Физика твёрдого тела 1 (1182142), страница 19

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 19)

При этом1/ 2p грzq~гр1(2 ) 1 2 321/ 2~ dq z  const .(10.14)0Более точное рассмотрение показывает, что формула (10.14) являетсяоценкой по порядку величины, так как при q~z ~ q~гр уже не примениморазложение (10.7). Однако ясно, что при    p (k0 )  p ( ) не имеетособенностей и слабо зависит от  при малых    p (k0 ) : p ( )  const  O[   p (k0 )],(10.15)где O() – совокупность членов первой и более высоких степеней попараметру .Если    p (k0 ) , аргумент дельта-функции в (10.13) обращается в~ 2 , только если q~  [   (k )]1 / 2 .нуль при интегрировании по qzp 0Следовательно,p q~гр1(2 ) 1 2 321/ 2~ dq z  const [  p ( k 0 )]1/ 2[   p (k0 )]1 / 2(2 ) 1 2 32то есть  p ( ) имеет корневую особенность при    p (k0 ) :1/ 2, (10.16)132 p ( )  p ( k 0 )  0  ; p ( )  p ( k 0 )  0 const .Седловая точка второго типа отличается от рассмотренной вышезаменой знаков перед  и  p (k0 ) в правой части выражения (10.13).Для нее[ p (k0 )   ]1 / 2,если(kconst p 0 );1/ 2(10.17) p ( )  (2 ) 2 1 2 31/ 2const  O[ p (k0 )   ] , если    p (k0 );а p ( ) p ( );const    p ( k0 )  0   p ( k0 )  0Графически зависимость  p ( ) в седловых точках обоих типовизображена на рис.10.1.Согласно теореме Ван-Хова, в трехмерном случае закон дисперсииобладает, как минимум, одной седловой точкой каждого типа.10.2.

Локальные колебанияДо сих пор мы изучали колебания идеальной решетки. Но реальныекристаллы содержат примеси, дислокации, плоские дефекты. Наличиедефектов в кристалле приводит как к изменению векторов поляризацииколебаний атомов вблизи дефектов на частотах идеальной решетки, так ивозникновениюновыххарактерныхчастот,обусловленныхнеидеальностью решетки.Пусть в кристалле имеется изотопический дефект с массой,меньшей, чем у атомов решетки.

Поскольку электронная оболочка у этогопримесного атома такая же, как и у атома решетки, то силовые постоянныекристалла остаются неизменными.В этом случае наблюдается так называемое локальное колебание,то есть колебание примесного атома и окружающих его атомов матрицына частоте, превосходящей частоты колебаний матрицы.

Амплитудатаких колебаний экспоненциально спадает по мере удаления отпримесного атома (рис.10.2а).133Локальные колебания возникают также, если силовые постоянныевзаимодействия примеси с атомами матрицы превосходят силовыепостоянные матрицы, а ее масса примерно равна или меньше массы атомовматрицы.Если же частота колебаний примесного атома лежит в областичастот колебаний матрицы, то возникает так называемое квазилокальноеколебание. Амплитуда колебаний на такой моде также спадает по мереудаления от примесного атома, но выходит вдали от примеси напостоянное значение (рис. 10.26).AAxаxбРис.10.2. Зависимость амплитуды локальных (а) и квазилокальных (б)колебаний от расстояния до примесного атома.10.3. Методы исследования фононных спектровОсновным методом исследования фононных спектров являетсянеупругая дифракция нейтронов на кристалле.

Для проведенияэксперимента выбираются "тепловые" нейтроны с дебройлевской длинойволны порядка межатомного расстояния d. Энергия таких нейтроновпорядка 0,1 эВ. При неупругом взаимодействии с кристаллическойрешеткой (в отличие от упругой брэгговской дифракции) нейтронпоглощает или испускает фонон. При этом его энергия изменяется наэнергию фонона (примерно 0,01 эВ), а импульс - на величину импульсафонона (с точностью до вектора обратной решетки).Измеряя направление и энергию вылетевших из кристалла нейтронови сравнивая их с первоначальными значениями, можно определить иззаконов сохранения энергию и импульс поглощенного (или испущенного)фонона и найти закон дисперсии фононов (рис.10.3).134Рис.10.3. Законы дисперсии фононов в алмазе.Использование видимого света неэффективно для исследованияфононных спектров, так как волновой вектор фотонов видимого диапазонанамного меньше, чем волновой вектор фонона на границе зоныБриллюэна.

