Пыркова - Методы решения дифференциальных уравнений (1179582)
Текст из файла
§ 1. ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ СПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ1.1. Основные понятияНеоднородным линейным дифференциальным уравнением n-го порядка с постоянными коэффициентами называетсядифференциальное уравнение видаa 0 y (n ) + a1 y (n −1) +...+ a n −1 y ′ + a n y = f (x ) ,(1.1)где x ∈ R - независимая переменная; y (x ) - искомая функция; a 0 , a1 , K , a n - заданные числа, причем a 0 ≠ 0 ; f (x ) известная функция, не равная тождественно нулю. Уравнениеa0 y (n ) + a1 y (n −1) +...+ a n −1 y ′ + a n y = 0(1.2)называется однородным.Общее решение линейного неоднородного уравнения (1.1)представляет собой сумму общего решения соответствующего однородного уравнения (1.2) и любого частного решениянеоднородного уравнения (1.1):(1.3)y (x ) = y o (x ) + y ч (x ) .1.2.
Общее решение однородного уравненияФундаментальной системой решений однородного уравнения (1.2) называется совокупность n линейно независимыхрешений y1 (x ), y 2 ( x ), K , y n ( x ) этого уравнения.Общее решение однородного уравнения (1.2) представляет собой произвольную линейную комбинацию частных решений, входящих в фундаментальную систему решений,(1.4)y o = C1 y1 (x ) + C 2 y 2 ( x ) + K + C n y n ( x ) .Далее мы будем рассматривать уравнения с действительными коэффициентами, их решения будем искать в действительной форме.4Характеристическим уравнением, соответствующим однородному уравнению (1.2), называется алгебраическоеуравнениеa0 λn + a1λn −1 +...+ a n −1λ + a n = 0 .(1.5)Обозначим через λ1 , λ 2 ,..., λ n корни характеристическогоуравнения (1.5), вообще говоря, комплексные.1.1) Каждому действительному простому корню λ характеристического уравнения (1.5) соответствует частное решение однородного уравнения (1.2), имеющее вид y = e λx .1.2) Каждому действительному корню λ кратности k(k ≥ 2 ) соответствует k линейно независимых частных решений однородного уравнения e λx , xe λx , ...
, x k −1e λx . Соответствующая компонента общего решения однородногоуравнения (1.2) имеет видy ( x ) = C1 + C 2 x + K + C k x k −1 e λx ,(1.6)где C1 , C 2 ,K , C k - произвольные постоянные.1.3) Если λ = α + iβ , где α и β - действительные, β ≠ 0 ,()а i 2 = −1 , является корнем характеристического уравнения(1.5), то комплексно сопряженное число λ = α − iβ такжекорень этого уравнения (по свойству алгебраических уравнений с действительными коэффициентами).Напомним, что для комплексного числа z = x + iy , гдеx, y ∈ R , его действительной и мнимой частью называютсясоответственно Re z = x , Im z = y .
Кроме того, имеет местоформула Эйлера e (α +iβ )t = e αt (cos βt + i sin βt ) .Паре невещественных корней α ± iβ соответствуют двалинейно независимых действительных частных решения однородного уравнения (1.2)иRe e (α +iβ )x = e αx cos β xIm e (α + iβ )x = eαx sin βx , которые включают в фундаменталь-ную систему решений, вместо функций e (α + iβ )x , e (α −iβ )x . Со5ответствующая компонента общего решения однородногоуравнения (1.2) представляется в видеy (x ) = (C1 cos βx + C 2 sin βx )eαx ,(1.7)где C1 , C 2 - произвольные постоянные.1.4) Если среди корней характеристического уравнения(1.5) есть корень λ = α + iβ кратности k (k ≥ 2 ) , то и комплексно сопряженный ему корень λ = α − iβ имеет ту жекратность k .
Этим 2k невещественным корням соответствуют 2k линейно независимых частных действительных решений однородного уравнения (1.2)e αx cos β x , xeαx cos β x , ... , x k −1e αx cos β x ,eαx sin βx , xeαx sin βx , ... , x k −1e αx sin βx .Соответствующая компонента общего решения однородногоуравнения (1.2) имеет в этом случае видy (x ) = C1 + C 2 x + K + C k x k −1 e αx cos β x +,(1.8)+ D1 + D2 x + K + Dk x k −1 e αx sin β xгде C1 , C 2 ,K , C k , D1 , D2 ,K , Dk - произвольные постоянные.Так можно построить совокупность решения, являющуюся общим решением уравнения (1.2).()()1.3.
Частное решение неоднородного уравнения справой частью специального видаПусть правая часть f (x ) неоднородного линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентамиявляется квазимногочленом, т.е. является суммой функцийвидаg (x ) = e γx (Pm (x ) cos ϕx + Qn (x )sin ϕx ) ,здесь Pm ( x ) и Qn (x ) - многочлены степени m и n соответственно.6В этом случае для поиска частного решения неоднородного дифференциального уравнения можно использовать метод неопределенных коэффициентов.1.5) Пусть правая часть уравнения (1.1) имеет видf ( x ) = Pm (x )e γx , где Pm ( x ) = b0 + b1 x + K + bm x m - многочленстепени m.Если γ не является корнем характеристического уравнения (1.5), то говорят, что имеет место нерезонансный случай;частное решение неоднородного уравнения (1.1) ищется ввидеyч = Qm (x )e γx ,(1.9)где Qm (x ) - многочлен той же степени m.Если γ является корнем (1.5) кратности s , то говорят, чтоимеет место резонанс кратности s ; частное решение (1.1)ищется в видеy ч = x s Qm (x )e γx .(1.10)Для определения коэффициентов многочлена Qm (x ) следует (1.9) или (1.10) подставить в (1.1), сократить на e γx иприравнять коэффициенты при одинаковых степенях x влевой и правой частях уравнения.
