Физика твёрдого тела 1 (1182142), страница 6

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 6)

Поэтому естественно использовать дифракцию элементарныхчастиц на кристаллах для расшифровки их кристаллической структуры.Свободная элементарная частица описывается волновой функцией,зависящей от радиус-вектора r и времени t следующим образом:i[ pr   ( p)t ], (r , t )  C exp(2.2)где p - импульс,  - постоянная Планка, а  ( p) энергия частицы. Этаволновая функция носит название волны де-Бройля.

Волновой вектор данной плоской волны k  p /  , а длина волны  Б равнаБ  2 / p .(2.3)Какие же элементарные частицы используют для определениякристаллической структуры? Протоны и электроны обладаютэлектрическим зарядом. Поэтому при облучении кристалла пучком такихчастиц на его поверхности или в объеме может возникнуть электрическийзаряд, который будет действовать на подлетающие частицы своимэлектрическим полем и приводить к искажению данных эксперимента.Следовательно, удобнее использовать нейтральные частицы –нейтроны. Дифракция электронов используется для исследования тонкихпленок или слоев, но мы не будем на этом сейчас останавливаться.Поскольку свободный нейтрон имеет конечное время жизни ( τ =17мин), эксперимент по дифракции нейтронов на кристалле долженпроводиться вблизи источника свободных нейтронов.

Последним являетсяядерный реактор, в котором идет цепная реакция распада тяжелых ядер.Понятно, что в отличие от рентгеновского дифрактометра, подобнуюустановку нельзя разместить на лабораторном столе.33Оценим необходимую нам энергию нейтронов в пучкеp 2 2 2  2,2mm2Б(2.4)oгде m - масса нейтрона ( m  1,67  10 27 кг). Для  Б ~ 0,1  1 A = 10-11-10-10мполучаемε ~10-20  10-18 Дж ~ 0,1-10 эВ.Нейтроны с такой энергией называют холодными. Нейтроны,возникающие в результате реакции распада тяжелого ядра, имеют энергиюпорядка 1МэВ, то есть в миллион раз большую, чем требуется.

Поэтомунеобходимо пропустить возникающий нейтронный пучок череззамедлитель – вещество, не поглощающее нейтроны, но забирающее унейтронов их кинетическую энергию в результате процессов столкновенияс ядрами атомов этого вещества.2.2.Условия Вульфа-БрэггаИз курса физики известна формула Вульфа-Брэгга длядифракционных максимумов при дифракции на системе атомныхплоскостей:2d sin   m ,(2.5)где d - расстояние между атомными плоскостями, θ - угол скольжения,m  Z , а λ - длина волны падающего излучения. Обратим внимание на тотфакт, что система атомных плоскостей должна быть перпендикулярнабиссектрисе угла, образованного падающим и рассеянным лучами(рис.2.1). При этом угол отклонения рассеянного луча  составляет 2 .Рис.2.1.

Дифракция на семействе атомных плоскостей.34Поскольку систему атомных плоскостей можно выделить вкристалле бесчисленным множеством способов, получим выражение дляусловия Вульфа-Брэгга, явно содержащее все множество решений.Пусть на кристалл падает плоская электромагнитная волна,напряженность электрического поля которой изменяется по закону E  E0 exp(ik r  it ) .(2.6)Расположим начало нашей декартовой системы координат в центреодного из атомов исследуемого кристалла. Вектор ρn задает положениецентра n-го рассеивающего электромагнитную волну атома. В начале, дляпростоты, будем считать все атомы неподвижными точечными объектами,и предположим, что базис состоит только из одного атома.Сферическая рассеянная волна, порожденная n-м атомом, имеетнапряженность поля exp(ikR  n  iwt )E n' ( R)  Eon c,(2.7) R  nгде Eon - значение поля первичной волны в точке рассеяния, c  const , аR - радиус-вектор точки, в которой происходит регистрация рассеянногоизлученияфотобумагойилиприбором,например,ФЭУ–фотоэлектронным умножителем.

