Физика твёрдого тела 1 (1182142), страница 16

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 16)

Учитывая четность матрицы Dsjsj (k ) и векторов поляризации поk  , имеемn1 3~jj Wпот ({ulj, s }) D(k)   2 j , j  1 s, s  1 p, p  k ss  esj ( p, k ) esj ( p, k ) q p (k ) q p  (k ) .(8.6б)Согласно (7.34), j jjj 2D(k)e(p,k)(k)e(p,k). ss pssj sСовершая эту подстановку, получаем j1 3 n~j2Wпот ({ul ,s })      p (k )es ( p, k ) 2 j 1 s 1 p, p k esj ( p, k )q p (k )q p (k ) .(8.6в)Используя соотношение (7.37а), приходим к окончательному виду1~2Wпот ({u lj, s })   (k)q(k)q(k).ppp2 p k(8.7)В результате функция Гамильтониана нашей системы запишется как12H  [q(k)q(k)(k)q(k)q(k)] .ppppp2 p k(8.8)112В результате замены переменных мы свели функцию Гамильтона3nN связанных друг с другом степеней свободы к сумме 3nN/2независимых друг от друга функций Гамильтона, каждая из которыхописывает два связанных друг с другом колебания на модах, задаваемыхквантовыми числами ( p, k ) и ( p,k ) .

Для «расцепления» этих двухоставшихся степеней свободы необходимо каноническое преобразование,то есть линейное преобразование в объединенном пространствеобобщенных координат и обобщенных импульсов следующего вида 1i~~~~q p (k )  q p (k )  q p (k ) q p (k )  q p (k ) ,22 p (k )(8.9а) 1i(k) ~  ~pq p (k )  q~ p (k )  q~ p (k ) q p (k )  q p (k ) .22(8.9б)После подстановки (8.9) в (8.8) находим 1~ (k ) 2  q~ (k ) 2   2 (k ) q~ (k ) 2 H  {qpppp4 p k 2  2p (k ) q~ p (k ) } .(8.10)Поскольку суммирование по k в (8.10) происходит по всемуобратному пространству, можно сделать замену переменных k на  kвтором и четвертом слагаемых.

В итоге1~ (k ) 2   2 (k ) q~ (k ) 2 } .H  {qppp2 p k(8.11)Выражение (8.11) представляет собой сумму 3nN функцийГамильтонаневзаимодействующихгармоническихосцилляторов(нормальных мод) с массой m=1. Величины q~(k ) называют нормальнымикоординатами кристаллической решетки. Поскольку m=1, то~ q~ p (k )  Pp (k ) ,~ где Pp (k ) - импульс, соответствующий данной нормальной координате.113Для того, чтобы получить из функции Гамильтона гамильтонианквантовой системы, заменим координаты и импульсы на их операторы. Врезультате гамильтониан кристалла в гармоническом приближении имеетвид ~2 1~ˆ 2 2(8.12)Hˆ   {P(k)(k)qˆ p (k )}pp2 p kи представляет собой сумму 3nN гамильтонианов отдельныхгармонических осцилляторов с массой m=1 и частотами  p (k ) .8.2.

Понятие о квазичастицахПри описании систем, состоящих из большого числа частиц,наибольших успехов физики достигли в случае идеальных или слабонеидеальных газов, то есть систем, в которых потенциальная энергиявзаимодействия между частицами газа на характерном расстоянии r0=n-1/3(n – концентрация частиц) намного меньше, чем средняя кинетическаяэнергия частицы Wкин.Равновесные характеристики и кинетические коэффициентыидеального газа могут быть найдены из первых принципов. Слабоевзаимодействие между частицами учитывается в дальнейшем по теориивозмущений.Слабо неидеальными являются разреженные газы нейтральныхклассических частиц (а также плотные ферми-газы). С увеличениемплотности газа характерная потенциальная энергия взаимодействия частицWпот(r0) растет и становится порядка Wкин.

В этом случае учитыватьвзаимодействие частиц по теории возмущений уже нельзя. Расчетхарактеристик такой системы становится очень трудной задачей: энергиячастицы зависит от положений соседних частиц, а те, в свою очередь,сильно взаимодействуют со своими соседями. В итоге необходимо решатьзадачу о согласованном поведении огромного числа частиц.

Именнопоэтому до сих пор не создана последовательная микроскопическая теорияжидкостей и плотных газов.Для атомов в твердых кристаллических телах выполнено обратноенеравенство: Wпот(r0)>>Wкин. Причем это неравенство справедливо вплотьдо температуры плавления. Именно это определяет характер движенияатомов или ионов, образующих твердое тело: они совершают малыеколебания вблизи своих положений равновесия.Казалось бы, мы имеем дело с системой сильно взаимодействующихчастиц и встречаемся при ее описании с такими же трудностями, как и в114случае жидкостей. Но это не так. При абсолютном нуле температуры,когда равновесная система находится в основном состоянии (в состоянии снаинизшей энергией), характерная удельная энергия связи атомов (энергиясвязи в расчете на один атом) составляет величину 0 порядка несколькихэлектрон-вольт.

