Физика твёрдого тела 1 (1182142), страница 4

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 4)

В этом случае эта точка остается на месте припоследовательном применении любых двух точечных преобразований, тоесть Лемма 2 справедлива.Это достигается параллельным переносом осей вращения на вектортрансляции. Действительно, если в кристалле существует одна осьвращения n-го порядка, то существует бесконечное множествопараллельных осей n-го порядка. Новые оси получаются изпервоначальной параллельным переносом на векторы трансляции. То жеотносится к плоскостям зеркальной симметрии и центру инверсии.Поскольку число пространственных групп симметрии велико (вотсутствие магнитного упорядочения существует 230 пространственныхкристаллических групп симметрии), то для краткой характеристикиконкретного кристалла используют точечную группу симметрии. Всегосуществует 32 такие группы. Они порождают кристаллические классы, накоторые можно разбить все пространственные группы симметрии: всепространственные группы симметрии, принадлежащие к данномукристаллическому классу, имеют одну и ту же точечную группусимметрии.Международная система обозначений точечных групп симметриикристаллов строится по следующему принципу:На первой позиции записывается число, равное наибольшемупорядку оси вращения, присутствующей в данном кристалле.

Например, укубического кристалла имеются три оси четвертого порядка, проходящиечерез центры противоположных граней кубической элементарной ячейки,и четыре оси третьего порядка, соответствующие главным диагоналямэтой ячейки. В обозначении группы симметрии на первом месте мыдолжны написать цифру 4.Если в кристалле присутствует плоскость зеркальной симметрии,перпендикулярная оси вращения наивысшего порядка, то в обозначениигруппы симметрии после цифры ставится косая черта, а за ней латинскаябуква m, например, 2/m.Если ось вращения наивысшего порядка лежит в плоскостизеркальной симметрии, то буква m стоит на второй позиции, например, 4m.Отметим, что в этом случае существует не одна, а целое семействоплоскостей зеркальной симметрии, получаемых из первой путемпоследовательных поворотов на угол 3600/n вокруг оси вращения n-го22порядка.

В приведенном примере таких плоскостей зеркальной симметриибудет две.Если наряду с рассмотренным семейством плоскостей зеркальнойсимметрии существует второе семейство плоскостей, являющихсябиссектрисамидвухгранныхуглов,образованныхплоскостями,принадлежащими к первому семейству, то в обозначении группызаписывают две буквы m, например, 4mm.Пример. В тетрагональной элементарной ячейке существует односемейство плоскостей (две), проходящих через середины параллельныхребер (рис.1.14), и второе семейство плоскостей (две), проходящих черезпараллельные друг другу диагонали оснований.Рис.1.14.

Семейства плоскостей симметрии тетрагональной решетки Бравэ.1.6. Построение элементарной ячейки Вигнера-ЗейтцаЭлементарной ячейкой Вигнера-Зейтца называется областькристалла, все точки которой расположены ближе к данному узлу решеткиБравэ, чем к другим узлам этой решетки.Такое определение однозначно задает вид элементарной ячейки приизвестной решетке Бравэ. Оно же подсказывает алгоритм построенияячейки.

Множество точек, равноудаленных от двух данных, представляетсобой плоскость, проходящую через середину отрезка, который соединяетэти точки, и перпендикулярную отрезку.На этом и будет основываться алгоритм построения. Соединимданный узел решетки Бравэ с одним из узлов этой решетки отрезком.Через его середину проведем плоскость, перпендикулярную отрезку. Онаделит все пространство на два полупространства.

Отбросим все точкиполупространства, не содержащего заданный узел решетки Бравэ.23Повторим эту процедуру, соединяя заданный узел решетки Бравэ сдругими узлами. То множество точек, которое осталось после переборавсех узлов решетки Бравэ (исключая заданный) и образует ячейкуВигнера-Зейтца.Конечно, нет никакой необходимости применять процедуру ко всемубесконечному множеству узлов. Как правило, достаточно ограничитьсяближайшими и следующими за ближайшими узлами решетки Бравэ.Очевидно, что плоскость, проходящая через середину отрезка,соединяющего далекие узлы, уже не отсечет ничего, что не было отсеченоплоскостями, порожденными соседними узлами решетки Бравэ.Упражнение. Построить элементарные ячейки Вигнера-Зейтца дляпростой кубической (ПК), объемоцентрированной кубической (ОЦК) игранецентрированной кубической (ГЦК) решеток Бравэ (см.

