Физика твёрдого тела 1 (1182142), страница 12

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 12)

Вобщем случае эти волны не являются ни продольными, ни поперечными.Такое разделение возможно только в случае, когда волновой векторпараллелен высокосимметричному кристаллографическому направлению.Подставляя выражение (6.48) в уравнение (6.47), находим 2ui  ijlmk j kl um(6.59а)(  2 im  ijlmk j kl )um  0 .(6.59б)илиУсловие существования нетривиального решения ( u0  0 ) имеет видdet  2 im  ijlmk j kl  0(6.60)и приводит к кубическому уравнению относительно величины  2 , решаякоторое мы получаем три закона дисперсии  (i ) (k ) (i=1, 2, 3), отвечающиетрем различным упругим волнам с волновым вектором k .Подставляя  (i ) (k )в уравнение (6.59б), можно найтинормированный собственный вектор e (i ) , соответствующий этому законудисперсии.

Он указывает направление смещения частиц кристалла в волнеи носит название вектора поляризации упругой волны.786.8. Поверхностная волна в изотропной средеПоверхностнымиупругимиволнами(поверхностнымиакустическими волнами – ПАВ) называют волны, в которых амплитудаколебаний частиц среды спадает экспоненциально по мере удаления от еёповерхности. Таким образом, в колебательное движение вовлечены толькочастицы приповерхностного слоя.

Поскольку наличие поверхностипонижает симметрию среды по сравнению с такой же, но безграничнойсредой, поверхностная волна, как и упругие волны в кристалле, неявляется ни продольной, ни поперечной.Будем искать вектор смещения частиц среды в поверхностной волнеu в виде (6.61)u  u (l )  u (t ) ,где u (l ) и u (t ) удовлетворяют соотношениямсоответственно, причемu ( )  f ( ) ( z )exp(ikx  it ) ,(6.49)и(6.50)(6.62)где   l , t , ось z ортогональной системы координат перпендикулярнаплоскойповерхностиполубесконечнойсреды,занимающейполупространство z  0 , а ось х направлена вдоль волнового вектора k ,который параллелен поверхности среды.Продольная ( u (l ) ) и поперечная ( u (t ) ) составляющие волныудовлетворяют волновым уравнениям (6.51) и (6.55) соответственно.Подставляя выражение (6.62) в эти уравнения и разделяя переменные,находимd 2 f ( )(6.63) ( ( ) )2 f ( ) ,2dzгде( ( ) )2  k 2   2 /( s( ) )2  0 .(6.64)В случае ( ( ) )2 <0 вместо поверхностной волны мы получимобъемную волну.Решение уравнения (6.63) даетf ( ) ( z )  a ( ) exp( ( ) z ) ,где мы оставили только спадающее в глубь среды решение.(6.65)79Для нахождения закона дисперсии поверхностных волнвоспользуемся граничными условиями (6.24).

На свободной поверхностисреды n =(0,0,1) и при z =0(6.66)13   23   33  0 .Используя закон Гука (6.30), находим, что при z =0u13  0u23  0 (u  u )  (1   )u  0.33 11 22(6.67)Поскольку вектор смещения ui не зависит от координаты y (смотриуравнение (6.62)), то u23 равно1 u y(6.68)u23 2 zи обращается в ноль только при условииuy  0.(6.69)Таким образом, смещение частиц среды в поверхностной волнепроисходит параллельно плоскости, проходящей через волновой вектор инормаль к поверхности (в нашем случае плоскости xz ).Следовательно, вектора a ( ) имеют по две отличные от нулякомпоненты: a ( )  (a1( ) ,0, a3( ) ) . Условия (6.49) и (6.50), а также первое итретье уравнения в системе (6.67) дают четыре линейных однородныхуравнения для компонент векторов a ( )ika1(t )   (t ) a3(t )  0, (l )ika3   (l ) a1(l )  0,(l )(t )(l ) (l )(t ) (t )ik (a3  a3 )   a1   a1  0,(l )(t )(l ) (l )(t ) (t ) ik (a1  a1 )  (1   )( a3   a3 )  0.Условие существования нетривиальногосоотношения (6.58) приводит к уравнениюрешения(6.70)сучетом804 2 2 2  2 416k  k  (l ) 2  k  (t ) 2    2k  (t ) 2  .( s ) (s )  (s ) 22(6.71)Сделаем замену переменных  s (t )k ,(6.72)где  - неизвестная величина.

