Физика твёрдого тела 1 (1182142), страница 20

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 20)

Точку в фазовомпространстве, соответствующую данной частице, называют изображающейточкой.Если бы мы учли взаимодействие частиц друг с другом, то дляопределения состояния данной частицы мы должны были бы задатькоординаты и импульсы окружающих частиц, с которыми онавзаимодействует. То есть шестью переменными дело не ограничилось бы.Поскольку все частицы оказались бы связанными друг с другом138посредством взаимодействия, то потребовалось бы 6N-мерное фазовоепространство, где N - число частиц в системе.Функцией распределения называют функцию семи переменных:времени, координат и импульсов или, другими словами, - времени икоординат фазового пространства.

Она задает плотность распределенияизображающих точек, отвечающих невзаимодействующим частицам, вфазовом пространстве. ПустьэлементобъемафазовогоdVфаз  d 3 r d 3 p /(2) 3пространства, а dN - число изображающих точек, которые попадают в этотбесконечно малый объем. Другими словами, dN - это число частиц,координаты и импульсы которых попадают в интервал (х, x+dx), (у, y+dy),(z, z+dz), (pх, рх+dрх), (py, рy+dpy), (pz, рz+dpz). По определению, функцией распределения n(r , p, t ) называют величинуdN n( r , p, t ) .dVфаз(11.1) В однородной системе n(r , p, t ) не зависит от координат, а встационарном случае не зависит от времени. Частным случаемстационарного состояния является равновесное состояние.

Поэтому воднородном кристалле функция распределения фононов (9.1) зависелатолько от сорта частиц (номера ветви) и импульса (волнового вектора).Изображающая точка перемещается со временем: координатычастицы изменяются из-за наличия у нее скорости, а импульс частицыизменяется под действием приложенных к ней внешних сил. Поэтомуточки все время покидают выделенный нами объем dVфаз , a на смену имприходят другие. Заметим, что в равновесии число "входящих" и"уходящих" точек одинаково, так что величина dN, a следовательно, и n(r , p, t ) не изменяется со временем.11.2.

Бесстолкновительный режимРассмотрим, пренебрегая пока столкновениями частиц, какизменяется число точек в выделенном фазовом объеме на примереодномерной системы. В этом случае фазовое пространство являетсядвумерным (х, рх). Зададим фазовый объем dVфаз  dxdp x / 2 , в этомпространстве вблизи точки (х, рх) (рис.11.1).139pxpx +dpxxpxxx + dxxРис.11.1.Пусть dN(t) - число изображающих точек в этом фазовом объеме вdxмомент времени t.

Поскольку частицы обладают скоростью x , то заdtвремя t они пройдут расстояние x  xt . Соответствующие имизображающие точки в фазовом пространстве сместятся вдоль оси х навеличину x. При этом часть точек, первоначально находящихся внутриисследуемого фазового объема, выйдет за его пределы. Найдем числоизображающих точек N1. которые покинут объем dVфаз через правуюстенку, считая, что x<<dx.Правую стенку пересекут изображающие точки, расположенные кней ближе, чем x (смотри заштрихованную область на рис.11.1). Их числов этой области равно n( x  dx, p x , t )dp xx / 2 , где dpxx / 2 - фазовыйобъем заштрихованной области.

В итогеN1  n( x  dx, p x , t )dp xx / 2 .(11.2)Аналогичным образом через левую стенку в фазовый объем dVфазвойдет число изображающих точекN 2  n( x, p x , t )dp xx / 2 .Соответствующее изменение числа точек в объеме dN ' равно(11.3)140dN '  N1  N 2  [n( x  dx, p x , t )  n( x, p x , t )]dp xx / 2 n( x, p x , t )dxdp x xt / 2 .(11.4)xЗнаки перед N1, N2 выбираются по принципу: приходизображающих точек - знак плюс, выход точек из объема - знак минус.Отметим, что величина x не зависит от времени, так как она однозначноопределяется импульсом рх, который в данной точке фазовогопространства фиксирован.Аналогичным образом можно найти уход и приход точек черезверхнюю и нижнюю стенки фазового объема.