рис.1.15).абРис.1.15. Ячейка Вигнера-Зейтца ОЦК (а) и ГЦК (б)решеток Бравэ.Отметим, что в случае кубических решеток форма полученныхмногогранников универсальна в силу подобия всех кубов. Для другихрешеток Бравэ форма ячейки Вигнера-Зейтца зависит от соотношениймежду длинами а , b и c и от величин произвольных узлов.1.7. Индексы Миллера кристаллографической плоскости икристаллографического направленияКристаллографическойплоскостьюназываетсяплоскость,проходящая через три неколлинеарных (не лежащих на одной прямой)узла решетки Бравэ.Лемма. В любой кристаллографической плоскости расположенобесконечное множество узлов решетки Бравэ.24Доказательство. Пусть А , B и C - точки, соответствующие узлам решеткиБравэ, лежащим в кристаллографической плоскости по ее определению.Тогда векторы AB и AC являются векторами трансляции и лежат вданной кристаллографической плоскости.ВекторыT  h  AB l  AC ,где h и l - произвольные целые числа, также являются векторамитрансляции (предоставляем доказательство этого положения читателю) илежат в заданной кристаллографической плоскости.

Следовательно,откладывая такой вектор из точки А , мы получаем эквивалентную ейточку – узел решетки Бравэ, лежащий в данной кристаллографическойплоскости. В силу бесконечности множества целых чисел h и l множествотаких узлов бесконечно.Выберем (неортогональную в общем случае) систему координатследующим образом: начало координат (т. О ) совпадает с одним из узловрешетки Бравэ, а три оси системы координат направлены по тремпримитивнымвекторамтрансляциииПустьa1 ,a2a3 .кристаллографическая плоскость проходит через узлы решетки Бравэ (т.А , B , C ), лежащие на осях координат. Определим индексы Миллератакой плоскости.Поскольку т.т.

О , А , B и C - узлы решетки Бравэ, то векторы ОА ,  ОВ и ОС - векторы трансляции, причем ОА || a1 , ОВ || a 2 , а ОС || a3 . Поопределению вектора трансляцииОА  ha1 , ОВ  la2 и ОС  ma3 ,где h , l и m целые числа.На самом деле, индексы Миллера задают не одну плоскость, абесконечное семейство параллельных плоскостей, получаемых из даннойпараллельным переносом на любой вектор трансляции.

Поэтому всегдаможно параллельно перенести плоскость так, чтобы она не проходилачерез точку О и h , l , m  0 .Если эта плоскость не пересекает какую-либо из осей координат, тосоответствующее целое число ( h , l или m ) равно бесконечности.Алгоритм нахождения индексов Миллера кристаллографическойплоскости таков: Находим целые числа h , l и m ;25 Сокращаем их на наибольший общий делитель и получаем тройкуцелых чисел h1 , l1 , m1 ; Находим числа, обратные к ним: 1 / h1 , 1 / l1 , 1 / m1 ; Умножаем их на наименьшее общее кратное чисел h1 , l1 и m1 ;~ ~~ записываем в круглых Получившиеся три целых числа h , l и m~ ~~ ).

Если какое-либо числоскобках через запятую ( h , l , mотрицательно, то вместо минуса перед числом пишем черту над ним(вместо (-2, 0, 1) пишут ( 2 , 0, 1)).Кристаллографическим направлением называют луч, проходящийчерез два узла решетки Бравэ.Лемма. На таком луче находится бесчисленное число узлов решетки Бравэ.Доказательствоэтойлеммыаналогичнослучаюкристаллографической плоскости, и мы предоставляем его читателю.Пусть луч проходит через узлы А и В решетки Бравэ. Тогда векторAB , задающий направление луча, является вектором трансляции и можетбыть задан в виде (смотри формулу (1.1)) AB  ha1  la2  ma3 , где h , l иm - целые числа.Найдем индексы Миллера данного кристаллографическогонаправления по следующему алгоритму: Записываем целые числа h , l и m ; Сокращаем их на наибольший общий делитель и получаем целыечисла h1 , l1 , m1 ; Записываем эти числа в квадратных скобках через запятую [ h1 , l1 ,m1 ].

Если какое-либо из чисел отрицательно, то вместо минуса передчислом пишем черту над ним (вместо [1, -1, 1] пишут [1, 1 , 1]).Сделаем еще несколько замечаний по поводу индексов Миллера. Длянаглядности, в случае объемоцентрированных, гранецентрированных ибазоцентрированных решеток Бравэ используют индексы Миллерасоответствующих примитивных решеток Бравэ. В случае кубическихрешеток Бравэ (и только их) кристаллографическое направление сзаданнымииндексамиМиллераперпендикулярносемействукристаллографических плоскостей с теми же индексами Миллера.Например, направление [1, 1, 1] ортогонально семейству плоскостей (1, 1,1).261.8.

Примеры кристаллических структур.Плотность упаковкиНаше знакомство с кристаллическими структурами начнем со случаяпростых веществ, когда элементарная ячейка содержит атомы толькоодного элемента.Большинствометалловкристаллизуетсясобразованиемобъемоцентрированнойкубической(ОЦК),гранецентрированнойкубической (ГЦК) и гексагональной плотно упакованной (ГПУ) решеток.С ОЦК и ГЦК решетками Бравэ читатель знаком. Представим теперь, что вкаждый узел решетки Бравэ соответствует положению равновесия атома.Получим простейшую кристаллическую решетку, базис которой состоитиз одного атома.

Характеристики

Список файлов книги