Физика твёрдого тела 1 (1182142), страница 11

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 11)

Одно из его оснований расположено на поверхноститела (рис.6.4).DhРис.6.4.Пусть диаметр цилиндра D намного превосходит его высоту h ( D  h ).В этом случае масса цилиндра, его боковая поверхность и приложенные кней силы упругости, пропорциональные h , являются бесконечно малымиболее высокого порядка и ими можно пренебречь. Уравнение динамикидля цилиндра примет вид(6.23)dfiвнеш  dfi  0 ,где df iвнеш - внешняя сила, приложенная к основанию цилиндра,совпадающему с поверхностью, а df i - сила упругости, приложенная кпротивоположному основанию, расположенному внутри тела, dfi   ik dSk .Заметим, что нормаль к «внутреннему» основанию цилиндраантипараллельна внешней нормали nk к поверхности тела в данном месте.Тогда dSk  dSnk .

Подставляя df i в виде dfi   ik dSnk в уравнение (6.23)и деля получившееся уравнеие на dS , получаем граничное условие ik nk  Pi ,(6.24)69df iвнешгде Pi - поверхностная плотность внешних сил, выражаемая вdSпаскалях.Зная форму тела и приложенные к нему внешние силы, с помощьюсоотношений (6.21) и (6.24) можно найти статические упругие напряженияв теле, хотя расчеты могут оказаться отнюдь не простыми.6.4.

Закон ГукаКак же, зная упругие напряжения в теле, найти его деформацию? Вобласти малых деформаций ( uik <<1) справедлив закон Гука,устанавливающий линейную связь между компонентами тензорадеформации и компонентами тензора упругих напряжений.Как известно (Приложение 1), такая связь осуществляется тензоромчетвертого ранга(6.25) ik  iklmulm ,или(6.26)uik  ciklm lm ,где iklm - тензор упругих модулей, измеряемых в Па, а ciklm - тензорупругих податливостей, измеряемых в Па-1. В силу симметричноститензоров uik и  ik тензор iklm ( ciklm ) обладает следующими свойствамисимметрии(6.27)iklm  kilm  ikml .Кроме того, из термодинамического рассмотрения следует, чтоiklm  lmik .(6.28)В силу указанной симметрии в самом общем случае из 81компоненты тензора четвертого ранга только 21 компонента являетсянезависимой. Предоставляем читателю выписать их в качествеупражнения.Наличие в системе дополнительной симметрии уменьшает числонезависимых компонент тензора.

В частности, изотропное тело, упругиесвойства которого одинаковы по всем направлениям, характеризуетсятолько двумя упругими модулями: модулем всестороннего сжатия K имодулем сдвига  . Первый определяется как70K 1  1  V  ,V  P T(6.29)где V - объем тела, P - давление, а T - температура. В случаевсестороннего сжатия тела (газом или жидкостью)  ik   P ik (  ik символ Кронекера).Закон Гука для изотропного тела приобретает вид1 ik  Kullik  2 (uik  ullik ) .3(6.30)Выражая компоненты тензора деформации uik через компоненты тензораупругих напряжений, получаемuik 111( ik   ll ik )  ll ik .239K(6.31)Рассмотрим теперь анизотропные кристаллические среды.

ЗаконГука в них дается формулами (6.25) и (6.26). Кристаллы триклиннойсингонии (с трехклинной решеткой Бравэ) характеризуются 21 упругиммодулем. По мере увеличения числа точечных элементов симметриикристалла, число независимых упругих модулей уменьшается (смотритаблицу 6.1).Таблица 6.1Число независимыхупругих модулей№Сингония1Триклинная212Моноклинная133Ромбическая94Тетрагональная6 или 75Тригональная6 или 76Гексагональная58Кубическая371Упражнение. Проследить связь между элементами точечной симметрии ичислом независимых упругих модулей, используя тот факт, чтокомпоненты тензора четвертого ранга (как и любого тензора)преобразуются как произведения соответствующих координат (см.Приложение 1).Обращаем внимание, что наиболее симметричные кубическиекристаллы характеризуются тремя упругими модулями, и симметрия ихупругих свойств отличается от таковой для изотропной среды.Для эквивалентности упругих свойств кубического кристалла иизотропной среды необходимо, чтобы выполнялось дополнительноесоотношение между тремя независимыми упругими модулями( 1111  1122  21212  0 ).