Если на частицы действуетвнешняя сила, то отлична от нуля величина p x  Fx . Она постоянна, есливнешние силы не зависят явно от времени и определяются толькокоординатой и импульсом частицы, которые в данной точке фазовогопространства фиксированы. При этом величина рx за время t изменяетсяна p x  p xt , причем мы выбираем  t так, чтобы выполнялось условиеpx<<dpx. Изменение dN за время  t за счет ухода и прихода черезверхнюю и нижнюю стенки равно:dN ''  [n( x, p x  dp x , t )  n( x, p x , t )]p x dx / 2 n( x, p x , t )dxdp x p xt / 2 .p x(11.5)Объединяя (11.4) и (11.5), а также обобщая на случай трехмерногопространства, получаем  n(r, p , t )n(r , p, t )  3  3 dN   vj F j  d r d pt /(2) 3 , (11.6)p j r jгде v j  rj , a F j  p j , по повторяющимся индексам производитсясуммирование.

В шестимерном пространстве объем Vфаз, аналогичныйзаштрихованной области на рис.11.1. легко найти из пропорции Vфаз / dVфаз  xt / dx . Деля (11.6) на dVфаз  d 3 r d 3 p и на t, получаем сучетом (11.1)   n(r , p, t )n(r , p, t )n(r , p, t )vj Fj .(11.7)tr jp j141  n(r , p, t )n(r , p, t )Величинапредставляет собой частную производную,ttпоскольку мы находили  n при фиксированных параметрах r и p .Окончательно, перенося все слагаемые из правой части (11.7) влевую, получаем   dn(r , p, t ) n(r , p, t ) n(r , p, t )vj dtdtr j n(r , p, t )Fj  0 .(11.8)p jРавенство (11.8) представляет собой закон сохранения числаизображающих точек в фазовом пространстве и является аналогомуравнения непрерывности.

В отсутствие столкновений изображающаяточка, соответствующая частице, совершает движение в фазовомпространстве, но не может ни исчезнуть, ни возникнуть.11.3. Интеграл столкновенийЧто же происходит вследствие столкновений частиц? Если считатьстолкновения мгновенными, то координаты частиц измениться неуспевают, а импульсы частиц изменяются скачком. При этом точка,соответствующая частице, должна скачком изменить свое положение вфазовом пространстве, то есть исчезнуть из одной области фазовогопространства и возникнуть в другой.Процессы такого рода не были учтены в уравнении (11.8).

Для того,чтобы исправить это упущение, в правую часть уравнения (11.8)дописывают так называемый интеграл столкновений, который определяетотношение числа изображающих точек, возникающих или исчезающих изобъема dVфаз в единицу времени за счет указанных процессовстолкновений, к dVфаз. Кинетическое уравнение Больцмана принимает вид   n(r , p, t ) n(r , p, t )n(r , p, t )vj F j  I ст .tr jp j(11.9)Оно справедливо для слабонеидеальных газов частиц, поскольку мыпренебрегаем потенциальной энергией взаимодействия частиц иучитываем только внешние силы.Для применения его к квантовым системам необходимо, чтобыхарактерная длина свободного пробега частиц l намного превосходила их142длину волны Де-Бройля  Б (l»λБ).

В этом случае можно рассматриватьчастицу как волновой пакет с неопределенностью в импульсе p«p (р импульс частицы) и с неопределенностью в координате r«l.Действительно,  ~rp«lp или l»ħ/p~λБ.Прежде чем перейти к описанию способа нахождения интеграластолкновений, сделаем следующее существенное замечание. Когда речьидет об идеальном газе атомов, то процессы, ведущие к релаксации,действительно представляют собой столкновения двух атомов.

Однакокогда мы переходим к рассмотрению квазичастиц, то возникают ипроцессы другого типа, например, процессы распада и слияния фононов,изображенные на рис.8.1. В этих процессах, которые мы также будемпредполагать мгновенными, исчезают первоначально существовавшиеквазичастицы и возникают новые. При этом происходит исчезновениестарых и возникновение новых изображающих точек в фазовомпространстве. Поэтому такие процессы также учитывают в (11.9) спомощью интеграла столкновения, хотя слово "столкновения" к процессу,скажем, распада частицы можно отнести только условно.Таким образом, интеграл столкновений в общем случае описываетсовокупность процессов взаимодействия частиц друг с другом, носящихкратковременный (по сравнению с временем свободного пробега)характер.

