Физика твёрдого тела 1 (1182142), страница 14

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 14)

Кроме того, будем опускать вдальнейшем слово "ядро" и говорить просто "координата атома".7.2. Уравнения движенияЛагранжиан системы представляет собой разность кинетической ипотенциальной энергийL=Wкин-Wпот.(7.6)Поскольку rlj,s(0) не изменяются во времени, в качестве независимыхпеременных выберем смещения атомов ulj,s .Кроме того, поскольку смещения атомов из положений равновесиямалы по сравнению с межатомным расстоянием d, то мы можем разложитьфункцию Wпот ({rlj,s }) в ряд по смещениям ulj,sWпот ({rlj,s })  Wпот ({rlj,s(0) }) 3 n NWпот ({rlj,s })j 1s 1 lrlj,s  (7.7)ulj,s {rlj,s }  {rlj,s(0) }j2n N  Wпот ({rl , s })1 3  2 j, j 1 s, s 1 l,l rj rjl , s l sulj, s ulj, s {rlj, s }  {rlj, s(0) }963j1 3 n N  Wпот ({rl , s })   6 j, j s, s l,l  rj rj rjj 1 s 1 ll ,sl sl sulj, s ulj, sulj, s ...{rlj, s }  {rlj, s(0) }Первое слагаемое в (7.7) представляет собой энергию связикристалла и не зависит от ulj,s .

Второе слагаемое в (7.7) равно нулю, таккак положения равновесия атомов отвечают минимуму потенциальнойэнергии, а в точке минимума функции первая производная равна нулю.Часто при рассмотрении динамики кристаллической решеткиограничиваются третьим слагаемым в (7.7). Это приближение называется"гармоническим", а четвертое и последующие слагаемые в разложении(7.7) называют ангармоническими.

Ниже мы оценим величину малогопараметра ulj,s /d, по которому, на самом деле, происходит разложение.Потенциальная энергия атома изменяется на величину порядка себя самойпри его смещении на расстояние порядка межатомного. ПоэтомуWпот ({rlj,s })rlj,sE~ ат ;d 2Wпот ({rlj, s })rlj, s rlj, s~Eатd2и т.д.,где Еат - энергия атомного масштаба. Таким образом, каждыйпоследующий член разложения (7.7) содержит лишнюю степень малогопараметра ulj,s /d.Рассмотрим уравнения движения атомов кристалла в гармоническомприближении, учитывая только квадратичный по ulj,s член в (7.7).Уравнения Лагранжа имеют видd LL j  0.jdt u ul ,sl ,s(7.8)1 n N  2L  M(u) sl ,s2 s 1 l(7.9)Подставляя L в виде97j21 3 n N  Wпот ({rl , s })   2 j, j 1 s, s 1 l ,lrlj, s rljs ulj, s ulj, s .{rlj, s }  {rlj, s(0) }получаем уравнение3n NM s ulj, s      2Wпот ({rlj, s })rlj, s rljsj 1 s1 l ulj, s .(7.10){rlj, s }  {rlj, s(0) }Матрицу2j })W({rпотl ,sGsjsj (l  l ) jjrl , s rls(7.11){rlj, s }  {rlj, s(0) }называют матрицей силовых постоянных кристалла.Физический смысл силовых постоянных очень прост.

Пусть все u j ,l ,sкроме ulj, s равны нулю. Тогда на атом сорта s в элементарной ячейке lдействует сила, равная Flj, s  Gsjsj (l  l ' )ulj, s .(7.12)Если условно представить, что все атомы в кристалле связаны междусобой пружинками, то силовая постоянная - это жесткость одной такойпружины. Вследствие трансляционной симметрии кристалла Gsjsj (l  l )  hзависит не от l и l  по отдельности, а толькоотихразности   l l . Если мы заменим в уравнении (7.12) l на l  T , а l  на l   T , где T 'вектор трансляции, то при uljT , s  u j'l ,sFl j, s .Посколькусила FljT ,s должна равняться силе98 2Wпот ({rlj, s })' 'то G jj' (h )  G j' j (h ) .ssrlj, s rljs 2Wпот ({rlj, s })rlj, s rlj, s,ssУравнения (7.10) представляют собой систему 3nN линейныхдифференциальных уравнений второго порядка, полностью описывающихдинамику кристаллической решетки в гармоническом приближении.Поскольку мы предполагали, что нам известна функция Wпот ({rlj,s }) , томы знаем и все ее производные, то есть и силовые постоянные кристалла.Но так как N~1023, то решение такого количества дифференциальныхуравнений "в лоб" не представляется возможным.Поскольку входящие в уравнения (7.10) величины вещественны, тоих решение должно быть инвариантно относительно комплексногосопряжения.