После замены уравнение (6.71) принимаетвид  s (t )  2 2 (6.73)16(1   ) 1   (l )   2   (2   2 ) 4 . s Легко видеть, что  не зависит от волнового вектора k , а определяетсяотношением ( s (t ) / s (l ) ), то есть коэффициентом Пуассона данноговещества (см.(6.58)). Поэтому закон дисперсии поверхностных волн (6.72)является линейным, а  представляет собой отношение скоростиповерхностной волны s (пов ) к скорости объемных поперечных волн s (t ) .После упрощения (6.73) находим2  s (t )  2 (t )  2 s 6  8 4  8 2  3  2  (l )    16 1   (l )    0 . s   s  (6.74)Нас интересуют действительные значения  , лежащие в интервале 0<  <1.Для каждого значения коэффициента Пуассона  существует только одинкорень уравнения (6.74), удовлетворяющий этому условию (рис.6.7).Подчеркнем еще раз, что s ( пов )  s (t )  s (l ) .811,00 0,950,900,8501/41/2Рис.6.7.6.9.

Колебания стержней и пластин из изотропного материала1) Продольные колебания стержняВ разделе 6.5 мы познакомились с определением понятия«стержень». При рассмотрении упругих волн в таком теле возникает ещеодин характерный масштаб длины – длина упругой волны. Если длинаволны много меньше, чем поперечный размер стержня, то упругие волны внем такие же, как и в другом объемном теле (раздел 6.7).Поэтому когда говорят о колебаниях стержня, то подразумевают, чтодлина упругой волны намного превосходит поперечный размер стержня.Основываясь на этом, как и в разделе 6.5, мы будем предполагать, чтокомпоненты тензора упругих напряжений однородны по поперечномусечению стержня.При рассмотрении свободных (собственных) колебаний стержня (нетолько продольных) мы будем считать, что к его боковой поверхности неприложены никакие внешние силы.При рассмотрении продольных колебаний мы ограничимсяслучаями, когда торец стержня либо также не подвержен воздействиювнешних сил (свободный конец), либо прикреплен к абсолютно жесткомунедеформируемому телу (закрепленный конец).

На свободном конце 33 =0, а на закрепленном конце равна нулю компонента вектора смещенияu3 ( u3 =0), ось z параллельна оси стержня.В обоих случаях бегущая волна, добежав до конца стержня,отразится от него, в результате в стержне установится стоячая волна.82Закрепленному концу стержня отвечает узел стоячей волны, а свободномуконцу – ее пучность.Поскольку в стержне, как показано в разделе 6.5, отлична от нулятолько компонента  33 тензора упругих напряжений, уравнение динамики(6.20) с учетом (6.35) примет вид:u3  33u 2u E 33  E 23 .x3x3x3(6.75)Из получившегося волнового уравнения 2u3 E  2u3 x32t 2(6.76)находим закон дисперсии(l )(l )стерж(k )  sстержk(6.77)и скорость продольной упругой волны в стержне(l )sстержE s (l ) .(6.78)Реальный закон дисперсии продольной волны в стержне имеет вид,изображенный на рис.6.8.s (l ) k(l )sстержkdРис.6.8.k83Переход от одного линейного закона дисперсии к другому происходиттогда, когда длина волны сравнивается с поперечным размером стержня.Уравнение продольной стоячей волны в стержне имеет вид(l )u3 ( z, t )  A cos(kz  стерж(k )t  1) (l ) A cos(kz  стерж(k )t  2 ) (l ) 2 A cos(kz   )cos(стерж(k )t   ) ,(6.79)где A - амплитуда волны, 1 и  2 - начальные фазы бегущих навстречудруг другу волн,   (1  2 ) / 2 ;   (2  1) / 2 .

