Физика твёрдого тела 1 (1182142), страница 24

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 24)

Найти матрицу прехода при инверсии системыкоординат, при ее зеркальном отражении относительно плоскостей xy, xz,yz и при повороте на произвольный угол относительноосей x, y, z.Выразим координаты B'i вектора B в новой ортогональной системекоординат через координаты этого вектора Bi в исходной системекоординат164B  B'i e 'i  B'i aik ek  Bk ek  Bk aik e 'i .Из (П.1.12) следует, что(П.1.12)Bk  aik B'i ,(П.1.13)B'i  aik Bk .(П.1.14)Определим теперь тензор n -го ранга.

Тензором Ti, j...k ранга n называетсявеличина, компоненты которой при преобразовании системы координат,задаваемом матрицей перехода aik , преобразуются следующим образом:Ti, j...zn индексов ai a j  ...az , T ,  ... ,n матриц(П.1.15)n индексовTi, j...z  a i a j ...a , zT' , ... .(П.1.16)В правой части (П.1.15) суммирование каждого индекса тензора Ti, j...kпроизводится со вторым, а в выражении (П.1.16) – с первым индексомматрицы перехода aik .Полезно помнить, что компонента тензора Ti, j...z преобразуется также, как произведение xi x j ...x z соответствующих компонент радиусвектора.Упражнение 2. Найти новые компоненты вектора и тензора второгоранга при инверсии системы координат, при ее зеркальном отраженииотносительно плоскостей xy, xz, yz и при повороте на произвольный уголотносительно осей x, y, z.Формулы (П.1.15), (П.1.16) определяют истинные тензоры.

Однако вкристаллофизике встречаются и другие величины, во многом похожие натензоры. Изучим их на примере векторов. Истинный вектор (иногда егоназывают полярным) при преобразовании инверсии (для преобразованияинверсии aik   ik , где  ik -дельта символ Кронекера:  ik =1, если i  k , инулю в случае i  k ) меняется на противоположный: B'i   Bi . Рассмотримвекторное произведение двух истинных векторов. Поскольку каждый изних при инверсии изменяет знак, то векторное произведение при инверсииостается неизменным. Следовательно, это не истинный вектор. Такойвектор называют псевдовектором, или аксиальным вектором. Аналогичные165псевдотензоры существуют и среди объектов ранга n .

Истинный тензорранга n при инверсии преобразуется какT 'i, j...z  (1) n Ti, j...z .(П.1.17)Псевдотензор ранга n ведет себя как~~T 'i, j...z  (1) n Ti, j...z .(П.1.18)Рассмотрим теперь, как, используя преобразования симметриикристалла, можно уменьшить число независимых компонент тензора. Досих пор мы проводим преобразование только системы координат. Но еслиэто же преобразование является преобразованием симметрии кристалла, тоесть при таком преобразовании бесконечный идеальный кристаллпереходит в эквивалентное состояние, то можно считать, что мысовершили преобразование системы координат вместе с кристаллом.

Приэтом в новой системе координат компоненты тензора T 'i, j...z должнысовпадать с первоначальными T 'i, j...z  Ti, j...z . Но, с другой стороны, онидолжны удовлетворять уравнению (П.1.15). В результате получаемсистему линейных уравнений для компонент тензора Ti, j...z , котораяпозволяет выразить одни компоненты тензора через другие, то естьуменьшить число его независимых компонент на число, равное рангууказанной системы линейных уравнений.166Приложение 2Компоненты тензора деформации в сферической и цилиндрическойсистемах координата) Сферическая система координатzririyixРис.П.2.1.

Орты сферической системы координат.u r , u и u - проекции вектора смещения на изображенные на рис.П.2.1орты.Компоненты тензора деформации равныu r1 u ur, u ,rr ru1 u uu ctg  r ,r sin  rr1  u1 u,2u   u ctg  r   r sin  uu1 ur2ur    r ,rr r 1 ur u u2ur .r sin  rru rr 167б) Цилиндрическая система координатzrizxiyiРис.П.2.2. Орты цилиндрической системы координат.u  , u и u z - проекции вектора смещения на изображенные на рис. П.2.2орты. Компоненты тензора деформации равныu  u 2uz ,u 1 u u , u zz u z,zu  u z1 u z u, 2u z , zzu u 1 u 2u  .  168Приложение 3Дифференциальные операторы в различных системах координат  i , j , k - орты декартовой ортонормированной системы координат, орты других систем координатизображены в Приложении 2.ТаблицаОперацияСистемы координатдекартовасферическаяцилиндрическаяgradФФФФijkxyzФ1 ФФi i iz zdivFFx Fy FzxyzФ1 Ф1 Фir i irr r sin  1  21(r Fr ) ( F sin  )2 rrsinr1 Fr sin  rotFijkx y zFx Fy FzF    ( F sin  )    ir 1  1 Fr  (rF )   i r  sin  r 1   (rF ) Fr  ir  r 1r sin 1 (  F ) 1 F Fz  z 1 Fz F  F Fz  i   i zz1   (  F ) F  iz   169ОперацияФСистемы координатдекартова 2Фx 2 2Фy 2 2Фz 2сферическаяцилиндрическая1   2 Ф rr 2 r  r 1 Ф sin  r 2 sin   1   Ф  1  2Ф  2Ф      2 z 21 2Фr 2 sin 2   2170РЕКОМЕНДОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА1.

Ашкрофт Н., Мермин П. Физика твердого тела. - М.: Мир, 1979.2. Берман Р. Теплопроводность твердых тел. – М.: Мир, 1979.З. Блейкмор Дж. Физика твердого тела. - М.: Мир, 1988.4. Борн М., Хуан Кунь. Динамическая теория кристаллических решеток. М.: ИЛ, 1958.5. Займан Дж. Принципы теории твердого тела. – М.: Мир, 1974.6. Киттель Ч. Введение в физику твердого тела. - М.: Мир, 1978.7.

Косевич А.М. Теория кристаллической решетки. Харьков: Вищ. шк.1988.8. Марадудин А.А., Монтролл Е.В., Вейсс Дж. Динамическая теориякристаллической решетки в гармоническом приближении. - М.: Мир, 1965.9. Павлов П.В., Хохлов А.Ф. Физика твердого тела. М.: Высшая школа,2000.10. Рейсленд Дж. Физика фононов. - М.: Мир. 1975.11. Харрисон У. Теория твердого тела. - М.: Мир, 1972.171СодержаниеВведение для студентов1.

Кристаллическая решетка2.Методы исследования кристаллической структуры3. Обратная решетка4. Дефекты кристаллической решетки455. Энергия связи кристалла6. Теория упругости7. Динамика кристаллической решетки8. Квантовые колебания кристаллической решетки. Фононы9. Теплоемкость кристаллической решетки10. Спектральная плотность колебаний решетки (плотностьфононных состояний). Локальные колебания11.

Кинетическое уравнение Больцмана12. Теплопроводность диэлектриковПриложение 1Приложение 2Приложение 3Рекомендованная литератураСтр.333142516193109121127137150161166168170.

Характеристики

Список файлов книги