Кроме того, поскольку в уравнения входит только втораяпроизводная по времени, то они, а, следовательно, и множество ихрешений инвариантно относительно смены знака времени (замены t на –t).Мы ограничимся рассмотрением тех решений этих уравнений, которыеимеют вид бегущих плоских волн.7.3. Линейная цепочка атомовРассмотрим вначале линейную бесконечную цепочку одинаковыхатомов, разделенных расстоянием d, фрагмент которой изображен нарис.7.1а.абРис.7.1.

Фрагмент одномерной цепочки атомов, состоящей из атомоводного (а) и двух (б) сортов.Это одномерный аналог кристалла, элементарной ячейкой являетсяотрезок цепочки длиной d. Пусть атомы имеют только одну степеньсвободы: они могут смещаться только вдоль цепочки. Поскольку наэлементарную ячейку приходится только один атом, мы опустим индекс s(индекс j пропадает из-за наличия только одной степени свободы). Тогдауравнение (7.10) примет вид99Mul   G(h)ul h ,(7.13)hпричем в силу одномерности задачи l=dn, h=dm, где n и m – целые числа.Решение системы (7.13) ищем в видеul  u0 exp(ikl  it ) ,(7.14)где u0=ul при l=0. Конечно, величины ul должны быть вещественными. Насамом деле, имеется в виду действительная часть выражения (7.14).Однако при проведении вычислений удобнее пользоваться комплекснойэкспонентой, а затем взять действительную часть получившегося решения.После подстановки этого выражения в (7.13) получаемu 0 2 M  u0  G(h) exp(ikh) .(7.15)hСумма, стоящая в правой части (7.15), представляет собойодномерное Фурье-преобразование функции G(h) и обозначается G(k).

Всилу четности G(h) (см. стр. 97) функция G(k) также является четной.ДействительноG(k )   G(h)exp(ikh)   G(h)exp(ikh) .hhСовершая замену переменных h  -h, получаемG(k )   G(h)exp(ikh)  G(k ) .hкогдаНетривиальное (u00) решение уравнения (7.15) имеет место тогда,   (k )  G(k ) / M 1 / 2 .(7.16)Таким образом, условие существования нетривиального решенияпозволяет определить зависимость собственной частоты колебаний атомовот волнового вектора.

Зависимость (k) называется законом дисперсииколебаний.Кроме того, G(k=0)=0, так как при k=0 из (7.14) следует, что все ulодинаковы: происходит сдвиг всей атомной цепочки как целое безизменения расстояний между атомами. Поэтому никаких результирующихсил, действующих на атомы в новых положениях равновесия, не100возникает, и правая часть уравнения (7.13) должна равняться нулю. Новеличины ul=u00 и, следовательно, G(h)  G(k  0)  0 .hВ силу четности функции G(k) оказывается, что при малых kG(k)  k2 и(7.17) (k )  sk .гдеs=constестьскоростьпродольнойзвуковойволны,распространяющейся по цепочке. Колебания, закон дисперсии которыхимеет вид (7.17) при k0, называют акустическими.

Употребляя термин"малые k", мы не указали, по сравнению с чем. Величины G(h)существенно отличны от нуля для h  r0 . где r0 - радиус взаимодействияатомов в цепочке. Поэтому значения k, много меньшие 2/r0, можносчитать малыми и разлагать экспоненту в (7.15) по степеням k.В частности, в случае взаимодействия с ближайшими соседями,когда каждый из атомов можно условно считать связанным пружинками сжесткостью κ c ближайшими к нему атомами, r0=d, а сила, действующая наатом в ячейке l со стороны правого атома, равнаF = κ (ul d  ul ) ,где (ul  d  ul ) - удлинение пружинки.Аналогично, сила, действующая со стороны левого соседа, равнаF = κ (ul d  ul ) .Уравнения движения принимают видMul  κ (ul d  ul d  2ul ) .Подставляя ul в виде (7.14), получаем(k)=2(κ/M)1/2 sin(kd/2) .(7.18)При малых k (k)d(κ/M)1/2k, следовательно s=d(κ/M)1/2.