Причем при выполнении данного условия вклад различныхтипов процессов в интеграл столкновений является аддитивным, то есть(i ),I ст   I стiгде(i )I ст- интеграл столкновений, обусловленный процессами i-го типа.(i )Обратимся теперь к способу написания I ст. Поскольку левая частькинетического уравнения (11.9) написана для значения функциираспределения в малом объеме фазового пространства, выбранного вблизи точки с координатами (r , p) , то нас интересуют только такие процессы, вкоторых изображающая точка либо одной из исходных частиц, либо однойиз частиц, возникших в результате процесса, попадает в выделенныйфазовый объем. Причем, если такая частица в результате процесса исчезла,то вероятность такого события в правой части (11.9) берется со знакомминус (уход), а если такая частица возникла, то с плюсом (приход).Для правильной записи вероятности исследуемого процессавоспользуемся теорией возмущений для непрерывного спектра в случаевозмущения, не зависящего от времени.Рассмотрим сначала процесс исчезновения частицы с координатой rи импульсом p .

Будем обозначать различные состояния непрерывного143спектра индексом  , который пробегает непрерывный ряд значений. Подним условно подразумевается вся совокупность параметров, однозначноопределяющих состояние частицы. Для фонона, например, это номер ветвии волновой вектор (или квазиимпульс ).Вероятность перехода из начального состояния (i) в конечныесостояния (f), лежащие в интервале от  f , до  f  d f равнаdw(f1) i22V fi  ( E f  Ei )d f ,(11.10)где Еi и Еf - энергии начального и конечного состояний, (Е) - дельтафункция Дирака, а V fi - матричный элемент оператора возмущения,найденный с помощью невозмущенных волновых функций начального иконечного состояний:V fi  f Vˆ i  .(11.11)Поскольку нас интересует вероятность исчезновения определеннойчастицы, то мы должны проинтегрировать по всем возможным коночнымсостояниям, и, кроме того, по всем параметрам qi, определяющимначальное состояние, но не относящимся к выбранной частице.

Например,в случае столкновения нашей частицы с другой, мы должныпроинтегрировать по всем возможным состояниям второй частицы.Тогда вклад данного процесса ухода в интеграл столкновений равен(1)I ст  dqi dw(f1) .i(11.12)Если же частица с заданными характеристиками рождается в данномпроцессе, то надо исходить из вероятности перехода из начальныхсостояний, лежащих в интервале от  i , до  i  d i в данное конечноесостояние:22dw (f2) V fi  ( E f  Ei )d i .(11.13)iДля получения вероятности возникновения частицы необходимопроинтегрировать по всем d i и по всем параметрам qf, определяющимконечное состояние, за исключением относящихся к данной выделеннойчастице.

Соответствующий вклад в интеграл столкновений равен:144( 2)I ст  dq f dw(f2) .(11.14)iРезультирующий интеграл столкновений представляет собой сумму(1)( 2)вкладов вида I стили I ст, относящихся к различным процессам.11.4. Интеграл столкновений для трехфононных процессовДля дальнейшего рассмотрения выберем конкретные процессы,изображенные на рис.8.1. В представлении вторичного квантования имсоответствует гамильтонианHˆ 3(1)   p1, p2, p3 g k ,k Hˆ 3( 2)   C ( p1 , p2 , p3 , g , k , k )aˆ p3 (k   g  k )  aˆ p2 (k )aˆ p1 (k ) ;(11.15)    ˆ p1 (k ) C(p,p,p,g 123 , k , k )ap1, p2, p3 g k ,k    aˆ p (k )aˆ p3 (k   g  k ) ;2(11.16)  где C ( p1 , p2 , p3 , g , k , k ) - матричный элемент процесса распада фононар1-ой ветви на два, принадлежащих ветвям p2 и р3, соответственно.

Характеристики

Список файлов книги