Как правило, R намного превосходитразмеры кристалла. Поэтому можно пренебречь ρn по сравнению с R взнаменателе формулы (2.7). Но этого нельзя сделать в аргументеэкспоненты (в фазе волны). Для этого  n k должно быть много меньше π ,а не Rk .Поскольку R  ρn (рис.2.2), все волны, приходящие в точкунаблюдения,имеютодинаковыеволновыевекторыk' , равные по модулюk . Кроме того, напряженности электрического поля этих волнпараллельны, поэтому мы будем складывать их алгебраически.Результирующая напряженность электрического поляN exp(ik R   n  it )n 1RE   Eon cгде N – число ячеек в кристалле.,(2.8.)35   R   n  ( R   n )(R   n )  R 2  2R n   n2 2  n cos  n2 n2, R 1 2  R   n cos R2RR(2.9)где φ - угол между R и ρn .

Пренебрегая последним слагаемым и учитывая, что k ' || R , можно записать    k R  n  k ' R  k ' n .z(2.10)RnyxРис.2.2.Так как первичная волна приходит к разным рассеивающим атомам сразной фазой, то(2.11)Eon  E0 exp(ik  n ) .Окончательно получаемEN cE0  exp(ik ' R  it )  exp[i n (k  k ' )]Rn1(2.12)Главный максимум для рассеянной (дифрагировавшей) волнынаблюдается, если все рассеянные волны приходят в точку наблюдения водной и той же фазе, то есть n (k  k ' )  2m' , (m' Z ) .(2.13)36Так как  n соединяет центры эквивалентных атомов, то есть являетсявектором трансляции, то n  ha1  la2  ma3 , h, l , m  Z , где a1 , a 2 и a3 - элементарные векторы трансляции.

Условие (2.13)  выполнено для любого  n тогда и только тогда, когда вектор k  k 'kудовлетворяет условию ~(2.14)ai k  2hi , i=1, 2, 3,~а hi  Z . Доказательство этого утверждения предоставляем читателю.Выражение (2.14) есть эквивалентная (2.5) запись условия Вульфа-Брэгга.В главном максимуме сумма, стоящая в правой части (2.12), равна числуячеек N, а интенсивность главного максимума I 0  N 2 .2.3. Форм-фактор атомаДо сих пор мы считали атом точечным объектом.

Это справедливопри дифракции нейтронов, которые рассеиваются ядрами атомов, ноневерно по отношению к рентгеновским лучам, рассеиваемым, в основном,электронной оболочкой атомов. А характерный размер электронногооблака сравним с межатомным расстоянием, или, другими словами  функция электронов существенно отлична от нуля во все элементарнойячейке. Для учета этого факта в случае рассеяния рентгеновских лучейвводится форм-фактор f , к расчету которого мы приступаем.Вторичная сферическая волна возникает в результате рассеяния наэлектроне в точке  n   ' (рис.2.3).

Вероятность нахождения электрона внекотором бесконечно малом объеме dV ' , взятом в окрестности этой 2точки, выражается через его  -функцию  (  ' ) как dw   (  ' ) dV ' .Поэтому в выражении (2.12) следует заменить  n на сумму  n   ' ,домножить выражение, стоящее в правой части, на dw и провестиинтегрирование по всему объему. Заметим, что в силу трансляционнойинвариантности dw не зависит от номера ячейки n.В результате возникнет множитель f  , равный    2f (k  k ' )   dV '  (  ' ) exp[i(k  k ' )  ' ] .(2.15)37ρρn ρnρnРис.2.3.Если учесть, что в атоме (ионе) может быть не один электрон, то получимокончательное выражение для форм-фактора атома (иона)    Z 2f (k  k ' )   f (k  k ' )   dV '  (  ' ) exp[i(k  k ' )  ' ] , 1(2.16)где Z – число электронов в атоме (ионе).Таким образом, учет неточечности электронного облака приводит кдомножению на форм-фактор выражения в правой части формулы (2.12).Условия Вульфа-Брэгга остаются неизменными.2.4.