Величины A и находятся из начальных условий, а два граничных условия, во-первых,дают значение  , а, во-вторых, разрешенные значения волнового вектора.Дело в том, что в стержне ограниченных размеров нетривиальноерешение с A  0 имеет место только при определенных значенияхволнового вектора k  k ( j ) , j=1, 2, 3… Каждому значению k ( j )соответствует определенное колебание (мода).Продемонстрируем это на примере стержня с двумя закрепленнымиконцами при z =0 и z =l. Поскольку им соответствуют узлы стоячей волны,то на длине стержня должно укладываться целое число полуволн.Из условия u3 z  0  0 следует, что cos =0, или   это значение  в выражение (6.79), получаем(l )u3 ( z, t )   Asin kz cos(стерж(k )t   ) .2.

Подставляя(6.80)Знак минус можно внести под косинус, изменив фазу      .Поскольку A и  пока не определены из начальных условий, можно безограничения общности опустить  в правой части уравнения (6.80).Из граничного условия u3 z  0  0 , получаем sin kl  0 илиk ( j) lj,jN ,(6.81)N - множество натуральных чисел. Значение j  0 дает тривиальноерешение, а отрицательные значения j не приводят к новому решению, таккак в стоячей волне складывается две бегущих волны спротивоположными k , и смена знака k ведет только к перестановке84слагаемых. Условие применимости модели: длина упругой волны намногопревосходит поперечный размер стержня, приводит к ограничению навеличину j : j  l / d .2) Колебания тонкой пластины из изотропного материалаПластиной называют тело, ограниченное двумя параллельнымиплоскостями, в случае, если продольные размеры тела (в плоскости)намного превосходят расстояние между плоскостями - толщину пластиныd (рис.6.9).

При рассмотрении колебаний пластины предполагают, чтодлина волны   d . В противном случае упругие колебания в пластинетакие же, как в любом объемном теле.Выберем ось z декартовой ортогональной системы координатперпендикулярно вышеуказаннымплоскостям, а ось x направим вдольволнового вектора k .При рассмотрении свободных (собственных) колебаний пластинdпредполагают, что на её плоские поверхности ( z   ) не действуют2внешние силы. Тогда из граничных условий (6.24) следует, что13   23   33  0 ,(6.82)а с учетом закона Гука, что u13  u23  0 .zyxdРис.6.9.Условие  33  0 дает возможность выразить u33 с помощьюсоотношения (6.42) через u11 и u22 :u33  1(u11  u22 ) .(6.83)85Исключая u33 из закона Гука с помощью последнего соотношения,получаем «двухмерный» закон Гука:E 11  1   2 (u11   u22 ),E(u22   u11 ), 22 21E 12  1   u12 .(6.84)Мы рассмотрим только две поляризации упругих волн в пластине:продольную волну и поперечную волну, в которой смещения частиц средыпроисходят вдоль оси y , то есть параллельно поверхности пластины.Третий тип колебаний, при котором смещения частиц среды происходятвдоль оси z , то есть перпендикулярно пластине, отвечает изгибнымколебаниям пластины, его рассмотрение выходит за рамки читаемогокурса.Для продольных колебаний u  (u1,0,0) , причем u1  u1 ( x, t ) , так какволна распространяется вдоль оси x , и от y смещение не зависит, азависимостью вектора смещения от z можно пренебречь в силунеравенства d   .Следовательно, u12  u22  0 , и уравнение динамики (6.20)приобретает вид 2u (6.85) 21  11 .x1tС учетом первого уравнения системы (6.84) мы получаем 2u1E 2u1.t 2  (1   2 ) x 2(6.86)Таким образом, скорость продольной упругой волны в пластине равна(l )sпластE, (1   2 )её отношение к скорости объемных продольных волн s (l ) равно(6.87)861/ 2(l ) 1  2 sпласт2s (l ) (1   )  1.(6.88)Поэтому закон дисперсии продольных волн в пластине имеет вид,аналогичный изображенному на рис.8, где в качестве параметра dвыступает толщина пластины.В случае поперечной волны u  (0, u2 ,0) , причем u2  u2 ( x, t ) .

Характеристики

Список файлов книги