Вид законадисперсии (k) приведен на рис. 7.2.101-/d0k+/dРис.7.2. Закон дисперсии продольных акустических волн в линейнойцепочке из одинаковых атомов.Легко видеть, что при малых k групповая v гр  d / dk и фазоваяvф   / k скорости волн совпадают и равны s. При k=/d vгр=0, а vф=2s/.Мы получили периодическую зависимость (k) с периодом 2/d. Иэто не случайно.

Поскольку l=nd, где n - целое число, аul  u0 exp(ikdn  it ) ,то изменение k на величину 2/d не приводит к изменению ни одного изсмещений ul. То есть волны, для которых k отличаются на g=2m/d, где m целое число, неразличимы. Отметим, что g является вектором одномернойрешетки, обратной по отношению к нашей цепочке.По аналогии с проведенным рассмотрением можно сформулироватьпринцип, справедливый для решеток любой размерности: в дискретнойпериодической среде волновой вектор определен с точностью до вектораобратной решетки.Поэтому k выбирают обычно в пределах первой зоны Бриллюэна (внашем случае -/d<k  /d ).В заключение данного раздела рассмотрим еще один вопрос.Предшествующее изложение было проведено для бесконечной цепочки.Что изменится, если мы ограничим ее размеры? Очевидно, что вблизиоборванных концов цепочки колебания будут происходить не так, как всередине.

Для исключения этих граничных эффектов замкнем концыцепочки. Пусть в ней N атомов. Тогда условие замыкания имеет видu N  u0102и называется периодическим граничным условием Борна-Кармана.Подставляя вместо uN выражение (7.14), находимexp(ikdN)  1,илиk j  2j / dN ,(7.19)где j - целое число.Эти значения kj соответствуют собственным модам замкнутойограниченной цепочки.Полное число колебательных мод можно получить, разделив размерзоны Бриллюэна 2/d на расстояние между kj, отвечающим соседниммодам, равное 2/dN Их число равно N, то есть совпадает с числомстепеней свободы атомов в цепочке. Это равенство числа степенейсвободы атомов и числа колебательных мод сохраняется и при переходе кмногомерным кристаллическим решеткам.7.4. Двухатомная линейная цепочкаРассмотрим теперь цепочку чередующихся атомов двух сортов(рис.7.1б), разделенных расстоянием d/2 (d - размер элементарной ячейкидля такой цепочки).

Ограничимся учетом взаимодействия ближайшихсоседей, соответствующую жесткость обозначим κ. Пусть М1 и М2 - массыатомов разных сортов, причем М2>M1, a u1,l и u 2,l - их смещения. Тогда,аналогично (7.17), получаемM 1u1,l  κ (u2,l  u2,l d  2u1,l ) ;(7.20)M 2u2,l  κ (u1,l d  u1,l  2u2,l ) .Будем искать решение системы (7.20) в видеu1,l  u1,0 exp(ikl  it ) ;u 2,l  u 2,0 exp[ik (l  d / 2)  it ] ;(7.21)где u1,0 и u 2,0 - амплитуды смещений, а l и l+d/2 - координата атомовсоответствующего сорта в l-ой элементарной ячейке.Подставляя (7.21) в (7.20), получаем103M 1 2u1,0  2 κ [u1,0  u2,0 cos(kd / 2)] ;(7.22)M 2 2u 2,0  2 κ [u 2,0  u1,0 cos(kd / 2)].Условие существования нетривиального решения системы двухлинейных уравнений (7.22) имеет вид2  M 1 2- 2 cos(kd/ 2)- 2 cos(kd/ 2)2  M 2 2 0.(7.23)Отсюда следуют два закона дисперсии для колебаний атомов цепочки: A2 ,O  12  22  [(12  22 ) 2  41222 sin 2 (kd / 2)]1/ 2 ,(7.24)где 12 =κ/M1,  22 =κ/M2, а знаки минус и плюс соответствуют акустическим(А) и оптическим (О) колебаниям.

Характеристики

Список файлов книги