Структурный факторРассмотрим случай, когда базис состоит не из одного, а изнескольких атомов. Пусть центр атома первого сорта в n-ой элементарнойячейке имеет координату  n . Координаты центров остальных атомовзадаются координатами  n   s , где  s в силу трансляционнойинвариантности не зависит от n (  s1  0 ). Рассеяние первичной волныпроисходит на каждом из атомов, находящихся в ячейке. Поэтомунеобходимо в (2.12) заменить  n на  n   s   ' и, наряду синтегрированием по  ' и суммированием по  , провести еще исуммирование по s . В результате, в правой части (2.12) возникнетсомножитель38    S (k  k ' )   f s (k  k ' ) exp[i(k  k ' )  s ] ,(2.17)sназываемый структурным фактором. Здесьf s - форм-факторсоответствующего атома или иона, суммирование происходит по всематомам в базисе.Задача: рассчитать структурный фактор одноатомной ОЦК и ГЦКрешетки, предполагая (неоправданно), что элементарной ячейкой являетсякуб, содержащий 2 и 4 атома соответственно.К появлению еще одного сомножителя - фактора Дебая-Уоллера,приводит учет того факта, что атомы не стоят на месте, а совершают малыеколебания вблизи положений равновесия.

Но он, как и структурныйфактор, не влияет на условие Вульфа-Брэгга.2.5. Методики структурных исследованийа) Метод ЛауэПри данной методике измерений на монокристалл посылаютнемонохроматическую волну, в которой разброс длин волн  порядкасамой длины волны  . Зачем это необходимо? При заданных d ,  и mусловие (2.5) выполняется для строго определенных значений  . В случае ~  среди падающих волн найдется волна с нужной длиной, и можнобудет увидеть главные максимумы, отвечающие этой волне.

Ноинформацию о величине d мы не получим, так как не знаем, какомузначению  отвечают максимумы. Зачем же нужна эта методика? Еёиспользуют для определения элементов симметрии кристалла и егоюстировки, то есть установки относительно падающего луча. Представимсебе, что кристалл обладает осью 4-го порядка, и на фотопленке,поставленной за кристаллом перпендикулярно падающему лучу, мы видимглавный максимум (засвеченное пятнышко). Если падающий лучпараллелен оси 4-го порядка, то при повороте на 900 максимум нафотобумаге тоже повернется на 900 (рис.2.4), а кристаллическая решеткаперейдет сама в себя.

Следовательно, дифракционная картина должнаостаться неизменной. Какой же выход из ситуации? Необходимо, чтобыодновременно существовало четыре главных максимума расположенныхтак, чтобы при повороте на угол α =900, 1800, 2700 один из них переходил вдругой. Тогда общая картина оставалась бы неизменной. Действительно,если существует система плоскостей, дающая данный главный максимум,то из симметрии кристалла следует, что существует и повернутые39относительно оси n-го порядка на угол α =900, 1800, 2700 эквивалентныесистемы плоскостей, дающие три других максимума.Рис.2.4.

Лауэграмма.А что будет, если луч не совпадет с осью 4-го порядка? Максимумына фотопленке будут расположены несимметрично. Поэтому данный методприменяют для юстировки кристалла. А число эквивалентных максимумовдает информацию о порядке осей симметрии кристалла.б) Метод вращающегося (качающегося) кристаллаКак же все-таки получить информацию о межатомных расстояниях вкристалле? Для этого необходимо использовать монохроматическую волнус    . Обсудим метод её получения.

Для рентгеновских лучейиспользуетсясамоявлениедифракции.Первоначальныйнемонохроматический пучок рентгеновских лучей дифрагирует накристалле с известной кристаллической структурой, а на исследуемыймонокристалл посылают волну, отвечающую одному из главныхдифракционных максимумов. Её длина волны определяется по формуле(2.5). В случае пучка нейтронов используют времяпролетную методикуполучения монохроматического пучка. Пучок нейтронов посылают втрубу, имеющую две заслонки: на входе и на выходе. Каждую из нихоткрывают на очень короткое время, причем выходную заслонку сзапаздыванием τ по отношению к входной.

Характеристики

Список файлов книги