Поскольку это соотношение не следует ни ихсимметрии, ни из каких-либо физических законов, оно в реальныхкристаллах может выполниться только случайно.6.5. Растяжение стержней из изотропного материалаСтержнем называют тело цилиндрической формы, у которого длинаобразующей цилиндра намного превосходит линейные размеры егопоперечного сечения (рис.6.5).аxzylРис.6.5.Будем растягивать стержень, прикладывая внешние усилия к торцамстержня (например, приклеив их к удаляющимся друг от друга «щекам»тисков).

В силу соотношения l  a (рис.6.5) можно считать, что значениякомпонент тензора упругих напряжений  ik одинаковы во всех точкахпоперечного сечения стержня.Поскольку к боковой поверхности не приложены внешние силы,граничное условие (6.24) приобретает вид:72 i1n1   i 2n2  0 ,(6.32)где n1 и n2 - две компоненты нормали к боковой поверхности. Посколькув разных точках боковой поверхности величины n1 и n2 изменяются от -1до 1 (рис.6.6), причем n12  n22  1, то для того, чтобы уравнение (6.32) былосправедливо во всех точках боковой поверхности, необходимо идостаточно, чтобы  i1   i 2  0 , i=1, 2, 3. Таким образом, пять из шестинезависимыхкомпоненттензораравнынулю: ik11  12   22   31   32  0 .yxРис.6.6.Оставшаяся ненулевая компонента  33 определяет диагональныекомпоненты тензора деформации.

Недиагональные компоненты тензораuik ( i  k ) прямо пропорциональны соответствующим компонентамтензора  ik (уравнение (6.31)) и поэтому равны нулю.Для диагональных компонент из уравнения (6.31) получаем с учетомтого, что  ll  11   22   33   331 11 u33    33 ,3   3K 1 11 u11  u22    33 .3  2  3K (6.33)(6.34)Введем две новые, часто встречающиеся в литературехарактеристики изотропного тела: модуль Юнга E и коэффициент73Пуассона  .

Определим их, как постоянныесоотношениях (6.33) и (6.34):u33   33 / E ,u11  u22  u33 .коэффициентыв(6.35)(6.36)Таким образом, модуль Юнга и коэффициент Пуассона выражаютсячерез K и  как1 1 11 (6.37)  ,E 3   3K  11  11  1 3K  2 , /  2  3K    3 K  2 3K  (6.38)E9 K,3K  (6.39)E,2(1   )(6.40)KE.3(1  2 )(6.41) откудаКоэффициент Пуассона характеризует отношение деформаций стержня впоперечном и продольном направлении, формально он может изменяться в1пределах  1    , хотя для реальных веществ   0 .

Коэффициент2Пуассона – скалярная величина, то есть тензор нулевого ранга, неимеющий индексов. По этому признаку его легко отличить от компоненттензора упругих напряжений  ik .Подставляя выражения (6.40) и (6.41) для K и  в уравнение (6.30),получаемEE 1 ik ull ik (6.42) uik  ull ik  .3(1  2 )1  3746.6.

Уравнения динамики, выраженные через компоненты векторасмещенияВ уравнении динамики (6.20) в правой и левой частях фигурируюткомпоненты разных тензоров. Чтобы перейти к математической проблемеего решения, необходимо выразить правую часть уравнения черезкомпоненты вектора смещения ui .

