  q~ dq~ dq~z(2 ) 2 1 2 3q~грq~гр1/ 2 q~гр0(10.13)~~2~2 ~2 dq z  d (q ) [   p (k0 )  q  q z ]18 2 1 2 3 [   p (k0 )  q~2  q~z2 ] 1/ 2где qгр – величина порядка qD, а q~гр ~  iqгр .Если    p (k0 ) , то аргумент -функции обращается в ноль приинтегрировании по q~ 2 для любых q~  q~ .

Характеристики

Список файлов книги