Физика твёрдого тела 1 (1182142), страница 15

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 15)

Графически эти зависимостиизображены на рис.7.3.-/d0k+/dРис.7.3. Законы дисперсии продольных акустических и оптическихколебаний для случая двухатомной цепочки.Разлагая (7.24) при малых k, легко получить, что для k<<2 /d A  kd12 /[2(12  22 )]1/ 2 ,а O  [2(12  22 )]1/ 2 .(7.25)104На границе зоны Бриллюэна A ( / d )  21/ 2 2 ;O ( / d )  21/ 2 1 .Подставляя выражение (7.24) в одно из уравнений (7.22), находимсоотношение между u1,0 и u 2,0 :u1,0u 2, 0212 cos(kd / 2)212   A2 (O ) (k ).(7.26)В частности, при k0 для акустических колебаний u1,0 = u 2,0 , то естьпри k=0 цепочка смещается как единое целое. В то же время дляоптических колебаний при k 0u1,0 / u 2,0  12 / 22  M 2 / M 1 .(7.27)То есть атомы одного сорта смещаются одинаково, смещение атомовразного сорта происходит в разные стороны так, чтобы центр массэлементарной ячейки оставался бы на месте.В ионных кристаллах, где атомы разного сорта заряженыпротивоположно, при таком смещении возникает дипольный момент иколебания сильно взаимодействуют с электромагнитными волнами.Именно поэтому они получили название оптических.Отметим, что число различных типов колебаний (два), называемыхветвями, совпадает с числом степеней свободы атомов в элементарнойячейке, а число различных значений k ограниченной цепочки совпадает счислом элементарных ячеек в ней.7.5.

Трехмерные кристаллыПусть в элементарной ячейке трехмерного кристалла имеется nатомов. Тогда число их степеней свободы равно 3n (каждый атом, какматериальная точка, имеет три степени свободы). Следовательно,существует 3n ветвей колебаний. Три из них являются акустическими, таккак в трехмерном пространстве существуют три независимых направления,по которым можно сместить кристалл как целое.

Остальные 3n-3 ветвиявляются оптическими. В частности, в кристалле с одним атомом наэлементарную ячейку существуют только акустические ветви колебаний.105Рассмотрим кристалл в виде прямоугольного параллелепипеда сразмерамиL1,L2,L3,стороныкоторогопараллельныкристаллографическим осям. Тогда, используя условия Борна-Кармана,получаем разрешенные значения компонент волнового вектораk x  2j / L1 , k y  2p / L2 , k z  2q / L3 ,(7.28)где j, p, q - целые числа.Если изображать точки, задаваемые условием (7.28), в обратномпространстве, то они образуют решетку с элементарной ячейкой, объемкоторой равенV0  (2 ) 3 / L1 L2 L3  (2 ) 3 / V ,где V - объем кристалла.

На каждую такую ячейку приходится одна модаколебаний. Число мод колебаний, приходящихся на некоторый объем  впространстве волновых векторов, равноN модd 3kd 3k.V V33V(2)(2) 0(7.29)Полное число мод, отвечающее одной ветви колебаний, можнонайти, распространив интегрирование на всю зону Бриллюэна, объемкоторой равен (2 ) 3 / v яч , где vяч - объем элементарной ячейки в прямомпространстве:N мод  V / v яч  N .Здесь N - число элементарных ячеек в кристалле.

Полное число мод равнопроизведению числа ветвей 3n на число мод для одной ветви N:N полн  3nNи совпадает с числом степеней свободы атомов кристалла.Вернемся теперь к решению системы дифференциальных уравнений(7.10) j3 n Njj (7.30)M s ulj, s     G(h)ul, s .ssj 1 s l Будем искать ее решение в виде:106ulj, sexp[i(kl  t )] .( M s )1 / 2u sjПодстановка его в (7.30) дает 2u sj   j  sМатрицуDsjsj (k )Gsjsj (k )1/ 2( M s M s )(7.31)u sj .(7.32)Gsjsj (k )(7.33)( M s M s )1 / 2называют динамической матрицей.Окончательноjj j2  [ Dss (k )    ss jj ]u s  0 ,(7.34)j  sгде  ss и  jj  - дельта символы Кронекера:1, если   .0, если      (7.35)Выражение (7.34) представляет собой систему 3n линейныхуравнений с нулевой правой частью.Условие существования нетривиального решения этой системыdet Dsjsj (k )   2 ss jj  0(7.36)приводит к уравнению степени 3n относительно переменной 2.

Егорешение дает 3n законов дисперсии  p (k ) где р=1, 2 ... 3n. Но даже вслучае n=1 мы имеем дело с кубическим уравнением, выражение длякорней которого является достаточно громоздким. Для n2 аналитическоерешение уравнения (7.36) в общем виде отсутствует, и его корни могутбыть найдены только численными методами.Подставив найденное значение  p (k ) в (7.34), можно определитьсобственные векторы u sj , то есть выразить все остальные компоненты1через u11 (или любую другую компоненту). Сама же величина u1 может107быть задана произвольно. Для определенности вводят нормированныеjсобственные векторы, обозначаемые es ( p, k ) . Условия нормировкиимеют вид(7.37a)  esj ( p, k )esj (q, k )   pq ,j s jj es ( p, k )es ( p, k )   jj ss .(7.37б)pВекторы esj ( p, k ) называют векторами поляризации.