Поэтому процесс поглощения или испускания фононафотоном возможен только с участием фононов с малыми волновымивекторами. При этом мы получаем информацию не обо всем законедисперсии фононов, а только об области, лежащей вблизи центра зоныБриллюэна. Если же использовать в этих целях рентгеновские лучи,кванты которых имеют достаточную величину волнового вектора, то ихэнергия в десятки кэВ при испускании (поглощении) фонона изменится настоль малую долю, что это изменение практически невозможно будетобнаружить. По этой же причине неэффективна дифракция электронов.10.4. Оценка величины параметра ulj, s / dТеперь настала пора ликвидировать старую задолженность и оценитьвеличину параметра разложения потенциальной анергии кристалла в рядпо смещениям, то есть параметра ulj, s / d (параметра ангармонизма).Характерная частота колебаний атомов  порядка  ~ (G / M )1 / 2 , гдеМ - масса иона, а силовая постоянная G, как уже отмечалось, имеетпорядок величины G ~ Eат / d 2 .Следовательно135 ~ d 1 ( Eат / M )1 / 2 .(10.18)С другой стороны, характерная энергия колебаний составляетвеличину Gu2/2, где u - амплитуда смещения атома в процессе колебаний.В области низких температур (Т<<D) это энергия нулевыхколебаний, то есть(10.19)Gu 2 ~  ~ d 1 ( Eат / M )1 / 2 .Отсюдаu ~ d ( 2 / d 2 MEат )1 / 4 .(10.20)Отношение  /d по порядку величины совпадает с импульсом pB награнице зоны Бриллюэна.

Как будет показано позднее, характернаяэнергия электронов c импульсом pB также имеет атомный масштаб:pB2 / me ~ Eат (me - масса электрона). Подставляя в (10.20) 2 / d 2 ~ pB2 ~ me Eат , получаемu ~ d (me / M )1 / 4 ,(10.21)или окончательноu / d ~ (me / M )1 / 4  1 .(10.22)Характерное значение параметра u/d изменяется от нескольких сотых длятяжелых ионов до одной десятой для гелия.В области высоких температур (Т>>D) характерная энергияколебаний атома становится порядка температуры.Теперь(10.23)Gu 2 ~ T ~  (T /  )Таким образом, величина u/d увеличивается, по сравнению с (10.22)в (T /  )1 / 2 раз.

Учитывая, что характерное значение  ~  D , получаем1/ 41/ 2(me / M ) (T /  D ) , если T   D ;u/d 1/ 4(me / M ) , если T   D .(10.24)136Сомножитель (T /  D )1 / 2 увеличивает значение параметра u/d вобласти высоких температур, но вплоть до точки плавления кристалла u/dостается много меньшим единицы.Таким образом, разложение (7.7) справедливо во всей областисуществования кристаллического состояния.13711. КИНЕТИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ БОЛЪЦМАНА11.1. Вводные замечанияДо сих пор мы рассматривали равновесные свойства фононнойподсистемы, используя функцию распределения (9.1).

Такое рассмотрениесправедливо далеко не всегда. Под действием внешних сил или вследствиеизменения условий окружающей среды (например, температуры) системаможет быть выведена из равновесия. Для описания неравновеснойситуации и процессов релаксации к равновесию нам необходимоуравнение,описывающееэволюциюнеравновеснойфункциираспределения при изменяющихся внешних условиях и (или) поддействием внешних сил, приложенных к системе. Таким уравнениемявляется кинетическое уравнение Больцмана.Мы получим его для классической идеальной системы частиц (неважно каких), а затем рассмотрим условия его применимости к реальнымквантовым системам (рамки квазиклассического приближения).Исследуем систему частиц, выведенных из равновесия посредствомвнешнего воздействия.

Пусть частицы системы слабо взаимодействуютмежду собой, так что потенциальной энергией этого взаимодействияможно пренебречь по сравнению с их кинетической энергией (смотри§8.2). Для того, чтобы такая система релаксировала, необходимы процессыобмена энергией и импульсом. Таковыми являются столкновения частиц.Будем предполагать, что столкновения происходят практическимгновенно, то есть характеристики частиц изменяются скачком от старыхзначений к новым. Это справедливо, если время столкновения намногоменьше времени свободного пробега между столкновениями, то есть приизучении разреженных систем. Именно такие системы и являютсяслабонеидеальными.Ограничимся рассмотрением точечных объектов, не имеющихвнутренней структуры. Состояние такой частицы во внешнем полеполностью характеризуется координатами и импульсом и его можно задатьточкой в шестимерном пространстве координат (3 измерения) и импульсов(3 измерения), называемом фазовым пространством.

Характеристики

Список файлов книги