Из получившейся системыалгебраических уравнений найдем эти коэффициенты.1.6) Пусть коэффициенты левой части уравнения (1.1)действительны, а его правая часть имеет видf (x ) = e γx (Pm (x ) cos ϕx + Qn (x )sin ϕx ) .Если γ + iϕ не является корнем характеристическогоуравнения (1.5), то говорят, что имеет место нерезонансныйслучай; частное решение неоднородного уравнения (1.1)ищется в видеyч = R p cos ϕx + T p sin ϕx e γx ,(1.11)()где p = max{m, n} - наибольшей из степеней многочленовPm ( x ) и Q n ( x ) , R p и T p - многочлены степени не выше p .7Если γ + iϕ является корнем (1.5) кратности s , то говорят, что имеет место резонанс кратности s ; частное решение(1.1) ищется в видеy ч = x s R p cos ϕx + T p sin ϕx e γx .(1.12)()Чтобы найти коэффициенты многочленов R p и T p , надоподставить (1.11) или (1.12) в уравнение (1.1), приравнятькоэффициенты при подобных членах и решить полученнуюсистему алгебраических уравнений.Если правая часть уравнения (1.1) представима в видесуммы нескольких функций f (x ) = f1 (x ) + f 2 (x ) +...+ f l (x ) , точастное решение неоднородного уравнения (1.1) состоит изсуммы частных решений yi неоднородных уравнений(n )(n −1)′a0 y k + a1 y k+...+ a n−1 y k + a n y k = f k (x ) k = 1, l .()1.4.
Примеры решения задач, предлагавшихся на экзаменационных контрольных работахПример 1.1 (1-01) Найти действительные решения уравненияy IV + 4 y ′′ = 8e 2 x + 8 x 2 .c Исходное уравнение неоднородное.1. Найдем общее решение соответствующего однородного уравнения:y IV + 4 y ′′ = 0 .Составляем характеристическое уравнение: λ4 + 4λ2 = 0 .Его корни λ1, 2 = 0 , λ3 = 2i , λ 4 = −2i .λ1, 2 = 0 (кратности два) соответствуют частные решенияy1 = e 0 x = 1 и y 2 = xe 0 x = x , корням λ3, 4 = ±2i - решенияy 3 = cos 2 x и y 4 = sin 2 x .Общее решение однородного уравнения в действительнойформе8y o = C1 + C 2 x + C 3 cos 2 x + C 4 sin 2 x ,где C1 ,C 2 ,C 3 , C 4 - действительные произвольные постоянные.2.
Частное решения неоднородного уравнения.В нашем случае f ( x ) = 8e 2 x + 8 x 2 , т.е. f (x ) = f1 (x ) + f 2 (x ) ,где f1 (x ) = 8e 2 x , f 2 (x ) = 8x 2 .Поиск частного решения проводим методом неопределенных коэффициентов:f1 (x ) = 8e 2 x = Pm ( x )e γx , Pm (x ) = 8 , т.е. m = 0 , γ = 2 . Таких корней у характеристического уравнения нет, следовательно, кратность корня s = 0 . Т.о. частное решение ищем ввиде y ч1 (x ) = ae 2 x .Подставляя y ч1 (x ) = ae 2 x , в исходное дифференциальноеуравнение при f (x ) = f1 (x ) , получаем()16ae 2 x + 4 ⋅ 4ae 2 x = 32ae 2 x = 8e 2 x .Приравнивая коэффициенты при e 2 x , имеем1132 a = 8 , a = и y ч1 = e 2 x .4422 0xf 2 (x ) = 8 x = 8 x e = Pm (x )e γx , Pm (x ) = 8x 2 , следовательно m = 2 , γ = 0 (что соответствует λ1, 2 = 0 ) - резонансный случай, кратность корня s = 2 , поэтому частное решение ищем в виде yч2 = x 2 Q2 e 0 x = x 2 ax 2 + bx + c .()Подставляя y ч2 = ax 4 + bx 3 + cx 2 , в исходное дифферен-циальное уравнение при f ( x ) ≡ f 2 ( x ) , получаем()24a + 4 12ax 2 + 6bx + 2c = 8 x 2 .Приравнивая выражения при одинаковых степенях x,имеем9x2 :48a= 8,11x :24b= 0, это дает a = , c = −3a = − и62x 0 : 24a + 8c = 0;11⎞⎛1y ч2 = x 2 ⎜ x 2 − ⎟ .2⎠⎝6Частное решения неоднородного уравнения1x4 x2−y ч ( x ) = y ч1 (x ) + y ч2 ( x ) = e 2 x +4623.
Общее решение неоднородного уравненияy = y o + y ч = C1 + C 2 x + C 3 cos 2 x + C 4 sin 2 x +e 2x x 4 x 2n+−462Пример 1.2. (1-14) Найти действительные решения уравнения y ′′′ + 3 y ′′ + y ′ − 5 y = 10e x − 5 x .d Исходное уравнение неоднородное.1. Найдем общее решение соответствующего однородногоуравнения:y ′′′ + 3 y ′′ + y ′ − 5 y = 0 .Составляем характеристическое уравнение:3λ + 3λ2 + λ − 5 = 0 .Корень λ1 = 1 - угадываем.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