Векторполяризации показывает, как сильно (по отношению к другиматомам) икуда смещается атом сорта s в волне с волновым вектором k , относящейсяк ветви под номером р.Обсудим одно важное свойство получившихся решений. Какотмечалось в конце параграфа 7.2, уравнения движения инвариантныотносительно комплексного сопряжения и изменения знака времени.Проведениеобеихэтихпреобразованийв(7.31)эквивалентнозамененаk k . Таким образом, уравнения (7.34) должны быть инвариантныотносительно такой замены.

Для этого необходимо и достаточно, чтобыдинамическая матрица Dsjsj (k ) была четной функцией волнового вектора.Но тогда четными функциями волнового вектора должны бытьполученные из (7.34) законы дисперсии  p (k ) и векторы поляризацииesj ( p, k ) .Определив собственные частоты и найдя векторы поляризации, мытем самым определили соотношение между амплитудами и фазамиколебаний атомов в волне. Однако в силу линейности уравнений (7.30),смещения атомов определены с точностью до общего множителя, которыйхарактеризует амплитуду возникшей плоской волны. Обозначим егоQ p (k ) .

Тогда смещение на данной моде колебаний имеет видje(p,k)ulj, s ( p, k )  sQ(k)exp[i(kl(k)t )] .pp( M s N )1 / 2(7.38)Сомножитель N -1/2 выделен из Q p (k ) для удобства.Полное смещение отдельного атома кристалла представляет собойсумму его смещений на всех 3nN модах колебаний108ulj, sje(p,k)   ulj, s ( p, k )    sQ(k)exp[i(kl(k)t )] . (7.39)pp1/ 2p kp k (M s N )Для завершения рассмотрения равновесной динамики решетки намосталось найти величины Q p (k ) .

Но для этого нам придется выйти зарамки классической физики. Дело в том, что атомы, составляющиекристалл, являются микроскопическими объектами. И для их корректногоописания необходимо привлечение аппарата квантовой механики.1098. КВАНТОВАНИЕ КОЛЕБАНИЙ КРИСТАЛЛИЧЕСКОЙРЕШЕТКИ. ФОНОНЫ8.1. Диагонализация гамильтонианаВ гармоническом приближении функция Гамильтона кристаллаимеет вид~(8.1)H  Wкин  Wпот ,~где Wкин и Wпот задаются выражениями (7.4) и квадратичным по ul ,sслагаемым в (7.7), соответственно.Рассмотрим сначала выражение для кинетической энергии.Выразим ulj, s согласно (7.39), сделав заменуq p (k )  Q p (k ) exp(it ) ,ulj, s  p kesj ( p, k )( M s N )1 / 2q p (k ) exp(ik l ) .(8.2)Единственной зависящей от времени величиной в правой частиуравнения (8.2) является q p (k ) .

Поэтомуulj, s   p kesj ( p, k )( M s N )1 / 2q p (k ) exp(ik l ) .(8.3)Подставляя это выражение в формулу (7.4), получаемWкин   21 n N1 3 njM(u)e(p,k) s l ,ss2 s l l2 N j 1 s 1 p,p k,k Nj es ( p , k ) q p ( k ) q p  ( k )  exp[i (kl  k )l ] .(8.4)Сумма по l в правой части (8.4) выражается через дельта-символКронекера  k  k,0110  Nexp[i(k k )l ]  N k  k,0 .lНаличие сомножителя  k  k,0 снимает суммирование по k  , ивыражение (8.4) принимает видWкин  j1 3 nj    es ( p, k )es ( p,k )q p (k )q p (k ) .2 j 1 s 1 p, p k(8.4а)Как было показано в разделе 7.5, векторы поляризации являютсячетными функциями волнового вектора. Поэтому, используя соотношение(7.37а), получаем j jjj  es ( p, k )es ( p,k )    es ( p, k )es ( p, k )   pp .j sj sНаличие сомножителя  k  k,0Окончательноснимает суммирование по1Wкин  q(k)q(k).pp2 p kp .(8.5)Перейдем теперь к преобразованию потенциальной энергии.1 3 n N jj   j j~Wпот ({ulj, s })    G (l  l )ul , s ul , s .2 j, j 1 s, s 1 l,l ssПосле подстановки (8.2) получаем nN1 3~jj Wпот ({ulj, s })      Dss (l  l ) 2 N j , j1 s, s1 l ,l  p, p k ,k    esj ( p, k ) esj ( p, k ) q p (k ) q p (k ) exp[i(k l  k l )] .(8.6)  Переходя от суммирования по l  к суммированию по h  l  l  ,находим111nN1 3~Wпот ({ulj, s })      Dsjsj (k ) 2 N j , j  1 s, s  1 l p, p  k , k    esj ( p, k ) esj ( p, k ) q p (k ) q p (k ) exp[i(k  k )l )] .(8.6а)Суммирования по l и k  снимаются, как и в случае кинетическойэнергии.

Характеристики

Список файлов книги