При повышении температуры до некоторого значения Тэнергия отдельного атома увеличивается на величину порядка Т (здесь идалее мы будем температуру измерять в энергетических единицах). Приэтом вплоть до температуры плавления Т<<0, то есть энергия отдельногоатома, составляющего твердое тело, изменяется на относительно малуювеличину.То же самое можно сказать и обо всем твердом теле: его энергияизменяется слабо по сравнению с энергией основного состояния.

Другимисловами, с ростом температуры система переходит в возбужденноесостояние (с энергией большей, чем у основного), но энергия этоговозбужденного состояния отличается от энергии основного состояния намалую, по сравнению с самой энергией, величину.Именно это последнее условие является ключевым при введениипонятия квазичастиц. Если оно выполнено, то можно после некоторыххитроумных, но тождественных преобразований показать, что любоеслабовозбужденное состояние системы (каковых может быть сколь угодномного) отличается от основного возникновением некоторого числа слабовзаимодействующих между собой (и окружением) объектов, которые иназывают квазичастицами.Поскольку эти объекты появились в результате удачного описаниясостояния системы сильно взаимодействующих между собой частиц (внашем примере – атомов) и в виде одиночных образований (вне нашейсистемы, в вакууме, например) не существуют, то в их название ввелиприставку «квази».Так как квазичастицы слабо взаимодействуют друг с другом, то ихсовокупность является почти идеальным газом и легко может бытьописана.

Зная характеристики основного состояния, можно найти таковыедля огромного числа слабовозбужденных состояний, которые и играютглавную роль при температурах Т<<0. В частности, используясоответствующиеквазичастицы,можноописатьповедениекристаллической решетки во всем температурном диапазоне еесуществования (вплоть до температуры плавления).Конечно, сама процедура введения квазичастиц, то есть сведениесистемы сильно взаимодействующих объектов к системе слабовзаимодействующих квазичастиц, отнюдь не проста и не всегда, даже есливыполнено ключевое условие, может быть проведена до конца.

Но мы свами рассмотрим те случаи, когда это удается сделать.1158.3. ФононыЗадача об одном гармоническом осцилляторе была решена в курсеквантовой механики. В частности, было показано, что собственныезначения энергии осциллятора En равныEn   (n  1 / 2) ,(8.13)где  - частота гармонического осциллятора, а n=0, 1, 2… - номер уровня.В силу эквидистантности уровней энергии гармоническогоосциллятора можно считать, что n - это число квантов энергии величиной в данном состоянии.Энергия колебаний кристаллической решетки представляет собойсумму энергий этих 3nN осцилляторов:E  (k)[n(k)  1 / 2] .pp(8.14)p kКроме того, можно ввести для каждого осциллятора операторыaˆ p (k ) и aˆ p (k ) - операторы уничтожения и рождения кванта 1/ 2   p (k ) i~ˆ~ qˆ p (k ) aˆ p (k )   1 / 2 Pp (k ) /(2)1 / 2 , (8.15)  ( p (k ))  (k ) 1 / 2i~ˆ  p~ˆaˆ p (k ) q p (k )  1 / 2 Pp (k ) /(2)1 / 2 .

(8.16) ( p (k ))Оператор уничтожения â , действуя на состояние, в которомнаходится n квантов (обозначим -функцию такого состояния n  ),уменьшает количество квантов на единицу, то есть переводит систему всостояние n 1  .aˆ n  (n)1 / 2 n  1  .(8.17а)116Если же n=0, то â 0  =0, то есть дальнейшее уменьшение числаквантов невозможно.Оператор рождения â  , наоборот, увеличивает число квантов наединицу, переводя систему из состояния n  в состояние n 1  :aˆ  n  (n  1)1 / 2 n  1  .(8.17б)Оператор числа квантов n̂ , собственным значением которого иявляется число квантов n, выражается через операторы â и â  какnˆ  aˆ  aˆ .(8.18)n̂ n  n n  .(8.19)Легко поверить, чтоОператоры aˆ p (k ) и aˆ p (k ) , относящиеся к разным осцилляторам,коммутируют друг с другом, а для одного и того же осциллятораaˆ p (k )aˆ p (k )  aˆ p (k )aˆ p (k )  1.(8.20)Гамильтониан кристаллической решетки в гармоническомприближении может быть выражен через операторы aˆ p (k ) , aˆ p (k )следующим образом  ˆˆHˆ   (k)[a(k)a(k)  1 / 2] .ppp(8.21)p kТеперь настала пора ввести первую в нашем рассмотренииквазичастицу.

Характеристики

Список файлов книги