Для этого воспользуемся законом Гука(сначала для изотопного тела, а потом для кристалла) и определениемтензора деформации (6.12). Подставляя выражение для  ik (6.30) в правуючасть уравнения (6.20), имеемu2  u(6.43)ui  gi   K    ll  2 ik .3  xixkИспользуя соотношение (6.12), получаем уравнение динамики1   2u 2ului   gi   K     2i ,3  xi xlxk(6.44)в последнем слагаемом в правой части (6.44) имеет место суммирование поk .

Переходя к векторным обозначениям, находим u  g   K  grad div u  Δu ,3(6.45а)или, используя модуль Юнга и коэффициент Пуассонаu  g E  1grad div u  Δu  .2(1   )  1  2(6.45б)В случае кристалла, подставляя выражение (6.25) для  ikуравнение (6.20), приходим к соотношениюui  gi  iklmulm.xkв(6.46)Принимая во внимание определение тензора деформации (6.12) исоотношение (6.27), получаем75ui  gi  iklm 2u m.xk xl(6.47)6.7. Упругие волныУпругая волна – это распространяющиеся в среде механическиеколебания ее частиц. Упругие волны с длиной волны, намногопревосходящей межатомные расстояния, называют звуковыми, или простозвуком. В изотропной среде можно выделить три взаимноперпендикулярных поляризации упругой волны: одну продольную и двепоперечные.

В продольной волне колебания частиц среды происходятпараллельнонаправлению распространения волны, задаваемому волновымвектором k , а в поперечной - перпендикулярно направлениюраспространения. В трехмерном пространстве таких взаимноперпендикулярных направлений два.Мы ограничимся рассмотрением гармонических плоских волн, длякоторых(6.48)u (r , t )  u0 exp(ikr  it ) ,где  - частота колебаний, t - время.Для продольной волныu0 ║ k иrot u (l )  0 ,(6.49)div u (t )  0 ,(6.50)а для поперечной волныu0  kиl и t - означают продольную и поперечную волны.Используя соотношениеgrad div u  rot rot u  uи принимая во внимание условие продольности (6.49), получаем изуравнения динамики (6.45б) следующее волновое уравнениеu(l ) E (1   )u (l ) .(1   )(1  2 )(6.51)76Сила тяжести приводит к статическим деформациям и в линейномприближении не влияет на колебательное движение.После подстановки выражения (6.48) в уравнение (6.51), находим 2E (1   )2ku  0. (1   )(1  2 )  0(6.52)Условие существования нетривиального решения ( u0  0 ) приводит ксвязи между частотой и волновым вектором, то есть из него мы получаемзакон дисперсии продольной упругой волны  (l ) (k ) :E (1   ) s (l ) k . (1   )(1  2 ) (l ) ( k )  kЗакон дисперсии продольной упругойлинейным и изотропным.

Величину(6.53)(звуковой) волныE (1   ) (1   )(1  2 )s (l ) оказался(6.54)называют скоростью продольной упругой (звуковой) волны. В случаелинейного закона дисперсии фазовая скорость vф kи групповаяdволны совпадают. В нашем случае они равны s (l ) .dkВолны с  и k , не удовлетворяющими закону дисперсии, не могутраспространяться в среде, имеет место только тривиальное решениеu0  0 .Для поперечной упругой волны в изотропной среде, с учетомсоотношения (6.50) получаем из (6.45б) волновое уравнениескорость vгр u(t ) Eu (t ) ,2  (1   )(6.55)откуда, аналогично случаю продольной волны имеем (t ) ( k )  s (t ) k ,(6.56)77гдеs (t ) E2  (1   )(6.57)скорость поперечной звуковой волны.Отношение скоростей продольной и поперечной волн равноs (l )s(t )2(1   )4,1  23(6.58)то есть скорость продольной волны в изотропной среде всегда выше, чемпоперечной.Перейдем теперь к распространению упругих волн в кристалле.

Характеристики

Список файлов книги